Математика

пользуясь правилом Лопиталя).

  

Решение:

   Подстановка:

Задание 123.

         Дана функция y=f(x) и три значения аргумента x₁,x₂,x₃.  Установить, является ли эта данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений Х. Построить (приближенно) график функции в окрестностях каждой из данных точек.

      

Решение:

 

        Так как ,то функция в точке Х₁=-1 непрерывна.

Так как ,то функция в точке х=3 разрывная.

   

          Так как ,то функция в точке х=7 непрерывна.

Задание 133.

      Функция y=f(x) задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Построить график.

 

Решение:

      Так как  , то функция в точке х=-1 разрывна.

       Так как , то функция в точке  непрерывна.

Задание 143.

Найти производные

     a)       б)   в)

г)   д)

Решение.

а)

б)

в)

 

г)

д)

Задание 153.

Найти  для функции, заданной параметрическим.

Решение.

Задание 163.

На линии  найти точку, в которой касательная к этой линии параллельна прямой

Решение.

          Угловой коэффициент прямой:   

  или           

 

         Угловой коэффициент касательной к линии: 

      Так как касательная к линии и прямая параллельны, то  

тогда:

   Таким образом получаются две точки:

 

Задание 173.

Какова должна быть высота равнобедренного треугольника, вписанного в окружность диаметра d, чтобы площадь треугольника была наибольшей?

Решение.

Задание 183.

         Исследовать методами дифференциального исчисления и построить график.

    

Решение.

           1. область определения функции:

     так как  то функция нечетная.

         2. Точки пересечения с осями координат:

При при

           3. Область возрастания (убывания) функции, точки экстремумов:

    При  функция возрастает.

    При  функция убывает.

    При  функция убывает.

    При   функция возрастает

     Точка точка максимума.

     Точка точка минимума.

         4. Область выпуклости (вогнутости) функции, точки перегибов.

     При    функция выпукла;

     При    функция вогнута;

    При    функция выпукла;

    При    функция вогнута.

    Точки  - точки перегибов.

         5. Асимптот нет

1. область определения функции:

2.  точки пересечения с осями координат:

При

     так как  то функция нечетная.

3. области возрастания (убывания) функции; точки экстремумов.

   

Точек экстремумов нет.

Так как  то функция возрастает.

4. область выпуклости (вогнутости) функции; точки экстремумов.

      

При   функция вогнута;

При    функция выпукла;

Точка (0;0) точка перегиба.

5. асимптоты.

     

        асимптота.

Задание 193.

Определить количество действительных корней уравнения ;

отделить эти корни и, применяя метод хорд и касательных, найти их приближенные значения с точностью до 0,001.

Решение.

Исследуем график функции.

   

Количество корней  К=1.

    

     Таким образом, функция принимает значения на отрезке  ,в качестве начального приближения возьмем

     метод касательных:

     составим таблицу:

1 2 3	-0,1 -0,398 -0,388	-0,001 -0,063 -0,586	1,499 -0,053 -0,0001	5,03 5,475 5,452	0,298 -0,0097 -0,00002	-0/3980 -0,3883 -0,3882

Искомый корень х=-03882

Задание 203.

Найти частные производные функции

Решение.

      Частные производные:

Задание 213.

Дана функция  и две точки . Требуется:

1) вычислить приближенное значение функции у точке В, исходя из значения в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом;  2) вычислить точное значение функции в точке В и оценить в процентах относительную погрешность, возникающую при замене приращения функции дифференциалом.

Решение.

       

Вычислим частные производные в точке А.

      

 

Приближенное значение:

       

Вычислим точки значения функции:

       

Относительная погрешность вычисления:

        

Задание 223.

Даны функция  точка  и вектор а.  Требуется найти:

1) grad z в точке А;   2)производную по направлению вектора в точке А.

Решение.

1) вектором градиентом функции двух переменных  является вектор:

       

Найдем частные производные в точке А:

        

2) производная по направлению вектора вычисляется по формуле.

        

    

Задание 233.

Найти наименьшее и наибольшее значение функции  в замкнутой области, ограниченной заданными линиями.

Решение.

Частные производные:

На прямой АВ:

      

На прямой АС: 

        

На прямой ВС: 

             

  

   Z наибольшее =5;   z наименьшее =-117.

Использованная литература:

 1 Ткачук В.В. Математика абитуриенту:-М:МЦНМО,2002 г.

2 Сканави М.И. 2500 задач по математике для поступающих в вузы:

-М: Оникс 21 век,  2005 г.

3 Мельников И.И. Как решать задачи по математике на вступительных экзаменах. 3-е издание, переработанное: учебник/ И.И Мельников, И.Сергеев.-М:УНЦДО, 2004       г.