Теорема Дирихле
Получаем, что каждый сомножитель в правой части равенства (f) не меньше 1 и, следовательно, при любом S>1 выполняется равенство:
|L3(Sc1) · L4(Sc) L (Sc2)| ≥ 1 (2.13)
Допустим, что для некоторого характера c (c2≠c1) выполняется равенство
L (1, c) = 0 (2.14)
Оценим сверху левую часть неравенства. Из оценки дзета-функции Римана
ξ(S) ≤ , следует, что при S ? R, S>1 выполняется неравенство
а) 0 < 4 (S, c1) =
получили 0<L (S, c1)≤
б) Функция L (S, c) разложим в ряд Тейлора
L (S, c) = Cp + C1 (S – 1) + C2(S – 1)2 +… + Cn(S – 1)n +…
Предположим, что у нее есть нуль L (1, c) = 1; тогда С0 = 0
Перепишем разложение L – функции в ряд
L(Sc) = Cк (S – 1)к + Ск+1(S – 1)к+1 = (S – 1)1 (Cк + Ск+1(S -1) +….), где к≥1, Ск ≤ 0, т. к. S>1
| L (S, c)| = |S – 1|k| Ck + Ck+1(S – 1) +….| ≤ 2 Ck|S – 1)k, при |S – | < r
Функция L (S, c2) в точке S = 1 не имеет полюса, следовательно не имеет особенности. Это в силу того, что c комплексное и c2≠c1
Получаем неравенство:
L (S, c2) ≤ C,
При условии | S – 1|< δ
Учитывая все неравенства и оценки
| L3 (S, c) L4(S, c) L (S, c2)| = ()3 · 24 |Ck|4 (S – 1)4k· C≥1
Следовательно, это неравенство становится противоречивым, если перейти к пределу при S→1+0. Полученное противоречие показывает, что равенство (2.14) не выполняется.
2. Рассмотрим c – вещественный характер, т.е. принимающий только вещественные значения, несовпадающий с главным характером
Лемма 8. Пусть c – вещественный характер.
Рассмотрим функцию
F(S) = ξ(S) L (S, x) (2.15)
Докажем, что если Re S>1, то
(2.16)
представляется рядом Дирихле, которого справедливы следующие утверждения:
1) Все коэффициенты аn ≥ 0
2) при n=k2, k ? / N(N)/ аn≥1
3) В области ReS<1 можно почленно дифференцировать, то есть
F (k) (S)= (-1)k(ln n)k k=1,2…; (2.17)
4) Ряд (1) в точке S=1/2 расходится.
Доказательство. В области ReS > 1 ряды, определяющие функции S(S) и L (S,c), абсолютно сходятся, поэтому их можно перемножить:
где
(2.19)
Пусть - расположение числа n в произведение простых сомножителей. Тогда все натуральные делители l числа n имеют вид
поэтому из равенства (14) находим, что
где ani = 1+ c (pi)+ … +cLi (pi), i=1,…, m (2.21)
так как c – вещественный характер, то он может принимать только три значения: 0, 1, -1. Из равенства (2.21) следует, что
(2.22)
Во всех случаях числа aniі0, а значит, и an=an1 … anmі0
Если же число п является полным квадратом, то
N=k2=p/2g … pm 2g,
и из равенств (2.20) и (2.22) следует, что аn і1
При любом s > 0 в области ReS> 1 +s выполняется неравенство
Ряд (2.18) сходится в области ReS > 1. Поэтому по признаку Вейерштрасса ряд (2.16) сходится равномерно в области ReS > 1 + s, а по теореме Вейерштрасса его можно в этой области почленно дифференцировать любое число раз. Следовательно, в области ReS > 1 +s выполняется равенство (2. 17), а в силу произвольности s оно выполняется и в области ReS > 1.
Однако ряд (39) расходится, так как по второму утверждению леммы
Ряд (2.16) при S = имеет неотрицательные члены. Поэтому, если бы он сходился, то также сходился бы ряд
(2.23)
Следовательно, ряд (2.23) расходится. Лемма доказана.
Переходим непоредственно к доказательству второго случая теоремы. Допустим, что L (1,c) = 0. Тогда полюс дзета-функции будет компенсироваться в произведении S(S) L (S, c) нулем функции L (S, c).
Поэтому функция (2.15) F(S) будет аналитической в области ReS > 0 так как в точке S=1 у F(z) – устраненная особая точка. Следовательно, ее можно разложить в ряд Тейлора в точке S = 2:
(2. 24)
радиус сходимости которого не меньше 2 Rі2/
Из равенств (2.17), в частности S=2, находим
(2.25)
В радиусе сходимости будет брать не все S, а только вещественные ReS=s S=sО(0,2). Пользуясь разложениями (18) и (19), находим
Члены двойного ряда неотрицательны, поэтому он сходится абсолютно, и в нем можно поменять порядок суммирования. Тогда
Следовательно, ряд (2.16) сходится во всех точках, s < (, 0, 2), и в точке , а это противоречит четвертому утверждению леммы. Поэтому L (S,c)№0/
Этим завершается доказательство теоремы
По следствию 2 леммы 2 функция является аналитической в области ReS > 1. Для дальнейшего доказательства теоремы Дирихле нам будет необходимо представление этой функции в виде ряда, аналогичного ряда (2.16).
Лемма. Для каждого характера c(n) в области ReS > 1 справедливо равенство
(2.26)
Доказательство.
Так как S=s+it имеет место неравенство
получаем, что ряд стоящий в правой части равенства (2.26), абсолютно сходится в области s>1. Умножим этот ряд на ряд определяющий L (S, c). Получили
Предпоследнее равенство имеет место ввиду равенства ), а последнее – по следствию из леммы 3, равенство 2.7.
3. Доказательство теоремы Дирихле
Теорема. Если разность и первый член арифметической прогрессии есть взаимно простые натуральные числа, то она содержит бесконечное множество простых чисел.
Доказательство.
Рассмотрим равенство (2.26), которое справедливое по Лемме в области ReS > 1. Поскольку (n) = 0 для всех n, не являющихся степенями простых чисел, то все отличные от нуля члены ряда в правой части (2.26) имеют вид
где р – простое и k – натуральное числа. Ряд (2.26) абсолютно сходится, следовательно, его можно представить в виде двойного ряда) и, значит, в области ReS > 1
(3.1)
Второе слагаемое в правой части этого равенства равномерно ограничено по s в области ReSі3/4. Действительно, если S=p+it, pі3/4, то
Следовательно, при S®1+0 для каждого характера c имеет место равенство
(3.2)
Здесь и в дальнейшем s ® 1 + o обозначает, что S стремится к 1 по действительной оси справа.
Пусть u – некоторое натуральное число, удовлетворяющее сравнению
(3.3)
Умножим обе части равенства (3.2) на c(u) и просуммируем получившиеся равенства по всем числовым характерам c. Тогда получим
(3.3)
Если простое число р удовлетворяет сравнению р єl (mod m), то pu ≠ 1 (mod m), и по теореме 1
Если же p≠l (mod m), то pu≠ 1 и по той же теореме
Таким образом, равенство (3.3) можно переписать в виде
(3.4)
По лемме 3 и теореме 2 для неглавного характера c функция является аналитической в точке S = 1. Поэтому для таких характеров при S ®1 + 0 имеем
(3.5)
По следствию 1 леммы 4 функция L (S, c1) имеет в точке S=1 полюс первого порядка. Значит, при S®1+0
(3/6)
Учитывая равенства (3.5) и (3.6.) из равенства (26) получаем, что
Так как число u удовлетворяет сравнению (3.3), то (u, m) = 1 и c0(u)=1. Итак, при S®1+0
(3.7)
Правая часть равенства а (3.7) при S®1+0 имеет бесконечный предел. Значит, сумма, стоящая в левой части этого равенства, имеет бесконечное множество слагаемых. Поэтому существует бесконечное множество простых чисел, удовлетворяющих сравнению
pєe (mod m)
Теорема Дирихле доказана.