Xreferat.com » Рефераты по математике » Теорема Дирихле

Теорема Дирихле

че2i4


Получаем, что каждый сомножитель в правой части равенства (f) не меньше 1 и, следовательно, при любом S>1 выполняется равенство:

|L3(Sc1) · L4(Sc) L (Sc2)| ≥ 1 (2.13)

Допустим, что для некоторого характера c (c2≠c1) выполняется равенство


L (1, c) = 0 (2.14)


Оценим сверху левую часть неравенства. Из оценки дзета-функции Римана

ξ(S) ≤ Теорема Дирихле, следует, что при S ? R, S>1 выполняется неравенство


а) 0 < 4 (S, c1) = Теорема Дирихле


получили 0<L (S, c1)≤Теорема Дирихле

б) Функция L (S, c) разложим в ряд Тейлора

L (S, c) = Cp + C1 (S – 1) + C2(S – 1)2 +… + Cn(S – 1)n +…

Предположим, что у нее есть нуль L (1, c) = 1; тогда С0 = 0

Перепишем разложение L – функции в ряд


L(Sc) = Cк (S – 1)к + Ск+1(S – 1)к+1 = (S – 1)1 (Cк + Ск+1(S -1) +….), где к≥1, Ск ≤ 0, т. к. S>1

| L (S, c)| = |S – 1|k| Ck + Ck+1(S – 1) +….| ≤ 2 Ck|S – 1)k, при |S – | < r


Функция L (S, c2) в точке S = 1 не имеет полюса, следовательно не имеет особенности. Это в силу того, что c комплексное и c2≠c1

Получаем неравенство:

L (S, c2) ≤ C,

При условии | S – 1|< δ

Учитывая все неравенства и оценки


| L3 (S, c) L4(S, c) L (S, c2)| = (Теорема Дирихле)3 · 24 |Ck|4 (S – 1)4k· C≥1


Следовательно, это неравенство становится противоречивым, если перейти к пределу при S→1+0. Полученное противоречие показывает, что равенство (2.14) не выполняется.

2. Рассмотрим c – вещественный характер, т.е. принимающий только вещественные значения, несовпадающий с главным характером

Лемма 8. Пусть c – вещественный характер.

Рассмотрим функцию


F(S) = ξ(S) L (S, x) (2.15)


Докажем, что если Re S>1, то


Теорема Дирихле (2.16)


представляется рядом Дирихле, которого справедливы следующие утверждения:

1) Все коэффициенты аn ≥ 0

2) при n=k2, k ? / N(N)/ аn≥1

3) В области ReS<1 можно почленно дифференцировать, то есть


F (k) (S)= Теорема Дирихле(-1)k(ln n)k Теорема Дирихле k=1,2…; (2.17)


4) Ряд (1) в точке S=1/2 расходится.

Доказательство. В области ReS > 1 ряды, определяющие функции S(S) и L (S,c), абсолютно сходятся, поэтому их можно перемножить:


где


Теорема Дирихле (2.19)


Пусть Теорема Дирихле- расположение числа n в произведение простых сомножителей. Тогда все натуральные делители l числа n имеют вид


Теорема Дирихле Теорема Дирихле


поэтому из равенства (14) находим, что


Теорема Дирихле


где ani = 1+ c (pi)+ … +cLi (pi), i=1,…, m (2.21)

так как c – вещественный характер, то он может принимать только три значения: 0, 1, -1. Из равенства (2.21) следует, что

Теорема Дирихле (2.22)


Во всех случаях числа aniі0, а значит, и an=an1 … anmі0

Если же число п является полным квадратом, то

N=k2=p/2g … pm 2g,

и из равенств (2.20) и (2.22) следует, что аn і1

При любом s > 0 в области ReS> 1 +s выполняется неравенство


Теорема Дирихле


Ряд (2.18) сходится в области ReS > 1. Поэтому по признаку Вейерштрасса ряд (2.16) сходится равномерно в области ReS > 1 + s, а по теореме Вейерштрасса его можно в этой области почленно дифференцировать любое число раз. Следовательно, в области ReS > 1 +s выполняется равенство (2. 17), а в силу произвольности s оно выполняется и в области ReS > 1.

Однако ряд (39) расходится, так как по второму утверждению леммы

Ряд (2.16) при S = Теорема Дирихле имеет неотрицательные члены. Поэтому, если бы он сходился, то также сходился бы ряд


Теорема Дирихле (2.23)


Следовательно, ряд (2.23) расходится. Лемма доказана.

Переходим непоредственно к доказательству второго случая теоремы. Допустим, что L (1,c) = 0. Тогда полюс дзета-функции будет компенсироваться в произведении S(S) L (S, c) нулем функции L (S, c).

Поэтому функция (2.15) F(S) будет аналитической в области ReS > 0 так как в точке S=1 у F(z) – устраненная особая точка. Следовательно, ее можно разложить в ряд Тейлора в точке S = 2:


Теорема Дирихле (2. 24)


радиус сходимости которого не меньше 2 Rі2/

Из равенств (2.17), в частности S=2, находим


Теорема Дирихле (2.25)


В радиусе сходимости будет брать не все S, а только вещественные ReS=s S=sО(0,2). Пользуясь разложениями (18) и (19), находим


Теорема Дирихле


Члены двойного ряда неотрицательны, поэтому он сходится абсолютно, и в нем можно поменять порядок суммирования. Тогда


Теорема Дирихле


Следовательно, ряд (2.16) сходится во всех точках, s < (, 0, 2), и в точке Теорема Дирихле, а это противоречит четвертому утверждению леммы. Поэтому L (S,c)№0/

Этим завершается доказательство теоремы

По следствию 2 леммы 2 функция Теорема Дирихле является аналитической в области ReS > 1. Для дальнейшего доказательства теоремы Дирихле нам будет необходимо представление этой функции в виде ряда, аналогичного ряда (2.16).

Лемма. Для каждого характера c(n) в области ReS > 1 справедливо равенство


Теорема Дирихле (2.26)


Теорема Дирихле


Доказательство.

Так как S=s+it имеет место неравенство

Теорема Дирихле

получаем, что ряд стоящий в правой части равенства (2.26), абсолютно сходится в области s>1. Умножим этот ряд на ряд определяющий L (S, c). Получили


Теорема Дирихле


Предпоследнее равенство имеет место ввиду равенства Теорема Дирихле), а последнее – по следствию из леммы 3, равенство 2.7.

3. Доказательство теоремы Дирихле


Теорема. Если разность и первый член арифметической прогрессии есть взаимно простые натуральные числа, то она содержит бесконечное множество простых чисел.

Доказательство.

Рассмотрим равенство (2.26), которое справедливое по Лемме в области ReS > 1. Поскольку Теорема Дирихле(n) = 0 для всех n, не являющихся степенями простых чисел, то все отличные от нуля члены ряда в правой части (2.26) имеют вид


Теорема Дирихле


где р – простое и k – натуральное числа. Ряд (2.26) абсолютно сходится, следовательно, его можно представить в виде двойного ряда) и, значит, в области ReS > 1


Теорема Дирихле (3.1)


Второе слагаемое в правой части этого равенства равномерно ограничено по s в области ReSі3/4. Действительно, если S=p+it, pі3/4, то


Теорема Дирихле


Следовательно, при S®1+0 для каждого характера c имеет место равенство

Теорема Дирихле (3.2)


Здесь и в дальнейшем s ® 1 + o обозначает, что S стремится к 1 по действительной оси справа.

Пусть u – некоторое натуральное число, удовлетворяющее сравнению


Теорема Дирихле (3.3)


Умножим обе части равенства (3.2) на c(u) и просуммируем получившиеся равенства по всем числовым характерам c. Тогда получим


Теорема Дирихле (3.3)


Если простое число р удовлетворяет сравнению р єl (mod m), то pu ≠ 1 (mod m), и по теореме 1


Теорема Дирихле


Если же p≠l (mod m), то pu≠ 1 и по той же теореме


Теорема Дирихле


Таким образом, равенство (3.3) можно переписать в виде


Теорема Дирихле (3.4)

По лемме 3 и теореме 2 для неглавного характера c функция Теорема Дирихле является аналитической в точке S = 1. Поэтому для таких характеров при S ®1 + 0 имеем


Теорема Дирихле (3.5)


По следствию 1 леммы 4 функция L (S, c1) имеет в точке S=1 полюс первого порядка. Значит, при S®1+0


Теорема Дирихле (3/6)


Учитывая равенства (3.5) и (3.6.) из равенства (26) получаем, что


Теорема Дирихле


Так как число u удовлетворяет сравнению (3.3), то (u, m) = 1 и c0(u)=1. Итак, при S®1+0


Теорема Дирихле (3.7)


Правая часть равенства а (3.7) при S®1+0 имеет бесконечный предел. Значит, сумма, стоящая в левой части этого равенства, имеет бесконечное множество слагаемых. Поэтому существует бесконечное множество простых чисел, удовлетворяющих сравнению

pєe (mod m)

Теорема Дирихле доказана.

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: