Двойной интеграл в полярных координатах
(1)
Пусть в двойном интеграле при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f, полагая
x = r cos j ,y = r sin j .(2)
Область интегрирования S разобьем на элементарные ячейки D Si с помощью координатных линий r = ri (окружности) и j = j i (лучи)
Введем обозначения:
D rj = rj+1 - rj,
D j i = j i+1 - j i
Так как окружность перпендикулярна (ортогональна) радиусам, то внутренние ячейки D Si с точностью до бесконечно малых высшего порядка малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники с измерениями rjD j i и D rj; поэтому площадь каждой такой ячейки будет равна:
D Si = rj D j i D rj(3)
Что касается ячеек D Sij неправильной формы, примыкающих к границе Г области интегрирования S, то эти ячейки не повлияют на значение двойного интеграла и мы их будем игнорировать.
В качестве точки Mij $ Sij для простоты выберем вершину ячейки D Sij с полярными координатами rj и j i. Тогда декартовые координаты точки Mij равны:
xij = rj cos j i,yij = rj sin j i.
И следовательно,
f(xij,yij) = f(rj cos j i, rj sin j i)(3')
Двойной интеграл (1) представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым
интегральной суммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости, поэтому
учитывая формулы (3) и (3'), получаем:
(4)
где d - максимальный диаметр ячеек D Sij и сумма распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в области S. С другой стороны, величины j i и rj суть числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовые координаты некоторых точек плоскости Oj r. Таким образом, сумма (4) является интегральной суммой для функции
f(r cosj , r sinj )r,
соответствующая прямоугольной сетке с линейными элементами D j i и D ri. Следовательно
(5)
Сравнивая формулы (4) и (5), получим окончательно
(6)
Выражение
dS = r dj dr
называется двумерным элементом площади в полярных координатах. Итак, чтобы в двойном интеграле (1) перейти к полярным координатам, достаточно координаты x и y заменить по формулам (2), а вместо элемента площади dS подставить выражение (7).
Для вычисления двойного интеграла (6) его нужно заменить повторным. Пусть область интегрирования S определяется неравенствами
Где r1(j ), r1(j ) - однозначные непрерывные функции на отрезке [a ,b ].
Имеем
(8)
Где
F(r,j ) = rf(r cosj , r sinj )
Пример 1.
Переходя к полярным координатам j и r, вычислить двойной интеграл
Где S - первая четверть круга радиуса R=1, с центром в точке О(0,0) (рис 3).
Так как
то применяя формулу (6), получим
Область S определена неравенствами
Поэтому на основании формулы (8) имеем
Пример 2.В интеграле
(9)
перейти к полярным координатам.
Область интегрирования здесь есть треугольник S, ограниченный прямыми y=0, y=x, x=1
В полярных координатах уравнения этих прямых записываются следующим образом: j =0, j =p /4, r cosj =1 и, следовательно, область S определяется неравенствами
Отсюда на основании формул (6) и(8), учитывая, что имеем
