Xreferat.com » Рефераты по математике » Теорема Дирихле

Теорема Дирихле

Содержание


Введение

1. Характеры

1.1 Определение характера. Основные свойства характеров

1.2 Суммы характеров. Соотношение ортогональности

1.3 Характеры Дирихле

2. L-функция Дирихле

3. Доказательство теоремы Дирихле


Введение


Простые числа расположены в натуральном ряде весьма неравномерно.

Целью данной работы является доказательство следующей теоремы о простых числах в арифметической прогрессии.

Теорема Дирихле. Если разность и первый член арифметической прогрессии есть взаимно простые натуральные числа, то она содержит бесконечное множество простых чисел.

Пусть

mn + l, n=1,2, …,

прогрессия, удовлетворяющая условию теоремы.

Условие (m, l)=1, наложенные на числа m и e в формулировке теоремы, естественно, поскольку в случае, когда d=(m, l)>1, все члены прогрессии делятся на d и поэтому не являются простыми числами.

Сформулированная теория была впервые высказана Л. Эйлером в 1783 г. В 1798 г. А. Лежандр опубликовал доказательство для четных m, использовавшее, как выяснилось позднее, одну ошибочную лемму.

Полностью доказал теорему в 1837–1839 гг. Петер Густав Лежен-Дирихле (1805–1859), немецкий математик, автор трудов по аналитической теории чисел, теории функций, математической физике.

В 1837 г. вышли две работы Дирихле, посвященные теореме о простых числах в арифметической прогрессии. Они содержали формулировку теоремы в общем виде, однако доказательство приводилось только для случая, когда разность прогрессии есть простое число. В конце второй работы содержится построение характеров для произвольного модуля и некоторые утверждения о том, как можно доказать утверждение L (1,χ)№0 для неглавных характеров x в одном случае. В 1839 г. Дилихле опубликовал полное доказательство теоремы о простых числах в арифметической прогрессии. С тех пор она носит его имя.

1. Характеры


1.1 Определение характера. Основные свойства характеров


Теорема ДирихлеТеорема ДирихлеХарактером (от греческого харажτήp-признак, особенность) χ конечной абелевой группы G называется не равная тождественно нулю комплекснозначная функция, определенная на этой группе и обладающая тем свойством, что если, АОG и BОG

χ (АВ)= χ (А) χ(В).

Обозначим через Е единичные элементы в группе G и через А-1 обратный элемент для АОG

Характеры группы G обладают следующими свойствами:

1. Если Е-единица группы, то для каждого характера χ


χ (Е)=1 (1.1)


Доказательство. Пусть для каждого элемента АОG справедливо неравенство


c1(А)=c(АЕ)= c(А) χ (Е)


Из этого равенства получим, что c (Е)№0. Теперь из равенства


c (Е)= c (ЕЕ)= c (Е) c (Е)=1


следует равенство (1.1)

2. c (А) №0 для каждого АОG

Действительно, если бы χ (А) =0 для некоторого АОG, то

c (А) χ (А-1)= c (АА-1)= χ (Е)=0,


а это противоречит свойству 1.

3. Если группа G имеет порядок h, то Аh=Е для каждого элемента АОG Следовательно,


1= χ (Е)= χ (Аh)= χ (А)h,


то есть χ (А) есть некоторый корень степени h из единицы.

Характер χ1, обладающий свойством χ1(А)=1 для каждого элемента АОG, называется главным характером группы G. Остальные характеры называются неглавными.

Лемма 1. Пусть Н подгруппа конечной абелевой группы G, причем G/H – циклическая порядка n, тогда для каждого характера χH – подгруппы Н существует ровно n характеров.

Доказательство. Рассмотрим группу G=Теорема ДирихлеgkH, причем gnH=H, gnОH и gn=h1=1.

Для каждого элемента XОG существует и притом единственное к=кх и hх=h такое, что если 0Ј кх <n, то X= gkх hх=gkh. Возьмем еще один элемент группы G, Y= gm hy, где 0Ј m<n. Перемножим эти два элемента


ХY= gк+m hhy.


Определим характер χ (X).


χ (X)= χ (gк h)= χ (gк) χ (n)= χ к (g) χ H (h).


В данном выражении неизвестным является χ (g).

χ n (g)= χ (gn)= χ (h1)= χ H(h1) – данное число.


Теорема Дирихлеχ (g)= – n корней из 1,

то есть ξјn=χn(g)= χ H(h1), получаем xk (g)= ξјn. Следовательно, x(g)= ξ1, …, ξn

Из полученных равенств получаем:


χ (X)= χ k (g) χ H(hx)= ξjkx χ H (hx)

χ (Y)= χ m (g) χ H(hy)= ξjky χ H (hy)


Определим умножение характеров


χ (X) χ (Y)= ξjky χ H (hy) ξjk-x χ H (hx)= ξjkx+ky χ H (hx) χ H (hy)= jk+m χ H (hhy)


Для того чтобы определение выполнялось, необходимо рассмотреть степень gkx+kx. Возможны два случая:

1) Если 0Ј кх + ky<n, то


кх + ky= kxy,; hxhy = hxy.


В этом случае определение выполняется.

2) Если nЈ кх + ky<2n-1, то получим


кх + ky = n + kxy..


Тогда

XY= g kx+ky hxhy=ghgkx+ky-n hx hy=gkx+ky-n h1hxhy

В свою очередь 0Ј кх + ky – nЈn-1 Ю kx+ky – n=kxy, h1hxhy = hxy.

χ (XY) = ξj kх+kу χн (hxу) = ξj kх + kу – n χн (h1) χн(hx) χн (hy) = ξjкх ξj ку ξj– n χн (h1) χн(hx) χн (hy) = ξj кх χн (h1х) · ξj ку χн(hy) = χ (X) χ(Y).


Лемма доказана.

5. Характеры конечной мультипликативной абелевой группы G образуют конечную мультипликативную абелевую группу Ĝ.

Под произведением двух характеров χ' и х χ'' группы G будем понимать характер х, определяемый следующим свойством:


χ (AB) = χ' (A) χ'' (В)


Для любого элемента АОG, имеем:


χ (АВ) = χ' (АВ) χ'' (АВ) = χ' (А) χ' (В) · χ'' (А) χ'' (В) = χ(А) χ(В)


Таким образом, получаем χ ' χ '' действительно является характером.

Роль единичного элемента группы G играет главный характер χ1

Обратным элементом G является:

Теорема Дирихлеχ2 (g1 g2) = Теорема Дирихле =Теорема ДирихлеТеорема Дирихле= Теорема Дирихле = χ2(g1) χ2(g1)


1.2 Суммы характеров. Соотношение ортогональности


Пусть G – конечная мультипликативная абелева группа порядка h. Рассмотрим сумму:


S = Теорема Дирихле,


где А пробегает все элементы G, и сумму

Т = Теорема Дирихле


где c пробегает все элементы группы характеров Ĝ.

Рассмотрим чему равна каждая из сумм.

а) Если В-фиксированный элемент группы G и А пробегает все элементы G, то АВ также пробегает все элементы группы G. Следовательно,


S·c (В) = Теорема Дирихлеc (В) = Теорема Дирихле = Теорема Дирихле = S.


Получили Sc (В) = S, откуда следует, что (c (В) – 1)·S = 0. Следовательно, возможны два варианта:

1) S = 0, то c (В) – негативный характер

2) S≠0, то c (В) = 1 для каждого элемента В?G и в этом случае c (В)= c1(В) есть главный характер и сумма S равна порядку h группы G. Таким образом,


S = Теорема Дирихле = {Теорема Дирихле (1.2)


б) Если мы умножим сумму Т на некоторый характер c’ группы Ĝ, то аналогичным образом получим


c’ (А) Т = Теорема Дирихле c’ (А) = Теорема Дирихле = Т,


Следовательно,

1) или Т = 0, то А ≠Е

2) или Т ≠ 0, то c’ (А) = 1 для каждого характера c’? G. В этом случае согласно свойству 3§ 1, имеем А=Е. И тогда Т=h. Таким образом,

Т = Теорема Дирихле= {Теорема Дирихле


1.3 Характеры Дирихле


Пусть m – положительное целое число. Определим числовые характеры по модулю m. Мы знаем, что j(m) приведенных классов вычетов по модулю m образуют мультипликативную абелеву группу порядка h=j(m). Мы можем, следовательно, рассмотреть характер этой группы. Но определение характера для приведенных классов вычета по модулю m можно перенести на множество целых чисел следующим образом. Положим


c(а)= c(А), если аОА,


где А – приведенный класс вычетов по модулю m. Тогда очевидно, c(а)= c(b) (mod m), и c(ab)= c(а) c(b), если (а, m)=(b, m)=1. Поскольку c(А)№0 для каждого приведенного класса вычетов А, то c(а)№0, если (a, m)=1.

Это определение применимо только к целым числам а, которые взаимно просты с m.

Мы можем рассмотреть его на все целые числа, положив

c(а)=0, если (a, m)>1.

Следовательно, характер по модулю m есть арифметическая функция c, обладающая следующими свойствами:

c(а)= c(b), если с=b (mod m)

c(ab)= c(a) c(b) для всех целых a и b


c(а)=0, если (a, m)>1

c(а)№0, если (a, m)=1

Имеется точно j(m) – количество характеров по модулю m, где j(m) – количество положительных целых чисел, не превосходящих m и взаимно простых с m. Они образуют мультипликативную абелеву группу приведенных классов вычета по mod m. Единичным элементом этой группы будет главный характер c1, то есть такой характер, что c1(а)=1, если (а, m)=1. Далее имеем следующее соотношение ортогональности:


Теорема Дирихле= {Теорема Дирихле


Теорема Дирихле= {Теорема Дирихле


Пусть m – положительное целое число. Определим числовые характеры по модулю m. Комплекснозначная функция, определенная для всех целых чисел n, называется числовым характером или характером Дирихле по модулю m, она удовлетворяет следующим условиям:

а) c (n) = 0 тогда и только тогда, когда (n, m) ≠ 1

б) c (n) периодична с периодом m

в) для любых чисел а и b

c (аb) = c (а) c (b)

Функция


c1(n) = {Теорема Дирихле


является числовым характером и называется главным характером. Остальные числовые характеры по модулю m называются неглавными.

Имеет место следующее утверждение о числовых характерах.

Теорема 1 Существует равно φ(m) числовых характеров по модулю m. Если c = c (n) – числовой характер по модулю m, то:

1) для n, взаимно простых с модулем m, значения c (n) есть корень из 1 степени φ(m).

2) для всех n выполняется неравенство /c (n)/ ≤1

3) Имеет место равенство


Теорема Дирихле{Теорема Дирихле


4) Для каждого целого числа n


Теорема Дирихле = {Теорема Дирихле


Доказательство. Пусть c (n) – некоторый числовой характер по модулю m. Из пункта б) определения следует, что c (n) задает некоторую функцию c’(Теорема Дирихле) = c (n) на мультипликативной группе Теорема Дирихлеклассов вычетов по модулю m, взаимно простых с m, а именно


c’(Теорема Дирихле) = c (n)


Здесь Теорема Дирихле обозначает класс вычетов по модулю m, содержащий n. Так как c(1) ≠ 0, то c’(Теорема Дирихле) не равняется тождественно нулю, а из пункта в) определения числового характера следует, что c’(Теорема ДирихлеТеорема Дирихле) = c’(Теорема Дирихле) = c’ (ab) = c (a) c (b) = c’(Теорема Дирихле)c’(Теорема Дирихле).

Таким образом, c’(Теорема Дирихле) есть характер модультипликативной группы Gm.

Обратно, по каждому характеру c’(Теорема Дирихле) группы Gm можно построить числовой характер c (n) по модулю m, положив


Теорема Дирихле{Теорема Дирихле


Установленное соответствие является взаимнооднозначным. И все утверждения теоремы 1 следуют из доказанного выше для групповых характеров применительно к группе Gm, если учесть, что порядок группы Gm равен φ(m), где φ(m) – функция Эйлера.

В дальнейшем требуется еще одно утверждение с числовых характерах. Обозначим для каждого c, c ≥ 1


Теорема Дирихле


Где суммирование ведется по всем натуральным числам n, не превосходящим c.

Лемма 2. Пусть c (n) – неглавный характер. Тогда для каждого c, c ≥ 1 справедливо неравенство

/S(x)/<m

Доказательство. Функция c (n) периодична с периодом m и по теореме з


Теорема Дирихле0, так как c≠ c1


Поэтому, представив [c] – целую часть числа c – в виде [c]=m1+z, 0ЈzЈm, будет иметь

S(c) =S([c])=qТеорема ДирихлеТеорема Дирихле

В виду равенства /c(n)/Ј1 отсюда получили S(c)ЈzЈm


2. L-функция Дирихле


Пусть х(п) – произвольный характер по модулю m. Рассмотрим ряд


Теорема Дирихле, (2.1)


члены которого являются функциями комплексного переменного S. В области сходимости он определяет функцию, которая называется L-функцией Дирихле, соответствующей характеру c(n), и обозначается L (s, c).

Лемма 3

1. Если c№c1, то ряд (1) сходится в области ReS > 0 и определяемая им функция L (s, c) является аналитической в этой области.

2. Ряд, определяющий L (S, c1), сходится в области ReS >1. Функция L (S, c1) является аналитической в области ReS > 1.

Доказательство.

Пусть c(n) – произвольный характер по модулю m, а б – некоторое положительное число. Так как /c(n)/ Ј 1, то в области ReS > 1 + б справедливо неравенство


Теорема Дирихле


Следовательно, ряд (1) равномерно сходится в области ReS > 1 + б. Определяемая им функция L (S, c) по теореме Вейерштрасса о сумме равномерно сходящегося ряда аналитических функций является аналитической в этой области. Ввиду произвольности 6 это доказывает второе утверждение Леммы.

Для неглавных характеров c(n) потребуется более сложное исследование ряда (1).

Лемма 4 (преобразование Абеля).

Пусть an, n=1,2,…, – последовательность комплексных чисел, c>1,


А(c)=Теорема Дирихле


а q(t) – комплекснозначная функция, непрерывно дифференцируемая на множестве 1ЈtЈҐ

Тогда


Теорема Дирихле (2.2)


Если же


Теорема Дирихле

то

Теорема Дирихле (2.3)


при условии, что ряд в левой части равенства сходится.

Доказательство. Положим А(0)=0 и В(х) равным левой части равенства (2.2). Тогда при любом натуральном N


Теорема Дирихле

так как А(0)=0. Далее


Теорема Дирихле

поскольку функция А(х) постоянна на каждом полуинтервале nЈt<n+1. Следовательно, равенство (2.2) доказано при целых значениях х.

пусть хі1 – произвольное число. Положим N=[x]; значит, NЈxЈN+1. Тогда А(х)=А(N), B(x)=B(N), а


Теорема Дирихле


Следовательно,


Теорема Дирихле

Тем самым доказано, что равенство (2.2) верно и для нецелых чисел значений х.

Равенство (2.3) получаем из равенства (2.2) переходом к пределу при х®Ґ. Лемма доказана.

Воспользовавшись леммой 4, получим следующее равенство


Теорема Дирихле (2.4)


где


Теорема Дирихле


функция, введенная Лемме 4.

Для s = p+it из области ReS = s, где s – некоторое положительное число, пользуясь леммой 4, находим

Теорема Дирихле


Поэтому интеграл


Теорема Дирихле


сходится в области ReS > s. Поскольку в этой области выполняется неравенство


Теорема Дирихле


то из равенства (2) следует, что ряд (1), определяющий функцию L (S, x), сходится в области ReS > s. Эти рассуждения справедливы для любого положительного числа s. Значит, ряд (1) сходится в полуплоскости ReS > 0.

Из равенства (2) следует, что в этой полуплоскости для L-функции, соответствующей неглавному характеру c(n), справедливо представление


Теорема Дирихле

Теорема Дирихле (2.5)

так как


Теорема Дирихле


Интеграл, стоящий в правой части равенства (2.5), можно также представить в виде

Теорема Дирихле (2.6)


Члены ряда (2.6) являются аналитическими функциями в области ReS >s, что следует из равенств


Теорема Дирихле


При этом использовано, что на полуинтервале nЈх< n+1 функция S(х) принимает значение S(n). Поскольку


Теорема Дирихле


то ряд (2.6) равномерно сходится в области ReS >s. Отсюда, как и выше, получаем, что сумма его, т.е.


Теорема Дирихле


является аналитической функцией (по теореме Вейерштраса) в области ReS >s.

Из представления (2.5) следует теперь, что L (S, x) есть аналитическая функция в полуплоскости ReS >s, а ввиду произвольности S – s и b полуплоскости ReS > 0.

Следствие. Пусть c (n) – произвольный характер. Тогда в области ReS > 1 справедливо равенство

Теорема Дирихле (2.7)


Это следует из того, что ряд (2.1) по доказанному равномерию сходится в области ReS>1+s, где s>0. Следовательно, по теореме Вейштрасса о равномерно сходящихся рядах аналитических функций в этой области ряд (2.1) можно почленно дифференцировать


Теорема Дирихле


Поэтому в полуплоскости ReS>1+s выполняется равенство (2.7). Так как в этом рассуждении s-любое положительное число, то равенство (2.7) будет справедливо в полуплоскости ReS>1.

Для L-функций имеет место представление в виде бесконечного произведения по простым числам, аналогичное тождеству Эйлера. Рассмотрим вспомогательную Лемму.

Лемма 5. Пусть функция f(n) вполне мультипликативна и ряд


Теорема Дирихле (2.8)


абсолютно сходится. Тогда выполняется равенство


Теорема Дирихле (2.9)


Доказательство. Отметим прежде всего, что /f(n)/<1 при любом натуральном n>1. В противном случае при каждом mОN

/f(n)m/=/f(n)/mі1,


что противоречит сходимости ряда (2.6). Поэтому при каждом простом р ряд


Теорема Дирихле


абсолютно сходится, и его сумма как сумма бесконечно убивающей геометрической прогрессии равна (1-f(р))-1. Кроме этого, в силу абсолютной сходимости, ряды можно перемножить. Перемножая конечное число таких рядов и используя то, что f(n) есть вполне мультипликативная функция, получим


Теорема Дирихле


где ne = pa … pas и в сумме в правой части равенства содержатся такие и только такие слагаемые f(ne), что все просты делители ne не превосходят х. Следовательно, в разности


Теорема Дирихле


остаются те и только те слагаемые f(me), для которых у числа me имеется хотя бы один простой делитель р>x. Тогда оценим разность


/S-S(x)/ЈТеорема Дирихле


и из абсолютной сходимости ряда (2.8) следует, что

Теорема Дирихле


Это доказывает, что бесконечное произведение (2.7) сходится и выполняется утверждение Леммы.

Лемма 6. Для каждого характера c(n) в области ReS > 1 справедливо представление


Теорема Дирихле


Доказательство. Эта лемма является следствием Леммы 5, поскольку функция c(n) вполне мультипликативна, то есть c(АВ)= c(А) c(В), и выполняется неравенство /c(n)/Ј 1 по теореме 1.

Следствие 1. В области ReS > 1 для главного характера c1(n) по модулю m справедливо равенство


Теорема Дирихле (2.10)


и поэтому функция L (S, c1) может быть аналитически продолжена в область ReS > 0, где она имеет единственный полюс (первого порядка) в точке S=1.

Действительно, по определению главного характера c1(n) имеет место равенство


Теорема Дирихле


Поэтому

Теорема Дирихле


Пользуясь теперь тождеством Эйлера для дзета-функции Римана получаем равенство (2.10). Остальные утверждения легко следуют из этого равенства, поскольку дзета-функция является аналитической в области ReS > 0 с единственным полюсом первого порядка в точке S = 1.

Следствие 2. Для каждого характера c функция L (S, x) не обращается в нуль в области ReS > 1.

Доказательство.

Если s = ReS > 1. то


Теорема Дирихле


Пользуясь неравенством для дзета-функции Римана, находим


Теорема Дирихле


Получаем:


L (S,c) ≥Теорема ДирихлеТеорема Дирихле > 0


Теперь докажем утверждения, что L – функция, соответствующая неглавному характеру c, точке S =1 отлична от нуля.

Теорема 2. Если c – неглавный характер, то L (1, c)≠0

Для доказательства рассмотрим 2 случая

1. Пусть характер c – комплексное число, не является действительным. Тогда характер c2(n) не является главным. В этом случае доказательство теоремы будет основываться на тех же идеях, что и доказательство отсутствия нулей дзета – функции на прямой ReS=1.

Лемма7. Пусть 0<ч<1, а х – действительное число, тогда выполняется неравенство /(1 – ч)3 (1 – чеix)4 (1 – че2ix)/-1 ≥ 1

Доказательство.

Для всех z из круга /z/<1 имеет место расположение


– ln (1 – z) =Теорема Дирихле (2.11)


Так как ln(t) = Re lnt, то обозначая М (ч φ), левую часть неравенства (2.11), получим


lnM (ч φ) = 3ln (1 – ч) – 4 ln (1 – чеi4) – ln (1 – че2i4) = – 3ln (1-ч) – 4Reln/1 – чеi4/ – Reln/1 – че2i4/=Теорема Дирихлеrc (3+4e)inl /1-rei4/=Теорема Дирихле (3+4cosnl+2cos2nl)= Теорема Дирихле(2+4cosa+1+cos2a)=Теорема Дирихле1 (1+cosa)2і0


ln=M (r, l)=і0


Следовательно, M (r, l)=і1 доказана.

Из леммы 7 следует, сто при любом действительном S>1 выполняется равенство:

|L3(8, c1) L4(S, c) 4 (S, c4) 1 = П (1- Теорема Дирихле)3(1- Теорема Дирихле)4(1- Теорема Дирихле)|-1 (2.12)


Получая в лемме ч = р-s, т.е.

0< ч = c1(р)<1

0< р-s <1

c (р) р-s = чеi4, в силу того что c (р) – комплексное

c (р) р-s =

Похожие рефераты: