Xreferat.com » Рефераты по математике » Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

Сколько стоит написать твою работу?

Работа уже оценивается. Ответ придет письмом на почту и смс на телефон.

?Для уточнения нюансов.
Мы не рассылаем рекламу и спам.
Нажимая на кнопку, вы даёте согласие на обработку персональных данных и соглашаетесь с политикой конфиденциальности

Спасибо, вам отправлено письмо. Проверьте почту .

Если в течение 5 минут не придет письмо, возможно, допущена ошибка в адресе.
В таком случае, пожалуйста, повторите заявку.

Спасибо, вам отправлено письмо. Проверьте почту .

Если в течение 5 минут не придет письмо, пожалуйста, повторите заявку.
Хотите промокод на скидку 15%?
Успешно!
Отправить на другой номер
?Сообщите промокод во время разговора с менеджером.
Промокод можно применить один раз при первом заказе.
Тип работы промокода - "дипломная работа".

Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

Курсовая работа

Выполнил студент 2 курса 1222 группы Труфанов Александр Николаевич

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Самарский государственный университет»

Механико-математический факультет

Кафедра дифференциальных уравнений и теории управления

Самара 2004

Теорема существования и единственности решения уравнения

Пусть дано уравнение

Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

с начальным условием

Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

Пусть в замкнутой области R Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближенияфункции Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближенияи Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближениянепрерывны). Тогда на некотором отрезке Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближениясуществует единственное решение, удовлетворяющее начальному условию Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения.

Последовательные приближения определяются формулами:

Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения k = 1,2....

Задание №9

Перейти от уравнения

Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

 к системе нормального вида и при начальных условиях

Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения, Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения, Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

построить два последовательных приближения к решению.

Произведем замену переменных

Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения; Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

 и перейдем к системе нормального вида:

Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

Построим последовательные приближения

Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения       

Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

Задание №10

Построить три последовательных приближения Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения к решению задачи

Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения, Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

Построим последовательные приближения

Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

Задание №11

а) Задачу

Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения, Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

свести к интегральному уравнению и построить последовательные приближения Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

б) Указать какой-либо отрезок, на котором сходятся последовательные приближения, и доказать их равномерную сходимость.

Сведем данное уравнение к интегральному :

Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

Докажем равномерную сходимость последовательных приближений

С помощью метода последовательных приближений мы можем построить последовательность

Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

непрерывных функций, определенных на некотором отрезке Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения, который содержит внутри себя точку Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения. Каждая функция последовательности определяется через предыдущую при помощи равенства

Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближенияi = 0, 1, 2 …

Если график функции Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения проходит в области Г, то функция Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения определена этим равенством, но для того, чтобы могла быть определена следующая функция Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения, нужно, чтобы и график функции Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения проходил в области Г. Этого удается достичь, выбрав отрезок Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближениядостаточно коротким. Далее, за счет уменьшения длины отрезка Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения, можно достичь того, чтобы для последовательности Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения выполнялись неравенства:

Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения, i = 1, 2, …,

где 0 < k < 1. Из этих неравенств вытекает следующее:

Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения, i = 1, 2, …,

Рассмотрим нашу функцию на достаточно малом отрезке, содержащим Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения, например, на Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения. На этом промежутке все последовательные приближения являются непрерывными функциями. Очевидно, что т.к. каждое приближение представляет из себя функцию от бесконечно малого более высокого порядка, чем предыдущее приближение, то выполняются и описанные выше неравенства. Из этих неравенств следует:

Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

что и является условием равномерной сходимости последовательных приближений.

С другой стороны, на нашем отрезке выполняется Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения, что также совершенно очевидно. А так как последовательность Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения сходится, то последовательность приближений является равномерно сходящийся на этом отрезке.

Список литературы

Л.С. Понтрягин. «Обыкновенные дифференциальные уравнения», М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961

А.Ф. Филиппов «Сборник задач по дифференциальным уравнениям», М.: Интеграл-Пресс, 1998

О.П. Филатов «Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям»,Самара: Издательство «Самарский университет», 1999

А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева «Дифференциальные уравнения», М.: Наука. Физматлит, 1998

Напишем реферат в Подарок!
Оставьте заявку, и в течение 5 минут на почту вам станут поступать предложения!
Мы дарим вам 100 рублей на первый заказ!