Xreferat.com » Рефераты по математике » Антипростые числа

Антипростые числа

Отдел образования гомельского городского исполнительного комитета

Государственное учреждение образования

"Гимназия №71 г. Гомеля"


Конкурсная работа

"Антипростые числа"


Исполнитель:

Мурашко Вячеслав Игоревич,

ученик 9 А класса

Руководитель:

Синюто Алла Николаевна,

учитель физики

Государственного учреждения образования

"Гимназия №71 г. Гомеля"


Гомель

2009

Оглавление


Введение

1. Исследование антипростых чисел и их свойств

1.1 Задачи об антипростых числах

1.2 Исследование количества антипростых чисел среди натуральных чисел

1.3 Исследование частоты встречаемости антипростых чисел среди натуральных чисел

2. Обобщения об антипростых числах

Заключение

Список использованных источников и литературы

Приложения


Введение


На XI Республиканском турнире юных математиков, проходившем в декабре 2009 года в Минске, одной из исследовательских тем была задача об антипростых числах.

Цель данной работы – изучить антипростые числа и их свойства. При выполнении работы были решены поставленные на турнире задачи об антипростых числах, а также предложены и исследованы свои вопросы по данной теме. Объект исследования – антипростые числа. Назовем натуральное число антипростым, если каждый его простой делитель входит в его разложение на множители с показателем, большим 1. Назовем натуральное число антипростым порядка р (р О N), если каждый его простой делитель входит в его разложение на множители с показателем не меньшим, чем р. Назовем два натуральных числа взаимно антипростыми, если их наибольший общий делитель является антипростым числом. Антипростые числа являются естественным обобщением фигурирующих в проблеме бельгийского математика Э. Каталана правильных степеней (1844 г.), которую пытались решать такие выдающиеся математики как Лео Гебракус, Френикль де Бесси, Л. Эйлер, В. А. Лебег, Т. Нагель и др. В 2003 году румынский математик П. Михайлеску доказал справедливость гипотезы Каталана. Тематика данной исследовательской работы является достаточно новой. При проведении анализа источников информации непосредственно ссылок на задачу об антипростых числах в такой постановке было найдено две – это статья В. Сендерова, Б. Френкина "Гипотеза Каталана" в журнале "Квант" № 4 2007 года и задача М2032 об антипростых числах – близнецах В. Сендерова из того же журнала. В процессе выполнения данной работы потребовались более углубленные знания по теории чисел, которые были получены из таких источников информации, как Оре О. "Приглашение в теорию чисел", Виноградов И.М. "Основы теории чисел" и др.

1. Исследование антипростых чисел и их свойств


1.1 Задачи об антипростых числах


При изучении антипростых чисел и их свойств были решены ряд следующих задач, поставленных на XI турнире юных математиков.

Покажите, что в натуральном ряду не могут идти подряд четыре антипростых числа.

Решение. Среди подряд идущих четырех натуральных чисел два – чётные. Их разность равна 2, т.е. при делении на 4 одно из них даёт в остатке 2, другое 0. Следовательно, одно из этих чисел делится на Антипростые числа но не делится на Антипростые числа, т.е. не антипростое. Заметим также, что эти два четных числа не могут быть взаимноантипростыми и антипростыми порядка p.

Могут ли три антипростых числа быть длинами сторон прямоугольного треугольника?

Решение. Три антипростых числа могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника.

Приведем в качестве примера треугольник со следующими длинами сторон: Антипростые числа,Антипростые числа,Антипростые числа. Доказательством того, что этот треугольник является прямоугольным, является выполнимость теоремы Пифагора:


Антипростые числаАнтипростые числаАнтипростые числа.


Заметим также, что эти числа взаимноантипросты и антипростые порядка p.

Могут ли три (четыре, пять, …) антипростых числа быть членами арифметической прогрессии?

Решение. Любое количество антипростых чисел может быть членами арифметической прогрессии.

Примером являются следующие n подряд идущие члены арифметической прогрессии: Антипростые числа, 2Антипростые числа, 3Антипростые числа, …, Антипростые числас разностью Антипростые числа, где p > 1.

Эти числа также взаимноантипросты и антипростые порядка Антипростые числа.

Могут ли пять антипростых чисел составлять множество чисел вида a, a ± b, a ± (b + c) и т.д.?

Решение. Ответ на этот вопрос зависит от величины чисел b и c. Например, если они равны по 1, то из первой задачи следует, что таких пяти антипростых чисел нет (нет 4 подряд идущих). Но найти такие a, b и c, что a, a ± b, a ± (b + c) антипростые можно. Например, 2Антипростые числа, 4Антипростые числа, 5Антипростые числа, 6Антипростые числа, 8Антипростые числа, где n > 8, p > 1. Заметим, что эти числа взаимноантипросты и антипростые порядка Антипростые числа.

Легко получить сколько угодно слагаемых такого вида, выбирая различные a, b и c, а затем домножая на Антипростые числа с соответствующим n.

Покажите, что во множестве натуральных чисел существуют тройки подряд идущих чисел, среди которых два являются антипростыми.

Решение. Во множестве натуральных чисел существуют тройки подряд идущих чисел, среди которых два являются антипростыми. Например, (7, 8, 9), (8, 9, 10), (25, 26, 27). В первой тройке второе число и третье число, во второй тройке первое число и второе число, а в третьей тройке первое число и третье число являются антипростыми числами.

Покажите, что таких троек бесконечно много.

Решение. Покажем, что таких троек бесконечно много.

Рассмотрев первую тройку (p–1, p, p+1), из которой p и p+1 антипростые числа, получаем тройку (q–1, q, q+1), где числа q = 4ЧpЧ(p+1) = (2p+1)2 – 1 и q+1 = Антипростые числа , очевидно, антипростые как произведение антипростых чисел и квадрат, который всегда антипростое число. Из тройки (7, 8, 9) получим тройку (287, 288, 289), из нее (332 927, 332 928, 332 929) и так далее. В результате получим бесконечное число таких троек.

Аналогичный алгоритм применяется и для троек вида (p, p+1, p+2), в которой p и p+1 антипростые числа.

В журнале КВАНТ №4 за 2007 год [2] приведен простой алгоритм, как из третьего вида тройки получить бесконечную серию таких троек. Он опирается на равенство (2n3+3n)2+2=(2n2+1)2(n2+2), которое легко проверяется раскрытием скобок. Действительно, раскрыв скобки слева и справа, получим 4n6+12n4+9n2+2. Но тогда с тройкой (n2, n2+1, n2+2), в которой n2 и n2+2 являются антипростыми, получаем тройку (k2, k2+1, k2+2), где k = 2n3+3n. Согласно доказанному выше равенству k2 и k2+2 являются антипростыми числами. Так из (25, 26, 27) получаем (70 225, 70 226, 70 227) = (2652, 2652+1, 172ґ35). Взяв n = 265, получим следующую тройку и так далее.

Могут ли все три числа n - 1, n, n + 1 быть антипростыми?

Решение. Доказать, что нет трех подряд идущих антипростых чисел или найти такую тройку не удалось. Однако заметим, что в журнале КВАНТ №4 за 2007 год [1] также отмечается, что ответ на этот вопрос авторам неизвестен. Во всяком случае, среди чисел до 2 000 000 таких троек нет. Мною повышена эта оценка до 3 136 000 000 чисел.

Верно следующее утверждение.

Если существует тройка анипростых чисел n - 1, n, n + 1, то существует антипростое число вида Антипростые числа.

Доказательство:

Докажем, что если существует тройка антипростых чисел вида n - 1, n, n + 1, то число n чётное. Действительно, если числа n - 1, n +1 – чётные, то их разность равна 2, т.е. при делении на 4 одно из них даёт в остатке 2, другое 0. Следовательно, одно из этих чисел делится на Антипростые числа, но не делится на Антипростые числа, т.е. не антипростое - противоречие.

Так как Антипростые числа антипростое и чётное, то оно делится на 4, то есть имеет вид Антипростые числа. Тогда Антипростые числа. Антипростое число, умноженное на антипростое число – анипростое число. То есть число Антипростые числа тоже антипростое.

Верно и обратное утверждение.

Если существует антипростое число вида Антипростые числа (4k – антипростое), то и существует тройка подряд идущих антипростых чисел.

Доказательство:

Антипростые числа, НОД(Антипростые числа)=1. Значит числа Антипростые числа антипростые, то есть существует тройка подряд идущих антипростых чисел.

Данное утверждение равносильно задаче о существовании трёх подряд идущих антиростых чисел. Саму задачу решить сложно. Но, возможно, проще окажется задача о существовании антипростого числа вида Антипростые числа. И если такое число существует, может ли при этом 4k быть антипростым?

Заметим, что из тройки анипростых чисел (n2, n2+1, n2+2), в которой n2 и n2+2 являются антипростыми, можно получить числа Антипростые числа и Антипростые числа, являющиеся антипростыми (антипростое умноженное на антипростое число – анипростое число).

Но с помощью данного алгоритма нельзя получить антипростое число вида Антипростые числа. Действительно, n2 и n2+2 – нечётны, то есть Антипростые числа – чётное, так как n2 имеет вид Антипростые числа, то Антипростые числа делится на 16, но не делится на 4, следовательно, Антипростые числа не представимо в виде Антипростые числа.


1.2 Исследование количества антипростых чисел среди натуральных чисел


Будем исследовать количество антипростых чисел среди натуральных чисел в следующем смысле.

Необходимо попытаться найти или оценить количество антипростых чисел на различных отрезках (например, от 1 до 1000, от 1 до 1000000, от 1 до М (для произвольных натуральных значений М), от 1000 до 1000000 и т.п.), получить какие-либо общие закономерности.

Обозначим через p(т) количество антипростых чисел среди всех натуральных чисел от 1 до т.

Обозначим через p(k, т) количество антипростых чисел среди всех натуральных чисел от k до т.

Для оценки количества антипростых чисел на различных отрезках была разработана программа на Паскале, которая находит антипростые числа (см Приложение Б).

Из таблицы (см Приложение А), которую выводит программа, несложно подсчитать количество антипростых чисел для различных заданных отрезков. Например, от 1 до 1000 имеется 53 антипростых числа, от 1001 до 2000 – 24, от 2001 до 3000 – 18, от 3001 до 4000 – 19, от 4001 до 5000 – 13, от 5001 до 6000 – 13, от 6001 до 7000 – 12, от 7001 до 8000 – 11, от 8001 до 9000 – 11, от 9001 до 10 000 – 10 и т.д.

Но чтобы увидеть некоторую закономерность, попытаемся рассуждать, как и с простыми числами.

Хорошо известен постулат Бертрана [3, 4, 5, 6]: для любого натурального nАнтипростые числа2 на отрезке [n; 2n] лежит как минимум одно простое число. Такая гипотеза была выдвинута в 1845 году французским математиком Бертраном (проверившим её до n=3000000) и доказана в 1850 Чебышёвым. Рамануджан в 1920 году нашёл более простое доказательство, а Эрдёш в 1932 — ещё более простое.

Для антипростых чисел заметим нечто похожее.

На отрезке [n; n+2∙[Антипростые числа]+1] находится квадрат натурального числа. Действительно, если n точный квадрат, то и n+2∙[Антипростые числа]+1 точный квадрат. Если n не квадрат натурального числа, то число ([Антипростые числа]+1)2 – точный квадрат лежит на отрезке [n; n+2∙[Антипростые числа]+1]. Заметим, что для n > 5 длина отрезка [n; n+2∙[Антипростые числа]+1] меньше n.

По аналогии докажем что на отрезке [n; n+2∙[Антипростые числа]+1+2∙[Антипростые числа]+3] лежит 2 квадрата натуральных чисел (т.е. 2 антипростых числа). Очевидно, что Антипростые числа и Антипростые числа. Если n не точный квадрат натурального числа, то число ([Антипростые числа]+1)2 и Антипростые числа – точные квадраты лежат на отрезке [n; n+2∙[Антипростые числа]+1+2∙[Антипростые числа]+3]. Заметим, что для n > 10 длина этого отрезка меньше n.

Рассуждая аналогично, с учетом Антипростые числа, доказывается, что на отрезке Антипростые числа лежит k квадратов натуральных чисел (гдеАнтипростые числа – сумма всех нечётных чисел от 1 до 2k-1, т.е. Антипростые числа). Заметим, что для любого натурального k найдётся натуральное n такое что, Антипростые числа (например, n = 9k2), т.е. существует такое n, для которого Антипростые числа. Следовательно, с возрастанием n минимальное количество антипростых чисел на отрезках [n; 2n] увеличивается.

Заметим также, что аналог гипотезы Лежандра [3] о том, что для любого n ≥ 2 найдётся простое число в интервале [n2; (n+1)2], для антипростых чисел выполняется. Ведь любой квадрат сам по себе уже антипростое число.

Для оценки количества чисел на отрезке от 1 до n построим график, на котором по оси Ox будем откладывать числа от 1 до 1 500 000, а по оси Oy – значение функции p(n), т.е. количество антипростых чисел на отрезке от [1; n] (см рис. 1).


Антипростые числа

Рисунок 1 – График функции p(n)


Сравним график на рис. 1 с графиком функции Антипростые числа (см рис.2).


Антипростые числа

Рисунок 2 – График функции Антипростые числа


Для сравнения на рисунке 3 представлены одновременно графики функций p(n) и Антипростые числа. Исследования показали, что на отрезке до n=420000 Антипростые числа Антипростые числа p(n), а далее Антипростые числаАнтипростые числаp(n), причём процент ошибки небольшой (см. таблицу 1 в Приложение В). Так как вначале Антипростые числа Антипростые числа p(n), то процент ошибки убывает, после n=420000 он начинает возрастать, и при n=2000000 он приблизительно равен 2% .


Антипростые числа

Рисунок 3 – Сравнение графиков функций p(n) и Антипростые числа


1.3 Исследование частоты встречаемости антипростых чисел среди натуральных чисел


Будем исследовать частоту встречаемости антипростых чисел среди натуральных чисел в следующем смысле. Необходимо исследовать свойства частоты встречаемости антипростых чисел на отрезках длины т, расположенных в ряду натуральных чисел от 1 до 1000000 и др. и получить какие-либо общие закономерности. Назовем частотой встречаемости антипростых чисел на отрезке [1, т] число t(т) = p(т)/т. Аналогично t(k, т) = p(k, т)/(т – k +1) – частота встречаемости антипростых чисел на отрезке [k, т]. Для оценки частоты встречаемости антипростых чисел на отрезке от 1 до m построим графики функций t(т) = p(т)/т (см рис. 4).

Антипростые числа

Рисунок 4 – График функции Антипростые числа


Изучив график частоты t(т) = p(т)/т встречаемости антипростых чисел на отрезке от 1 до m, получим, что при малых значениях m он колеблется, то возрастая, то убывая (максимумы при антипростых m), но достигнув своего наибольшего значения Антипростые числа при m = 9 приобретает тенденцию к убыванию.

На рисунке 5 представлен графики функций t(т) и y(x)=Антипростые числа (Антипростые числа) для Антипростые числа.


Антипростые числа

Рисунок 5 - График функции t(т) и y(x)=Антипростые числа

Из графика на рис. 5 и из предыдущего пункта при больших m получаем гипотезу t(т)Антипростые числа.

В таблице 2 (см Приложение Г) приведено сравнение значений функций t(m), f(m)=Антипростые числа и y(x)=Антипростые числа до m= 1500000 и вычислена средняя ошибка приближения.

Средняя ошибка приближения функции t(m) к функции f(m)=Антипростые числа составила 1,185812%, а к функции y(x)=Антипростые числа – 0,280031%.

Исследование функции t(k, т) = p(k, т)/(т – k +1) – частоты встречаемости антипростых чисел на отрезке [k, т], не позволило выявить закономерностей. Ясно лишь, что она при любом m принимает значения от 0 до 1. Всего различных значений не более m+1, а при m > 3 не более m и среди них будет 1. Есть гипотеза (строго это не доказано), что t(k, т) не периодическая функция. Это также будет следовать из доказанной ниже теоремы 5.


2 Обобщения об антипростых числах


Цель данной работы не только решить поставленные на турнире задачи, но и предложить свои вопросы для исследования задачи об антипростых числах и исследовать их.

Докажем ряд теорем, которые могут представлять интерес при исследовании антипростых чисел.

Теорема 1. Любое нечетное число можно представить как разность двух антипростых чисел.

Доказательство:

Заметим, что 1 = 9 – 8 и 3 = 128 – 125. Пусть теперь 2p + 1 – произвольное нечетное число и p

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: