Формула Бернулли. Локальная функция Лапласа
Контрольная работа 3.
1. Прибор может работать в двух режимах ѕ нормальном и ненормальном. Нормальный режим встречается в 80% всех случаев работы прибора, ненормальный ѕ в 20%. Вероятность выхода прибора за время t в нормальном режиме равна 0,1, в ненормальном ѕ 0,7. Найти вероятность выхода прибора из строя за время t.
Решение
Пусть
гипотезы и
состоят в том
что прибор
работает:
в нормальном режиме, вероятность
- в ненормальном режиме, вероятность
Гипотезы
несовместны
и сумма их
вероятностей
равна 1. Значит,
гипотезы образуют
полную группу.
Пусть событие А состоит в том, что прибор выходит из строя. При условии, что режим работы нормальный, вероятность наступления А равна
При условии что режим работы ненормальный вероятность наступления А
По
формуле полной
вероятности
вычислим вероятность
того что прибор
выйдет из строя
за время t
Ответ: 0,22
2. В лотерее каждый десятый билет выигрывает 10 рублей, сам же лотерейный билет стоит 1 рубль. Некто приобрел 10 билетов. Найти вероятность того, что он:
а) не будет в проигрыше;
б) будет в выигрыше.
Решение
Вероятность выиграть по произвольному билету, по формуле классической вероятности равна p=0.1
Проводится n=10 испытаний c одинаковой вероятностью наступления события в каждом.
Для того чтобы игрок не был в проигрыше, должен выиграть хотя бы один билет то есть k>=1
Для того чтобы игрок был в выигрыше, должно выиграть как минимум два билета или k>1
По формуле Бернулли,
Теперь найдем вероятность противоположного события p(k>=1)=1-p(k<1)=1-0.349=0.651 – вероятность не оказаться в проигрыше
P(k>=1)=p(k>1)+p(k=1) – вероятность суммы несовместных событий
P(k>1)=p(k>=1)-p(k=1)=0.651-0.387=0.264 – вероятность выигрыша
Ответ: а)0,651 б)0,264
3. Семена некоторых растений прорастают с вероятностью 0,8. Найти вероятность того, что из 2000 посаженных семян прорастает:
а) 1600 семян;
б) не менее 1600 семян.
Решение
Мы имеем дело с серией последовательных независимых испытаний, в каждом из которых с одинаковой вероятностью может произойти событие А (семя прорастает)
Количество испытаний n=2000
Вероятность наступления события А равна p(A)=0.8=p
q=1-p=1-0.8=0.2
Условия
задачи соответствуют
схеме Бернулли.
В силу того,
что n
достаточно
велико, удобно
применить для
вычислений
локальную
теорему Муавра-Лапласа.
Вероятность
того, что событие
А наступит
ровно k=1600раз,
приблизительно
равна
Здесь - локальная функция Лапласа, значения которой можно взять из таблиц.
Получим
Ответ :0,0223
4. В коробке лежат 10 исправных и 3 неисправных батарейки. На удачу извлекаются 3 батарейки. Составить закон распределения случайной величины --- числа исправных батареек среди извлеченных.
Решение
Пусть Х- дискретная случайная величина- число неисправных батареек. Х может принимать значения 0,1,2 или 3. Найдем вероятности каждого из значений Х.
Вероятность
для каждой
батарейки быть
неисправной
определяем
по формуле
классической
вероятности.
Проводится n=3 испытания Бернулли в каждом из которых p=0.231, q=1-p=0.769
По
формуле Бернулли
Проверка: p(X=0)+p(X=1)+p(X=2)+p(X=3)=0.455+0.410+0.123+0.012=1.00
Получаем закон распределения случайной величины Х:
| Х | 0 | 1 | 2 | 3 |
| Р | 0,455 | 0,410 | 0,123 | 0,012 |
5. Случайная величина Х распределена по нормальному закону, причем P(X>2) = 0,5, а P(1<X<3) = 0,8. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.
Решение
Для
случайной
величины X
с нормальным
распределeнием
вероятность
попадания в
интервал
равна
,где Ф(х) – интегральная функция Лапласа,
значения которой табулированы.
По этой формуле
Отсюда
следует что
Из таблиц определяем a=2 – математическое ожидание Х
Кроме
того
Значит
из таблицы определяем что -среднеквадратическое
отклонение
Дисперсия
Ответ
: Математическое
ожидание
Дисперсия