Xreferat.com » Рефераты по математике » Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Министерство высшего образования Украины

Национальный Технический Университет Украины

“Киевский политехнический институт”


Кафедра автоматизированных систем обработки информации и управления


К о н т р о л ь н а я р а б о т а

по дисциплине :

“ Теория вероятностей и математическая статистика”

Вариант № 24


Выполнил студент гр. ЗІС - 91

ІІI курса факультета ФИВТ

Луцько Виктор Степанович


2009г.

Задача 1

Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что:

а) сумма числа очков не превосходит N;

б) произведение числа очков не превосходит N;

в) произведение числа очков делится на N.

Исходные данные: N=18.


Решение задачи:

Вероятностью случайного события А называется отношение числа равновозможных элементарных событий, благоприятствующих этому событию, к числу всех равновозможных элементарных событий пространства Е, определяемого данным испытанием.


Р(А) = m

n

где: n – число всех равновозможных элементарных событий, вытекающих из условий данного испытания;

m - число равновозможных событий, которые благоприятствуют событию А.


а) при сумме числа очков (N = 18), не превосходящих N:

n = 36;m = 36



Р(А) = 36 = 1 ;


36



б) при произведении числа очков, не превосходящих N:

n = 28;m = 36



Р(А) = 28 = 7 » 0,778 ;


36
9

в) при произведении числа очков, делящихся на N:

n = 3;m = 36



Р(А) = 3 = 1 » 0,083 .


36
12

Ответы:

а) Р(А) = 1 ;

б) Р(А) = 7/9 » 0,778 ;

в) Р(А) = 1/12 » 0,083.


Задача 2

Имеются изделия четырех сортов, причем число изделий i-го сорта равно Теория вероятностей и математическая статистика=1, 2, 3, 4. Для контроля наудачу берутся т изделий. Определить вероятность того, что среди них т1 первосортных, т2, т3 и т4 второго, третьего и четвертого сорта соответственно Теория вероятностей и математическая статистика.

Исходные данные: n1 = 3; n2 = 1; n3 = 6; n4 = 2;m1 = 2; m2 = 1; m3 = 3; m4 = 1.


Решение задачи.


Определяем количество способов нужной комбинации:


Сў = Сn1 m1 x Сn2 m2 x Сn3 m3 x Сn4 m4 = С3 2 x С1 1 x С6 3 x С2 1 ;


Определяем количество всех возможных способов:


Сўў = Сn1+n2+n3+n4 m1+m2+m3+m4 = С12 7 ;


3) Определяем вероятность Р согласно условия задачи:


Р = С3 2 x С1 1 x С6 3 x С2 1 = 3 х 1 х 4 х 5 х 6 х 2 =




2 х 3


С12 7
8 х 9 х 10 х 11 х 12



2 х 3 х 4 х 5


= 3 х 5 = 5 » 0,15


9 х 11
33


Ответ: Р = 5/33 » 0,15 .


Задача 3

Среди п лотерейных билетов k выигрышных. Наудачу взяли т билетов. Определить вероятность того, что среди них Теория вероятностей и математическая статистика выигрышных.

Исходные данные: n = 8; l = 3; m = 5; k = 4.


Решение задачи.


Теория вероятностей и математическая статистика
















Теория вероятностей и математическая статистика
































Теория вероятностей и математическая статистикаТеория вероятностей и математическая статистика

















































Общее число случаев, очевидно, равно Сn m , число благоприятных случаев Сk l x Сn-k m-l , откуда:


Р(А) = Сk l x Сn-k m-l = С4 3 x С8-4 5-3 = 3 » 0, 4286 .

Сn m
С8 5
7

Ответ: Р(А) = 3/7 » 0, 4286 .


Задача 7

В круге радиуса R наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что она попадает в одну из двух непересекающихся фигур, площади которых равны S1 и S2. Исходные данные:R =14; S1 = 2,6; S2 = 5,6.


Решение задачи


Теория вероятностей и математическая статистика









Теория вероятностей и математическая статистикаТеория вероятностей и математическая статистикаТеория вероятностей и математическая статистика


















Теория вероятностей и математическая статистика





P(A) =

S

.


Теория вероятностей и математическая статистика






pR2































P(A1) = S1 = 2,6 » 0,0042246 ;




pR2
3,14 x 142





P(A2) = S2 = 5,6 » 0,0090991 ;




pR2
3,14 x 142





P(A) = S1+ S2 = 2,6 + 5,6 = 8,2 » 0,013324 .


pR2
3,14 x 142
615,44



Ответ: Р(А) » 0,013324 .


Задача 8

В двух партиях k1 и k2 % доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них:

а) хотя бы одно бракованное;

б) два бракованных;

в) одно доброкачественное и одно бракованное?

Исходные данные: k1 = 81; k2 = 37.


Решение задачи

События А и В называются независимыми, если выполняется соотношение:


Р(А/В) = Р(А) / Р(В) .


Для любых событий А и В имеет место формула:


Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) .


Обозначения:

Событие А – выбрали бракованное изделие из 1-й партии (1 – k1) ;

Событие B – выбрали бракованное изделие из 2-й партии (1 – k2) .

События А и В – независимые.


а) Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) = (1 – k1) + (1 – k2) – (1 – k1)(1 – k2) =

= 0,19 + 0,63 – 0,19 х 0,63 » 0,82 – 0,12 » 0,70 .


б) Вероятность пересечения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:


Р(АЗВ) = Р(А) х Р(В) = (1 – k1)(1 – k2) = 0,19 х 0,63 » 0,12 .

Теория вероятностей и математическая статистикаТеория вероятностей и математическая статистикав) Р = Р(А) х Р(В) + Р(В) х Р(А) = (1 – k1)k2 + (1 – k2)k1 =

= 0,19 х 0,37 + 0,63 x 0,81 » 0,07 + 0,51 » 0,58 .


Ответы:

а) » 0,70;

б)» 0,12;

в)» 0,58.


Задача 9

Вероятность того, что цель поражена при одном выстреле первым стрелком р1 вторым — р2 . Первый сделал n1, второй — n2 выстрелов. Определить вероятность того, что цель не поражена.

Исходные данные: p1 = 0,33; p2 = 0,52; n1 = 3; n2 = 2.


Решение задачи.

Обозначения:

А – вероятность непоражения цели при одном выстреле первым стрелком (1 – р1) ;

В – вероятность непоражения цели при одном выстреле вторым стрелком (1 – р2) ;

Р – цель не поражена в результате общего количества испытаний.


Р = (1 – р1)n1 x (1 – р2)n2 = (1 – 0,33)3 x (1 – 0,52)2 = 0,673 x 0,482 » 0,30 x 0,23 » 0,069 » 0,07 .


Ответ:» 0,07 .


Задача 12

Из 1000 ламп ni принадлежат i-й партии, i=1, 2, 3, Теория вероятностей и математическая статистика. В первой партии 6%, во второй 5%, в третьей 4% бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа — бракованная.

Исходные данные: n1 = 350; n2 = 440.

Решение задачи

Рассмотрим три гипотезы:

Н1 – выбор лампы из первой партии;

Н2 – выбор лампы из второй партии;

Н3 – выбор лампы из третьей партии;

а также событие А – выбор бракованной лампы.

Учитывая то, что Н1, Н2, Н3 – полная группа попарно несовместимых событий, причем Р(Нi) № 0, i = 1,2,3, то для любого события А имеет место равенство (формула полной вероятности):




3

Р(А) = е P(Hi) x P(A/Hi) .


i=1

Тогда:


P(H1) = 350/1000 = 7/20 ;

P(H2) = 440/1000 = 11/25 ;

P(H3) = 210/1000 = 21/100 .

Р(А) = 7/20 х 0,06 + 11/25 х 0,05 + 21/100 х 0,04 = 42/2000 + 55/2500 + 84/10000 = 514/10000 = 0,0514 .


Ответ: Р(А) = 0,0514 .


Задача 18

На каждый лотерейный билет с вероятностью p1 может выпасть крупный выигрыш, с вероятностью р2. — мелкий выигрыш и с вероятностью р3 билет может оказаться без выигрыша, Теория вероятностей и математическая статистика. Куплено n билетов. Определить вероятность получения n1 крупных выигрышей и n2 мелких.

Исходные данные: n = 14; n1 = 5; n2 = 4;p1 = 0,25; p2 = 0,35.


Решение задачи

Для решения данной задачи используем формулу для полиномиального распределения вероятностей, т.к. события – является ли і-тый билет выигрышным (и насколько) или невыигрышным – независимы (для разных і):


Pn(m1,m2,…,mk) = n! p1m1 p2m2 … pkmk .

m1! m2!…mk!

В задаче: А1 – билет оказался с крупным выигрышем;

А2 – билет оказался с мелким выигрышем;

А3 – билет оказался без выигрыша.


Р14(5,4,5) = 14! х (0,25)5 х (0,35)4 х (0,4)5 = 6х7х8х9х10х11х12х13х14 х

5! 4! 5!
2х3х4х2х3х4х5

х 0,0009765 х 0,015 х 0,01024 = 2 х 7 х 9 х 11 х 13 х 14 х 0,0009765 х 0,015 х

х 0,01024 » 0,0378.


Ответ: Р » 0,0378 .


Задача 19

Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна р. Поступило п вызовов. Определить вероятность m «сбоев».

Исходные данные: m = 9; N = 500; p = 0,01.


Решение задачи


q = 1 – p = 1 – 0,01 = 0,99 .


Так как n – большое число (n = N = 500), а npq » 5, т.е. npq < 9 , то применяем формулы Пуассона:


Рn(m) » am e-a , a = np .

m!

Подсчет вручную дает следующие результаты:


Рn(m) » 59 х 1 » 58 х 1 »

2х3х4х5х6х7х8х9
е5
2х3х4х6х7х8х9
2,75

» 390625 » 390625 » 0,03751 .


72576 х 143,5
10 413 862



Но, при известных а = 5 и m = 9 результат формулы Пуассона следует брать из таблицы III, где


Рn(m) » 0,03627 .


Ответ: Рn(m) » 0,03627 .


Задача 20

Вероятность наступления некоторого события в каждом из n независимых испытаний равна р. Определить вероятность того, что число т наступлений события удовлетворяет следующему неравенству.

Варианты 22—31: Теория вероятностей и математическая статистика

Исходные данные: n = 100; P = 0,3; k1 = - ; k2 = 40.


Решение задачи

Вероятность Рn(m) того, что в результате этих n опытов событие А произойдет m раз (наступит m успехов), определяется по формуле Бернулли:

Pn(m) = Cnmpmqn-m, m = 0,1,2,…,n (1)


где q = 1 – p – вероятность наступления противоположного события А при единичном испытании.

Совокупность чисел, определяемых формулой (1), называется биномиальным распределением вероятностей.

При больших значениях п (порядка десятков, сотен) для биномиального распределения применяют следующие приближенные формулы:


Теория вероятностей и математическая статистика (2)

где: Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика (3)


где:


Теория вероятностей и математическая статистика (4)

Теория вероятностей и математическая статистика (5)

Теория вероятностей и математическая статистика (6)


Формула (2) основана на локальной теореме Муавра—Лапласа, (3) — на интегральной теореме Муавра—Лапласа, (5) и (6) — на формуле Пуассона. Асимптотику Муавра—Лапласа [формулы (2) и (3)] рекомендуется применять в случае, когда npq>9. В противном случае более точные результаты дает асимптотика Пуассона [формулы (5) и (6)].

З а м е ч а н и е 1. Приближенная формула (3) остается в силе и в том случае, когда входящие в нее неравенства являются строгими.

З а м е ч а н и е 2. Вычисления по формулам (2), (3), (5), (6) выполняются с использованием таблиц I—IV соответственно (см. приложение).

В данной задаче n = 100, т.е. n – число большое.

npq = 21, следовательно npq > 9.

При этом q = 1 – p = 0,7 ;np = 30 .

Наши рассуждения приводят к тому, что данную задачу следует решать с помощью формул Муавра-Лапласа, а именно с помощью формулы (3).

Тогда:


k2 – np » 40 – 30 » 10 » 2,18 .

Ц npq
4,58
4,58



k1 – np » 0 – 30 » -30 » - 6,55 .

Ц npq
4,58
4,58



Pn(m Ј k2) » Ф(х2) – Ф(х1) » Ф(2,18) – Ф(- 6,55) » Ф(2,18) + Ф(6,55) »

» 0,48537 + 0,5 » 0,98537 .


Ответ: Pn(m Ј 40) » 0,98537 .


Задача 21

Дана плотность распределения р (х) случайной величины x. Найти параметр g, математическое ожидание Мx дисперсию Dx, функцию распределения случайной величины x вероятность выполнения неравенства х1 < x < х2

Варианты 17-24: Теория вероятностей и математическая статистика Теория вероятностей и математическая статистика

Исходные данные: a = -1,5; b = 1; x1 = -1; x2 = 1.


Решение.


Р(х) = н g, х О [-1,5, 1],


0, x П [-1,5, 1].

Найдем g. Должно выполняться соотношение:Fx(+Ґ) = 1;


т p(x)dx = 1;
т gdx = 1; gx 1 = 1; g *(1+1,5) = 1; g = 1

=2/5 .





-1,5


2,5

-1,5








1





Найдем: Мx = т х 2/5 dx = 2 х2 1 = 1/5 (1-2,25) = -1,25

= -0,25 .



5 2 -1,5

5

-1,5







1


Найдем: Dx = Мx2 – (Мx)2 = т 2/5 x2 dx – 0,0625 = 2/5 x3 1 - 0,0625 =


3 -1,5

-1,5


= 2/5 (1/3 + 3,375/3) – 0,0625 = 0,4 * 1,4583 – 0,0625 = 0,5833 – 0,0625 = 0,5208 .




н 0 , x < -1,5;

x
x
Найдем: Fx (x)= т p(х) dx =
т g dt , -1,5 Ј x < 1;


-1,5



1 , x і 1 .
x
x




т g dt = g t = g x + 1,5g =

2/5x + 0,6 .




-1,5
-1,5





Найдем: P{-1<x<1} = Fx (1) - Fx (-1) = 1 – (-2/5 + 0,6) = 7/5 – 3/5 = 4/5 .


Ответы: 1) g = 2/5; 2) Мx = - 0,25; 3) Dx = 0,5208; 4) Fx (x) = 0,4x + 0,6; 5) P{-1<x<1} = 4/5.


Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей и математическая статистика

Список использованной литературы


Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х томах. Т.1: Пер.с англ. - М.: Мир, 1994. – 528 с.

Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учеб.для вузов. – 6-е изд.стер. – М.: Высш.шк., 1999. – 576 с.

Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. Под редакцией А.А. Свешникова. – М.: Наука, 1998. – 656 с.

Лютикас В.С. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей. – М.: Просвещение, 1998. – 160 с.

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Похожие рефераты: