Xreferat.com » Рефераты по математике » Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Курсовая работа по информатике

Исполнитель: Солнцев П.В.

Санкт-Петербургский Государственный Технологический Институт (Технический Университет)

Санкт-Петербург 2001

Введение

В решении любой прикладной задачи можно выделить три основных этапа: построение математической модели исследуемого объекта, выбор способа и алгоритма решения полученной модели, численная реализация алгоритма.

Цель данной работы – на примере исследования распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне освоить основные методы приближённых вычислений, приобрести практические навыки самостоятельных исследований, существенно опирающихся на использование методов прикладной математики.

Постановка задачи

Физическая модель

В ряде практических задач возникает необходимость исследования распределения температуры вдоль тонкого цилиндрического стержня, помещённого в высокотемпературный поток жидкости или газа. Это исследование может проводиться либо на основе обработки эксперимента (измерение температуры в различных точках стержня), либо путём анализа соответствующей математической модели.

В настоящей работе используются оба подхода.

Тонкий цилиндрический стержень помещён в тепловой поток с постоянной температурой , на концах стержня поддерживается постоянная температура 0.

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

1.2 Математическая модель

Совместим координатную ось абсцисс с продольной осью стержня с началом в середине стержня. Будем рассматривать задачу (распределения температуры по стержню) мосле момента установления режима Т0.

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Первая математическая модель использует экспериментальные данные, при этом измеряют температуру Ui стержня в нескольких точках стержня с координатами xi. Результаты измерения Ui рассматривают как функцию регрессии и получают статистики. Учитывая чётность U(x) можно искать её в виде многочлена по чётным степеням x (ограничимся 4-ой степенью этого многочлена).

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

 (1.1)

Задача сводится к отысканию оценок неизвестных параметров, т.е. коэффициентов a0 , a1 и a2 , например, методом наименьших квадратов.

Вторая математическая модель, также использующая экспериментальные данные, состоит в применении интерполяционных формул и может употребляться, если погрешность измерений температуры Ui пренебрежимо мала, т.е. можно считать, что U(xi)=Ui

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Третья математическая модель основана на использовании закона теплофизики. Можно доказать, что искомая функция U(x) имеет вид:

 (1.2)

где коэффициент теплопроводности, коэффициент теплоотдачи, D – диаметр стержня, температура потока, в который помещён стержень.

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Ищем U(x) как решение краевой задачи для уравнения (1.2) с граничными условиями:

 (1.3)

на отрезке [-L|/2;L/2], где L – длина стержня, постоянная температура, поддерживаемая на концах стержня.

Коэффициент теплопроводности  зависит от температуры:

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

 (1.4)

где начальное значение коэффициента теплопроводности, вспомогательный коэффициент.

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Коэффициент теплоотдачи вычисляют по формуле:

 (1.5)

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

т.е. как среднее значение функции

за некоторый отрезок времени от 0 до Т, здесь значение при t стремящемся к бесконечности, b – известный коэффициент.

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Время Т0, по истечении которого распределение температуры в стержне можно считать установившимся определяется по формуле:

 (1.6)

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

где а – коэффициент температуропроводности, наименьший положительный корень уравнения:

 (1.7)

Задание курсовой работы

Вариант № 136

Исходные данные:

L = 0.0386 м

D = 0,00386 м

оС

оС

141,85 (Вт/м*К)

2,703*10-4

6,789*10-7

3,383*102 (Вт/м2*К)

218 оС

 А = 3,043*10-5 (м2/с)

11

X, м U, oC
0 353
0,00386 343
0,00772 313
0,01158 261
0,01544 184
0,01930 74

2. Обработка результатов эксперимента.

2.1 Задача регрессии. Метод наименьших квадратов.

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Ищем функцию регрессии в виде (1.1). Оценки коэффициентов находим с помощью МНК, при этом наименьшими будут оценки, обеспечивающие минимум квадратов отклонений оценочной функции регрессии от экспериментальных значений температуры; суммирование ведут по всем экспериментальным точкам, т.е. минимум величины S:

 (2.1)

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

В нашем случае необходимым т достаточным условием минимума S будут:

Где k = 0, 1, 2. (2,2)

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Из уравнений (2.1) и (2.2) получаем:

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

 (2.3)

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Сумма

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Система (2.3) примет вид:

 (2.4)

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

В результате вычислений получаем Sk и Vj. Обозначим матрицу коэффициентов уравнения (2.4) через “p”:

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Методом Гаусса решаем систему (2.4) и найдём обратную матрицу p-1. В результате получаем:

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Подставляя в (2.1) найденные значения оценок коэффициентов ак, находим минимальное значение суммы S:

 Smin=0.7597

При построении доверительных интервалов для оценок коэффициентов определяем предварительно точечные оценки.

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Предполагается, что экспериментальные значения xi измерены с пренебрежимо малыми ошибками, а случайные ошибки измерения величины Ui независимы и распределены по нормальному закону с постоянной дисперсией , которая неизвестна. Для имеющихся измерений температуры Ui неизвестная дисперсия оценивается по формуле:

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Где r – число степеней свободы системы, равное разности между количеством экспериментальных точек и количеством вычисляемых оценок коэффициентов, т.е. r = 3.

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Оценка корреляционной матрицы имеет вид:

 

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Оценки дисперсий параметров оценок коэффициентов найдём по формулам:

 Где Sk – минор соответствующего диагонального элемента матрицы нормальной системы;

 главный определитель нормальной системы.

В нашем случае:

S0=3.5438 10-22

S1=-8.9667 10-14

S2=6.3247 10-7

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Откуда:

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Найденные оценки коэффициентов распределены по нормальному закону, т.к. линейно зависят от линейно распределённых экспериментальных данных Ui.

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Известно, что эти оценки несмещённые и эффективные. Тогда случайные величины:

 Имеют распределения Стьюдента, а r = 3.

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Выбираем доверительную вероятность =0,9 и по таблице Стьюдента находим критическое значение равное 2,35, удовлетворяющее равенству:

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Доверительные интервалы для коэффициентов:

 (2.4*)

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

В нашем случае примут вид:

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

2.2 Проверка статистической гипотезы об адекватности модели задачи регрессии.

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Имеется выборка объёма n экспериментальных значений (xi;Ui). Предполагаем, что ошибки измерения xi пренебрежимо малы, а случайные ошибки измерения температур Ui подчинены нормальному закону с постоянной дисперсией Мы выбрали функцию регрессии в виде:

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Выясним, нельзя ли было ограничиться многочленом второго порядка, т.е. функцией вида:

 (2.5)

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

C помощью МНК можно найти оценки этих функций и несмещённый оценки дисперсии отдельного измерения Ui для этих случаев:

Где r1 = 4 (количество точек – 6, параметра – 2).

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Нормальная система уравнений для определения новых оценок коэффициентов функции (2.5)с помощью МНК имеет вид:

 (2.7)

Похожие рефераты: