Конечные группы с заданными перестановочными подгруппами
Курсовая работа
"Конечные группы с заданными 
-перестановочными подгруппами"
Содержание
Перечень условных обозначений
Введение
1. Необходимые определения и обозначения
2. Используемые результаты
3. Определения, примеры и общие свойства 
-перестановочных
подгрупп
4. Конечные группы с заданными -перестановочными
подгруппами
Заключение
Список использованных источников
Перечень условных обозначений
– знак строгого
включения множеств;
– знак включения
множеств;
– принадлежность
элемента множеству;
– объединение
множеств;
– пересечение
множеств;
– является подгруппой
группы 
;
– является собственной
подгруппой группы ;
– является максимальной
подгруппой группы ;
– является нормальной
подгруппой группы ;
– является субнормальной
подгруппой группы ;
– является минимальной
нормальной подгруппой группы ;
Скобки 
применяются для
обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.
– подгруппа,
сопряжённая подгрупп посредством элемента 
;
– циклическая группа
порядка 
;
– симметрическая
группа степени ;
– ядро подгруппы в группе , т.е. пересечение всех
подгрупп, сопряжённых с в ;
– подгруппа,
порожденная всеми подгруппами, сопряженными с подгруппой из элементами 
из 
, то есть 
;
– централизатор
множества T в группе G;
– центр группы G;
– нормализатор
подгруппы в группе ;
– наибольшая
нормальная подгруппа нечетного порядка группы ;
– наибольшая
нормальная 
–подгруппа группы ;
– 
–холловская подгруппа
группы ;
– силовская –подгруппа группы ;
– дополнение к
силовской –подгруппе в группе , т.е. 
–холловская подгруппа
группы ;
– группа G изоморфна
группе 
;
Пусть – группа, и 
, тогда:
– правый смежный
класс,
– левый смежный класс;
– правая трансверсаль
подгруппы
в группе ;
– левая трансверсаль
подгруппы
в группе ;
– индекс подгруппы в группе ;
– порядок группы G;
Пусть и – подгруппы группы и , тогда:
– двойной смежный
класс группы по подгруппам
и ;
– факторгруппа группы по подгруппе ;
– прямое произведение
подгрупп A и B;
– цоколь группы ;
– коммутатор элементов
и 
;
– коммутант группы G;
– множество всех
простых чисел;
– дополнение к во множестве , где – некоторое множество
простых чисел;
–-длина группы .
Введение
Напомним, что подгруппа 
группы перестановочна с
подгруппой 
, если 
. Если перестановочна со
всеми подгруппами группы , то она называется перестановочной
[6] или квазинормальной в [7].
Так как для двух перестановочных подгрупп и произведение 
также является
подгруппой в , то понятие
перестановочных подгрупп является одним из наиболее важных обобщений понятия
нормальных подгрупп.
Перестановочные подгруппы имеют много интересных свойств. Как
известно, например, что каждая перестановочная подгруппа является восходящей
[8] и, если она является перестановочной подгруппой в некоторой конечной
порождённой группе , то субнормальна в [8].
Но фактически эти два результата были получены как обобщения следующего наблюдения: каждая перестановочная подгруппа конечной группы является субнормальной [7].
Разрабатывая этот результат Ito и Szep доказали, что для каждой
перестановочной подгруппы конечной группы , 
– нильпотентна [9].
Немного позже было доказано, что при таких условиях, 
[18].
При некоторых естественных условиях мы встречаемся с ситуацией,
когда некоторые подгруппы и группы неперестановочны, но
существует подгруппа 
такая, что 
для некоторого 
.
Основываясь на этом наблюдении мы дадим следующие определения.
Определение 1 Пусть , – подгруппы группы и 
. Тогда мы говорим,
что:
(1) является 
-перестановочной с , если для некоторого имеем .
(2) является наследственно
-перестановочной с , если для некоторого 
.
Заметим, что 
– перестановочные
подгруппы также являются перестановочными подгруппами. Во втором приведённом
случае мы имеем дело с -перестановочными
подгруппами, которые были исследованы и использованы в [].
Определение 2 Подгруппа группы называется
(наследственно) -перестановочной,
если она (наследственно) перестановочна со всеми подгруппами группы .
Целью данной работы является изложение некоторых известных
разделов теории перестановочных подгрупп, изучение и применение некоторых
свойств -перестановочных
подгрупп.
1. Необходимые определения и обозначения
Бинарной алгебраической операцией на множестве 
называют отображение
декартова квадрата 
во множество . Если 
– бинарная операция на , то каждой
упорядоченной паре 
элементов из соответствует
однозначно определенный элемент 
. Бинарную операцию на обозначают одним из
символов:
и т.д. Если, например,
вместо 
условимся писать 
, то вместо 
пишем 
.
Говорят, что на множестве X определена бинарная операция
(умножение), если 
для всех 
.
Если 
для всех 
, то операция
называется ассоциативной.
Если 
для всех , то операция
называется коммутативной.
Элемент 
называется единичным,
если 
для всех 
.
Обратным к элементу 
называется такой
элемент 
, что 
.
Полугруппой называется непустое
множество 
с бинарной
алгебраической операцией (умножение), удовлетворяющей следующим требованиям:
(1) операция определена на , т.е. 
для всех и 
;
(2) операция ассоциативна, т.е. 
для любых 
.
Группой называется непустое
множество с бинарной
алгебраической операцией (умножением), удовлетворяющей следующим требованиям:
(1) операция определена на , т.е. 
для всех и 
;
(2) операция ассоциативна, т.е. для любых 
;
(3) в существует единичный
элемент, т.е. такой элемент 
, что для всех 
;
(4) каждый элемент обладает обратным, т.е. для любого существует такой
элемент 
, что .
Группу с коммутативной операцией называют коммутативной или абелевой.
Если G – конечное множество, являющееся группой, то G называют конечной
группой, а число элементов в – порядком группы
.
Также группой называется непустое множество с бинарной
алгебраической операцией (умножением), удовлетворяющей следующим требованиям:
(1) операция определена на ;
(2) операция ассоциативна;
(3) уравнения 
, 
имеют решения для
любых элементов 
.
Подмножество группы называется подгруппой,
если – группа относительно
той же операции, которая определена на группе . Для подгруппы
используется следующее обозначение: . Запись читается так: – подгруппа группы .
Также можно дать следующее определение подгруппы конечной группы.
Непустое подмножество конечной группы называется подгруппой,
если 
для всех