Решение матриц

Умножение


Умножение матриц (Произведение матриц):

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Это условие не выполняется, произведение АВ не существует.

Произведение матрицы и вектора Аb:


Решение матриц


Скалярное произведение векторов (b,с):


Решение матриц


Найти определитель матрицы А:

В частности, формула вычисления определителя матрицы Решение матрицтакова:


Решение матриц

= a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31

=2*(-4)*5 – 2*4*2 – (-2)*5*5 + (-2)*4*(-1) +(-1)*5*2 – (-1)*(-4)*(-1) = -40 – 16 +50 + 8 – 10 + 4 = -4


Найти обратную матрицу А-1:

Решение.


Решение матриц

Определитель введенной Вами матрицы равен:


Решение матриц


Определитель не равен нулю, следовательно обратная матрица существует.

Допишем к исходной матрице единичную матрицу справа.


Решение матриц


Начнем приведение левой квадратной матрицы к единичному виду. При помощи элементарных преобразований уберем все коэффициенты ниже главной диагонали.

Вычтем 1 - ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.


Решение матриц


Вычтем 2 - ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.


Решение матриц


Приведем все коэффициенты на главной диагонали матрицы к 1. Поделим каждую строку матрицы на коэффициент этой строки находящийся на главной диагонали, если он не равен 1.


Решение матриц


Приведем все коэффициенты выше главной диагонали к 0, при помощи элементарных преобразований.

Вычтем 3 - ую строку из всех строк, которые находятся выше нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.


Решение матриц


Вычтем 2 - ую строку из всех строк, которые находятся выше нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.


Решение матриц


Ответ.

Как уже ранее упоминалось, мы при помощи элементарных преобразований переместили единичную матрицу из правой части в левую, при этом не нарушив ни одного правила работы с матрица.

Квадратная матрица, которую Вы видите справа и есть обратная матрица к введенной Вами.

Решение матриц


Решение системы уравнений Ах=b:

Условие


Решение матриц


Решение

Найдем определитель главной матрицы, составленной из коэффициентов при X1 - n:


Решение матриц


Определитель главной матрицы системы уравнений не равен нулю, следовательно данная система уравнений имеет единственное решение. Найдем его. Достоим главный определитель системы уравнений еще одним столбцом, в который вставим значения за знаком равенства.


Решение матриц


Теперь последовательно, при помощи элементарных преобразований преобразуем левую часть матрицы (3 Ч 3) до треугольного вида (обнулим все коэффициенты находящиеся не на главной диагонали, а коэффициенты на главной диагонали преобразуем до единиц).

Вычтем 1 - ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.


Решение матриц


Вычтем 2 - ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.


Решение матриц


Вычтем 3 - ую строку из всех строк, которые находятся выше нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.


Решение матриц


Вычтем 2 - ую строку из всех строк, которые находятся выше нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.


Решение матриц


Приведем все коэффициенты на главной диагонали матрицы к 1. Поделим каждую строку матрицы на коэффициент этой строки находящийся на главной диагонали, если он не равен 1.


Решение матриц


Ответ.

Числа получившиеся правее единичной матрицы и будут решением Вашей системы уравнений.


Решение матриц


Элементарные преобразования матрицы


Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования: 1) умножение строки матрицы на число, отличное от нуля; 2) прибавление к одной строке матрицы другой строки; 3) перестановка строк; 4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов); 5) транспонирование матрицы;

Те же операции, применяемые для столбцов матрицы, также называются элементарными преобразованиями. С помощью элементарных преобразований можно к какой-либо строке или столбцу матрицы прибавить линейную комбинацию остальных строк (столбцов).

Начинаем решать вот такую систему уравнений методом Гаусса


Решение матриц


Определитель основной матрицы равен -4

Хотим сделать элемент [1,1] равным 1. Разделили всю строку 1 на элемент [1,1]=2.


Решение матриц


Сделали в 1 строке элемент 1 единичным.

Обнулим 1 столбец: Из 2 строки вычли 1 строку, умноженную на элемент [1,2]=5.


Решение матриц


Из 3 строки вычли 1 строку, умноженную на элемент [1,3]=-1.


Решение матриц


Преобразование 1 столбца сделали.

Хотим сделать элемент [2,2] равным 1. Разделили всю строку 2 на элемент [2,2]=1.


Решение матриц


Сделали в 2 строке элемент 2 единичным.

Обнулим 2 столбец: Из 1 строки вычли 2 строку, умноженную на элемент [2,1]=-1.


Решение матриц


Из 3 строки вычли 2 строку, умноженную на элемент [2,3]=1.


Решение матриц


Преобразование 2 столбца сделали.

Хотим сделать элемент [3,3] равным 1. Разделили всю строку 3 на элемент [3,3]=-2.


Решение матриц


Сделали в 3 строке элемент 3 единичным.

Из 1 строки вычли 3 строку, умноженную на элемент [3,1]=6.


Решение матриц


Из 2 строки вычли 3 строку, умноженную на элемент [3,2]=6.5.


Решение матриц


Преобразование 3 столбца сделали.

Ну вот вроде и все. Решение содержится в правом столбце: Решение матриц Быстренько сделаем проверку: Исходная матрица:


Решение матриц


Подставим в исходную матрицу полученные решения: в квадратных скобках элементы матрицы, в круглых решения системы уравнений


Решение матриц

Похожие рефераты: