Xreferat.com » Рефераты по математике » Общий курс высшей математики

Общий курс высшей математики

Академия труда и социальных отношений

Курганский филиал


Социально-экономический факультет


КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА


по дисциплине: «Общий курс высшей математики»


Студент гр. ЗМб 1338


Ст. преподаватель


Курган – 2009

Задание 03


В ромбе ABCD известны координаты вершин А и С и тангенс внутреннего угла С. Найти уравнения диагоналей и сторон, координаты двух других вершин, а также площадь этого ромба, если А(4,2), С(16;18), Общий курс высшей математики. Сделать чертеж.

Решение:

Зная координаты вершин А и С запишем уравнение диагонали АС как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:


Общий курс высшей математики

Общий курс высшей математики

12(y-2)=16(x-4);

12y-24=16х-64

16х-12у-40=0 /:4


4х-3у-10=0 – уравнение диагонали А С в форме общего уравнения прямой.

Перепишем это уравнение в форме уравнения прямой с угловым коэффициентом:


-3y=-10-4х;

3y=4x-10;

y=Общий курс высшей математики откуда k А С=Общий курс высшей математики


Так как в ромбе диагонали взаимно перпендикулярны, то угловой коэффициент диагонали BD будет равен


КВD = Общий курс высшей математикиОбщий курс высшей математики


Само же уравнение диагонали BD найдем как уравнение прямой, проходящей через заданную точку в направлении, определяемом угловым коэффициентом КBD.

В качестве «заданной точки» возьмем точку Е пересечения диагоналей ромба, которая лежит на середине отрезка АС, вследствие чего:


Общий курс высшей математики

Общий курс высшей математики

Е (10;10)


Итак, уравнение диагонали BD запишем в виде


у – yE= КВD (x-xE)

y-10=Общий курс высшей математики (x-10);

y-10=Общий курс высшей математикиx+Общий курс высшей математики /Общий курс высшей математики 4

4у-40=-3х+30

3х+4у-70=0 – уравнение диагонали BD


Чтобы найти уравнение сторон ромба, надо определить только угловые коэффициенты КАВ = КCD и КВС = КAD прямых, на которых эти стороны лежат, ибо точки, через которые эти прямые проходят, известны – это вершины А и С ромба.

Для определения указанных угловых коэффициентов воспользуемся формулой Общий курс высшей математики, позволяющей вычислять тангенс угла φ между двумя заданными прямыми по их угловым коэффициентам К1 и К2; при этом угол φ отсчитывается против часовой стрелки от прямой у = К1х + b1 до прямой у = К2х + b2. Формула оказывается удобной, потому что уравнение диагонали АС уже найдено (и, следовательно, известен ее угловой коэффициент КАС), а положение сторон ромба относительно этой диагонали однозначно определяется внутренними углами А и С, которые равны между собой и для которых по условию известен их тангенс (Общий курс высшей математики).

Так диагонали ромба делят его углы пополам, то, положив Общий курс высшей математики из формулы Общий курс высшей математики для тангенса двойного угла при Общий курс высшей математики найдем tg φ:


Общий курс высшей математики


Положим z = tg φ; тогда Общий курс высшей математики, тогда


15 Общий курс высшей математики 2z = 8 (1-z2)

30z=8-8z2

8z2+30z-8=0 /:2

4z2+15z-4=0

D=152-4Общий курс высшей математики 4Общий курс высшей математики (-4)= 225+64=289

z1=Общий курс высшей математикиОбщий курс высшей математики;

z2=Общий курс высшей математикиОбщий курс высшей математики


Но т.к. угол в ромбе φ всегда острый корень z2=-4 отбрасываем и получаем в итоге, что tg φ =Общий курс высшей математики

Угол φ является углом между прямыми ВС и АС, с одной стороны, и прямыми АС и CD – с другой (см. чертеж).

Потому в первом случае по формуле Общий курс высшей математики имеем Общий курс высшей математики

откуда при Общий курс высшей математики то получим


Общий курс высшей математики

4(Общий курс высшей математики)=1+Общий курс высшей математики;

Общий курс высшей математики=Общий курс высшей математики /Общий курс высшей математики3

16-12 KBC=3+4KBC;

16 KBC=13;

KBC=Общий курс высшей математики


Во втором случае по формуле Общий курс высшей математики имеем Общий курс высшей математики=Общий курс высшей математики;

При КАС =Общий курс высшей математики получим:


Общий курс высшей математики;

4(KcD-Общий курс высшей математики)=1+Общий курс высшей математикиKcD;

4KcD-Общий курс высшей математики=1+Общий курс высшей математики KcD / Общий курс высшей математики3;

12KcD-16=3+4KcD;

8KcD =19

KcD= Общий курс высшей математики


Так как противоположные стороны ромба параллельны, то тем самым мы определили угловые коэффициенты всех его сторон.


КCD = KAB =Общий курс высшей математики ;

KBC = KAD = Общий курс высшей математики.


Зная теперь эти угловые коэффициенты и координаты вершин А и С, по уже использовавшимся выше формулам найдем уравнения прямых АВ, CD, BC и AD.

Уравнение АВ: у – уA = KA B (х – хA),


у -2 = Общий курс высшей математики (х-4) /Общий курс высшей математики8;

8у-16=19х-76;

19 х-8 у-60=0.


Уравнение CD: у – уC= КCD(х – xC)


у -18= Общий курс высшей математики( х-16) / Общий курс высшей математики8;

8у -144=19х-304;

19 х-8 у-160=0.


Уравнение ВС: у – уC= КBC ( х xC);


у -18=Общий курс высшей математики( х - 16);

у - 18=Общий курс высшей математики х – 13 / Общий курс высшей математики16;

16у -288 = 13х - 208;

13х -16 у +80=0


Уравнение AD: у – уA = КAD( х -xA);


у -2=Общий курс высшей математики( х -4);

у -2=Общий курс высшей математики х - Общий курс высшей математики /Общий курс высшей математики16;

16у -32= 13х-52;

13х-16у-20=0


Вершины ромба являются точками пересечения его соответствующих сторон. Поэтому их координаты найдем путем совместного решения уравнений этих сторон.

Общий курс высшей математики

19х -8у -60 = 0 / Общий курс высшей математики (-2)

13х -16у +80= 0

Общий курс высшей математики-38х+16у+120=0

13х-16у+80=0

-25х = - 200

х = 8

13 Общий курс высшей математики 8 -16у+80=0

104-16у+80=0

16у=184

у=11,5 т.В (8;11,5)


Для вершины D:


Общий курс высшей математики19х -8у +-160 = 0 /Общий курс высшей математики (-2)

Общий курс высшей математики13x - 16 y – 20 = 0

-38х + 16у +320 = 0

13x - 16 y – 20 = 0

-25х = - 300

х=12

13 Общий курс высшей математики 12 - 16у-20 = 0

156 -16 у-20=0

16у – 136

у=8,5 т.D (12;8,5)


Координаты этих точек удовлетворяют ранее найденному уравнению 3х + 4у - 70 = 0 диагонали BD, что подтверждает их правильность.

Площадь ромба вычислим по формуле S = Ѕ d1d2, где d1 и d2 – диагонали ромба.

Полагая d1 = |АС|, а d2 = |BD|, длины этих диагоналей найдем как расстояния между соответствующими противоположными вершинами ромба:


d1 = Общий курс высшей математики

d2 = Общий курс высшей математики


В итоге площадь ромба будет равна S =Общий курс высшей математики ∙ 20 ∙ 5 = 50 кв.ед.

Ответ:


АС: 4х - 3у - 10 = 0;

BD: 3х + 4у - 70= 0;

АВ: 19х -8у -60 = 0;

CD:19 х -8у - 160 = 0;

ВС: 13х -16у + 80 = 0;

AD: 13х -16у – 20=0;

В (8;11,5);

D (12; 8,5);

S = 50 кв.ед.


Задание 27


Найти предел


а) Общий курс высшей математики


Решение:

а) Функция, предел которой при х→ 2 требуется найти, представляет собой частное двух функций. Однако применить теорему о пределе частного в данном случае нельзя, так как предел функции, стоящей в знаменателе, при х→ 2 равен нулю.

Преобразуем данную функцию, умножив числитель и знаменатель дроби, находящейся под знаком предела, на выражение Общий курс высшей математики, сопряженное знаменателю. Параллельно разложим квадратный трехчлен в числителе на линейные множители:


Общий курс высшей математики=Общий курс высшей математики=Общий курс высшей математики=

Общий курс высшей математики=Общий курс высшей математики=

Общий курс высшей математики

2 х 2 - 3 х - 2=0

D=3 2 -4Общий курс высшей математики2Общий курс высшей математики(-2)=9+16=25

х1 =Общий курс высшей математики= Общий курс высшей математики=2;

х2 = Общий курс высшей математики=Общий курс высшей математики= -Общий курс высшей математики

Общий курс высшей математики=Общий курс высшей математики=

Общий курс высшей математики=Общий курс высшей математики=Общий курс высшей математики=12,5


Ответ: 12,5


б) Общий курс высшей математики


Умножим числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на выражение, сопряженное к знаменателю:


Общий курс высшей математики=Общий курс высшей математики=

Общий курс высшей математики=

Общий курс высшей математики=Общий курс высшей математики=

Общий курс высшей математикиОбщий курс высшей математикиОбщий курс высшей математики+Общий курс высшей математики=

Общий курс высшей математикиОбщий курс высшей математикиОбщий курс высшей математикиОбщий курс высшей математики


Найдем каждый сомножитель.


Общий курс высшей математики=Общий курс высшей математики=Общий курс высшей математики=Общий курс высшей математики=Общий курс высшей математики

Общий курс высшей математикиОбщий курс высшей математики+Общий курс высшей математики)=(Общий курс высшей математики=1+1=2.

Общий курс высшей математикиОбщий курс высшей математики


Предел Общий курс высшей математики есть первый замечательный предел.

Таким образом.

Общий курс высшей математики после замены t=3x будет равен Общий курс высшей математики=3

Аналогично Общий курс высшей математики=5

Получим


Общий курс высшей математики=Общий курс высшей математики

Общий курс высшей математикиОбщий курс высшей математики1


В итоге получим: Общий курс высшей математики

Ответ: Общий курс высшей математики


в) Общий курс высшей математики


Преобразуем основание данной функции:


Общий курс высшей математикиОбщий курс высшей математикиОбщий курс высшей математикиОбщий курс высшей математики


Ведем новую переменную t= Общий курс высшей математики, тогда Общий курс высшей математикиОбщий курс высшей математики


t (4x-1) = 2

4xt – t = 2

4xt =2 + t

x=Общий курс высшей математики

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: