Xreferat.com » Рефераты по математике » Численное решение алгебраических проблем собственных значений

Численное решение алгебраических проблем собственных значений

: степенной метод.


Екатеринбург 2006

Введение


Выбор наиболее эффективного метода определения собственных значений и собственных векторов для конкретной инженерной задачи зависит от ряда факторов, таких, как тип уравнений, число искомых собственных значений и их характер. Различают полную (алгебраическую) проблему собственных значений, предполагающую нахождение всех собственных пар {λ, v} матрицы А, и частичную проблему собственных значений, состоящую как правило, в нахождении одного или нескольких собственных чисел λ и, соответствующих им собственных векторов v. Достаточно часто возникают задачи поиска наибольшего и наименьшего по модулю собственных значений квадратной матрицы – знание таких характеристик матрицы позволяют, например, делать заключения о сходимости итерационных процессов, оптимизировать параметры итерационных методов, учитывать влияние на результаты решения алгебраических задач погрешностей исходных данных. Другой пример: имеется матрица размера 5000*5000, в каждой строке которой содержится порядка десяти отличных от нуля элементов (разреженная матрица), и требуется найти только несколько, может быть, четыре или пять, собственных значений. Нахождение всех собственных пар разреженной матрицы представляет собой достаточно сложную вычислительную проблему.

Итерационные методы позволяют находить собственные значения и векторы, минуя процедуру построения характеристического полинома. Отличительной чертой этих методов является то, что собственные значения находятся лишь после определения собственных векторов. Рассмотрим метод, который позволяет найти наибольшее по модулю собственное значение матрицы и соответствующий собственный вектор - степенной метод.

Степенной метод


Классическим методом, который иногда оказывается полезным для больших разреженных систем, хотя и страдает серьезными недостатками, является степенной метод. Предположим, что собственные значения Численное решение алгебраических проблем собственных значений матрицы Численное решение алгебраических проблем собственных значений вещественны и удовлетворяют условию


Численное решение алгебраических проблем собственных значений (1)


При заданном векторе Численное решение алгебраических проблем собственных значений рассмотрим последовательность


Численное решение алгебраических проблем собственных значений (2)


Предположим, что матрица Численное решение алгебраических проблем собственных значений имеет n линейно независимых собственных векторов Численное решение алгебраических проблем собственных значений соответствующих собственным значениям Численное решение алгебраических проблем собственных значений (это имеет место, например, в случае симметричной матрицы А). Разложим Численное решение алгебраических проблем собственных значений по собственным векторам:


Численное решение алгебраических проблем собственных значений


Пусть Численное решение алгебраических проблем собственных значений, тогда, учитывая (2):


Численное решение алгебраических проблем собственных значений


Разделим обе части равенства на λ1k ≠ 0.


Численное решение алгебраических проблем собственных значений

В силу (1) все множители Численное решение алгебраических проблем собственных значений стремятся к нулю при k→ ∞ и вектор Численное решение алгебраических проблем собственных значений по направлению приближается к собственному вектору Численное решение алгебраических проблем собственных значений:


Численное решение алгебраических проблем собственных значений при k→ ∞, (4)


Если Численное решение алгебраических проблем собственных значений, то норма вектора Численное решение алгебраических проблем собственных значений будет при этом стремиться к нулю, либо неограниченно возрастать, если Численное решение алгебраических проблем собственных значений. На практике вычисляемые векторы нормируют на каждой итерации, а в качестве критерия окончания процесса используют условие:


Численное решение алгебраических проблем собственных значений.


Формульно-словесное описание метода:

Выбираем Численное решение алгебраических проблем собственных значений: Численное решение алгебраических проблем собственных значений, k=0, ε – точность вычисления компонент собственного вектора

k = k+1

Вычисляем Численное решение алгебраических проблем собственных значений

Ищем координату Численное решение алгебраических проблем собственных значений: Численное решение алгебраических проблем собственных значений

Образуем вектор Численное решение алгебраических проблем собственных значений

Если Численное решение алгебраических проблем собственных значений, то собственным значением является Численное решение алгебраических проблем собственных значений;

Численное решение алгебраических проблем собственных значений = Численное решение алгебраических проблем собственных значений; в противном случае перейти к п. 2.


Существует модификация степенного метода, которая отличается от предыдущего алгоритма критерием остановки итерационного процесса.

Формульно-словесное описание метода:

Выбираем Численное решение алгебраических проблем собственных значений: Численное решение алгебраических проблем собственных значений, k=0, ε – точность вычисления максимального по модулю собственного значения, Численное решение алгебраических проблем собственных значений - некоторый допуск (близость к нулю компонент вектора Численное решение алгебраических проблем собственных значений);

k = k+1;

Вычисляем Численное решение алгебраических проблем собственных значений;

Ищем координату Численное решение алгебраических проблем собственных значений: Численное решение алгебраических проблем собственных значений;

Образуем вектор Численное решение алгебраических проблем собственных значений;

Вычисляем Численное решение алгебраических проблем собственных значений для таких i, что Численное решение алгебраических проблем собственных значений, где Численное решение алгебраических проблем собственных значений - допуск;

Если Численное решение алгебраических проблем собственных значений, то собственным значением является Численное решение алгебраических проблем собственных значений, где j – число индексов, для которых выполняется условие Численное решение алгебраических проблем собственных значений; в противном случае перейти к п. 2.

Основным достоинством степенного метода является то, что векторы Численное решение алгебраических проблем собственных значенийполучаются только с помощью умножения матрицы на вектор (плюс некоторая работа по вычислению нормирующих множителей); никаких преобразований самой матрицы Численное решение алгебраических проблем собственных значений при этом не требуется. Главный недостаток этого метода заключается в том, что он может сходиться очень медленно. Скорость сходимости в первую очередь определяется отношением Численное решение алгебраических проблем собственных значений. Если это отношение по модулю близко к 1, что характерно для многих практических задач, то сходимость будет медленной.

Степенной метод имеет и другие недостатки. Если имеется несколько собственных значений с максимальным модулем, например Численное решение алгебраических проблем собственных значений (а так всегда бывает в случае вещественной матрицы с доминирующей парой комплексно-сопряженных собственных значений), то итерационная последовательность (2) вообще не сходится.


Задание на лабораторную работу


Цель работы: изучение степенных методов расчета максимального по модулю собственного значения и соответствующего собственного вектора квадратной матрицы.

Ознакомиться со степенным методом вычисления максимального по модулю собственного значения матрицы A и его модификациями.

Составить и отладить программы, рассчитывающие максимальное по модулю собственное значение и соответствующий ему собственный вектор матрицы А произвольной.

Элементы матрицы А должны считываться из файла, точность расчета ε вводится с клавиатуры.

При проверке работоспособности программ для n=2 и n=3 выполнить ручной расчет собственных значений и собственных векторов матрицы А.

Нахождение собственных векторов и собственных значений следует провести, используя самостоятельно составленные и предложенные ниже тестовые примеры:


Численное решение алгебраических проблем собственных значений , Численное решение алгебраических проблем собственных значений,Численное решение алгебраических проблем собственных значений.


При заданной точности расчета ε фиксировать выполненное число итераций k.

Составить отчет, который должен содержать следующие разделы:

описание степенного метода и его модификаций

описание исходных данных

схемы-алгоритмов

тексты программ;

результаты расчетов тестовых примеров с использованием разработанных программ;

анализ полученных результатов, выводы по работе;

список литературы.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК


Вержбицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов. – М.: Высш. шк., 2002. – 840с.

Волков Е.А. Численные методы: Учебное пособие. – 3-е изд., испр. – СПб: Лань, 2004. – 248с.

Кетков Ю.Л. MATLAB 6: программирование численных методов. – СПб.: БВХ-Петербург, 2004. – 672с.

Турчак Л.И. Основы численных методов: Учебное пособие. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. – 320с.

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: