Перпендикулярность геометрических элементов
1. Теорема о проецировании прямого угла
2. Главные линии плоскости
3. Прямая, перпендикулярная к плоскости
4. Перпендикулярные плоскости
5. Перпендикулярные прямые
1. Теорема о проецировании прямого угла
Возможны три случая проецирования прямого угла:
Если обе стороны прямого угла прямые общего положения, то прямой угол проецируется искаженно на все три плоскости проекций.
Если обе стороны прямого угла параллельны какой-либо плоскости проекций, то прямой угол проецируется на эту плоскость в натуральную величину.
Если одна сторона прямого угла параллельна какой-либо плоскости проекций, то прямой угол проецируется на эту плоскость в натуральную величину, рис. 64. Это основная теорема о проецировании прямого угла.
Рис. 64
Дано: Р АВС = 90°; ВСъъ Н. Необходимо доказать: РАўВўСў = 90°.
ВС ^ АВВўАў
ВС ^ АВ, следовательно ВС ^ ВВў - по свойству ортогонального проецирования
ВўСўъъ ВС
ВўСў^ АВВўАў
ВўСў^ АўВў - что и требовалось доказать
2. Главные линии плоскости
Линии уровня плоскости
Кроме прямых линий общего положения, в плоскости отмечают три главные линии: горизонтальную (горизонталь), фронтальную (фронталь) и линию наибольшего наклона. Эти линии применяют как вспомогательные: они упрощают решение задач. Две из них — горизонтальная и фронтальная — уже рассматривались.
Необходимо добавить, что все горизонтальные линии плоскости параллельны между собой, а их горизонтальные проекции параллельны горизонтальному следу плоскости (рис. 65). Горизонтальный след плоскости — одна из горизонталей.
|
|
|
|
Рис. 64 |
Рис. 65 |
Все фронтальные линии плоскости параллельны между собой, а их фронтальные проекции параллельны фронтальному следу плоскости. Фронтальный след плоскости — одна из фронтальных линий (рис. 66).
Рис. 66
Линии наибольшего наклона плоскости
Прямые плоскости, перпендикулярные к прямым уровня этой плоскости, называются линией наибольшего наклона (ЛНН) данной плоскости к соответствующей плоскости проекций.
Линии наибольшего наклона плоскости перпендикулярны к ее следам или к линиям уровня (либо к ее горизонталям, либо к фронталям, либо к ее профильным прямым) (рис. 67).
В случае перпендикулярности к горизонтали определяется наклон к плоскости проекций H (при этом ЛНН называют линией наибольшего ската), перпендикулярности к фронтали — наклон к плоскости проекций V, перпендикулярности к профильной прямой — наклон к плоскости проекций W.
На рис. 67, 68 дано изображение плоскости (а || b), для которой требуется построить линию наибольшего наклона к горизонтальной плоскости проекций H.
Проведем в данной плоскости горизонталь h (рис. 68). Прямая n, перпендикулярная к прямой h, перпендикулярна и к следу плоскости H (KL^H) (рис. 69).
Рис. 67
Угол наклона прямой n к плоскости H определяется как угол между прямой и ее проекцией на плоскость H. Строим KKў^H (рис. 69). Тогда угол j — искомый угол наклона прямой n к плоскости H.
На
рис. 68 построена
линия наибольшего
наклона плоскости
к горизонтальной
плоскости
проекций —
прямая n.
Угол наклона
плоскости
к плоскости
H получают при
определении
натуральной
величины отрезка
KM
при построении
прямоугольного
треугольника
по проекциям
KўM'
и
.
Рис. 69
3 Прямая, перпендикулярная к плоскости
Прямая, перпендикулярная к плоскости, если перпендикулярна двум пересекающимся прямым, принадлежащим этой плоскости. На основании теоремы о проецировании прямого угла в качестве прямых плоскости общего положения удобнее всего использовать ее линии уровня.
Поэтому, проводя перпендикуляр к плоскости, необходимо брать в этой плоскости две такие прямые: горизонталь и фронталь.
Проекции прямой, перпендикулярной к плоскости, на комплексном чертеже перпендикулярны к соответствующим проекциям ее линий уровня, т.е. если прямая линия перпендикулярна плоскости, то ее горизонтальная проекция должна быть перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а ее фронтальная проекция — фронтальной проекции фронтали (рис. 70) или соответствующим следам плоскости (рис. 71).
|
|
|
|
Рис. 70 |
Рис. 71 |
На рис. 72 изображена плоскость общего положения (a|| b), к которой к которой требуется провести перпендикулярную прямую.
Рис. 72
Проводим в данной плоскости горизонталь h (через точки 1,3) и фронталь v (через точки 1,4) (рис. 72).
Затем из точки 1 проводим прямую n перпендикулярно к горизонтали и фронтали плоскости следующим образом:
nў ^ hў; nІ ^ hІ.
Построенная прямая n (n', n'') является искомым перпендикуляром к плоскости .
4. Перпендикулярные плоскости
Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через прямую, перпендикулярную данной плоскости. Построение таких плоскостей может быть выполнено двумя путями:
1) плоскость проводится через перпендикуляр к другой;
2) плоскость проводится перпендикулярно прямой, принадлежащей другой плоскости.
На
рис. 73 изображены
прямая общего
положения
и плоскость
общего положения
(а
ґ
b).
Требуется
построить через
прямую
плоскость,
перпендикулярную
к плоскости
.
Рис. 73
Для решения задачи необходимо через какую-нибудь точку данной прямой, например, точку М, провести перпендикуляр к плоскости , заданной пересекающимися прямыми a и b.
Проводим в плоскости горизонталь h и фронталь v (рис. 73).
Далее
из точки М,
взятой на прямой
,
опускаем
перпендикуляр
n, пользуясь
рассмотренным
выше положением:
n' ^ h'; n'' ^
v'', т.е. горизонтальная
проекция
перпендикуляра
будет перпендикулярна
горизонтальной
проекции горизонтали,
а фронтальная
его проекция
— перпендикулярна
фронтальной
проекции фронтали
(рис. 73).
Плоскость
(З
n), проходящая
через прямую
n, будет перпендикулярна
к плоскости
.
6.5 Перпендикулярные прямые
Две прямые перпендикулярны в том и только в том случае, если через каждую из них можно провести плоскость, перпендикулярную к другой прямой.
На рис.
74 изображена
прямая
общего положения,
к которой требуется
провести
перпендикулярную
прямую.
Рис. 74
Через
точку А прямой
строим перпендикулярную
к ней плоскость
(h З v)
(рис. 71):
'
^ h'; ''
^ h''.
Любая
прямая, лежащая
в плоскости
будет также
перпендикулярна
к данной прямой
.
Поэтому проведем
в этой плоскости
произвольную
прямую t, на
которой возьмем
произвольную
точку, например,
точку В (рис.
74).
Соединив
точки А и В,
лежащие в плоскости,
получим прямую
n, перпендикулярную
к данной прямой
(рис. 74).
10