Xreferat.com » Рефераты по математике » Теория вероятности и математическая статистика

Теория вероятности и математическая статистика

src="https://xreferat.com/image/54/1306500350_192.gif" alt="Теория вероятности и математическая статистика" width="453" height="65" />

3.

D(X+C)=DX

Y=X+C

Y’=Y-MY=X+C-M(X+C)=X+C-MX-C=X-MX=X’

DY=M(Y’)2=M(X’)2=DX

4.

DCX=C2DX

Y=CX

DY= M(Y’)2=M(Y’)2

Y’=Y-MY=CX-MCX=CX-MCX=C(X-MX)=CX’

DY= M(Y’)2=M(CX’)2=C2M(X’)2=C2DX

5.

Теория вероятности и математическая статистика

Построим функцию распределения для дискретной случайной величины. Для удобства договоримся, что случайные величины располагаются в порядке возрастания.

Теория вероятности и математическая статистика

т.е. по определению для любого действительного X, F(x) численно равно вероятности наступления следующего события: в результате испытаний над X оно приняло значение строго меньше x.

Теория вероятности и математическая статистика

Производная функция

Теория вероятности и математическая статистика

Характеристической функцией случайной величины X называется функция действительного аргумента вида Теория вероятности и математическая статистика

Производящей функцией называется скалярная функция вида:

Теория вероятности и математическая статистика

Свойства производящей функции

1. Теория вероятности и математическая статистика

2.

Теория вероятности и математическая статистика

3. Разложение производящей функции в ряд Маклорена имеет вид

Теория вероятности и математическая статистика

Формула Тейлора имеет вид

Теория вероятности и математическая статистика

при to=0 она носит название формулы Маклорена

Теория вероятности и математическая статистика

Пример:

Рассмотрим случайную величину, распределенную по биноминальному закону распределения:

Теория вероятности и математическая статистика

Найдем производящую функцию:

Теория вероятности и математическая статистика

Найти DX и MX

Теория вероятности и математическая статистика

Первая модель распределения Пуассона

Проведена неограниченно большая серия испытаний, в результате каждого испытания случайным образом появляется точка на числовой оси. Случайное распределение точек на числовой оси удовлетворяет следующим трем свойствам.

1. Стационарность. Вероятность того, что на отрезок данной длины попадает данное количество точек определяется только длиной этого отрезка и не зависит от расположения этого отрезка на числовой оси.

2. Ординарность. Вероятность того, что на достаточно малый отрезок длины x попадает одна точка, является бесконечно малой x порядка. Вероятность того, что на этот отрезок попадает более, чем одна точка, является бесконечно малой более высокого порядка, чем x.

3. Свойство без последействия. Вероятность того, что на данный отрезок попало определенное количество точек не зависит от того, сколько точек в результате проведенной бесконечно серии испытаний попало на отрезок, не пересекающийся с данным.

Найти вероятность того, что на данный отрезок длина l попадает m точек.

Теория вероятности и математическая статистика

Обозначим через xl - случайная величина, равная численности точек, выпавших на отрезок длины l.

Теория вероятности и математическая статистика

На числовой оси рассмотрим отрезок длины 1 и обозначим:

MX1=

Математическое ожидание числа точек, попавших на отрезок длины 1. По свойству стационарности l одинаково для всех отрезков.

MX1=ll - доказать

Пусть l - целое число. Разобьем отрезок длины l на l отрезков единой длины. Тогда количество точек, попавших на отрезок длины l будет равно числу точек, попавших на каждый из непересекающихся отрезков длины 1 (тут использовалось свойство беспоследействия).

Используя формулу

Теория вероятности и математическая статистика

имеем

MX1=ll

Математическое ожидание числа точек, попавшие на отрезок длины l равно мат. ожиданий точек, попавших на непересекающиеся отрезки. Пусть l - не целое число. Выделяем целую часть. Тогда

Теория вероятности и математическая статистика

На числовой оси рассмотрим отрезок длины l, разобьем его на n отрезков данной длины

Теория вероятности и математическая статистика

такой, что позволит использовать свойство ординарности. Тогда с определенной погрешностью, которая тем меньше, чем больше n можно считать

Теория вероятности и математическая статистика

т.е. на отрезок длины x попадает не более, чем одна точка, тогда

Теория вероятности и математическая статистика

Для достаточного малого отрезка длины lx вероятность попадания в него одной точки x, а вероятность того, что ничего не произойдет 1- x.

В сделанных предположениях m точек попадает на отрезок длины l только в одном случае, когда в m отрезках попадает по одной точке. Тогда на основании 3-го свойства искомая вероятность равна

Теория вероятности и математическая статистика

Точную вероятность получим путем предельного перехода при числе разделений отрезка Теория вероятности и математическая статистика

Теория вероятности и математическая статистика

Тут мы разложили Теория вероятности и математическая статистика в ряд Маклорена.

Найдем производящую функцию распределения Пуассона

Теория вероятности и математическая статистика

Найти MX и DX

Теория вероятности и математическая статистика

Вторая модель распределения Пуассона

Рассматривается обычная схема биноминального распределения, в котором n - велико, а p - достаточно мало. Тогда точная формула для вероятности появления события A в m испытаниях имеет вид

Теория вероятности и математическая статистика

Эта формула при больших n вычисляется сложно. Такую вероятность заменяют приближенной

Теория вероятности и математическая статистика

Для найденного a построим гипотетический ряд вероятностей

Теория вероятности и математическая статистика

Предполагается, что для достаточно больших n и малых p искомая вероятность

Теория вероятности и математическая статистика

является членом построенного гипотетического ряда вероятностей, а во вторых находится в малой окрестности предельного значения этого ряда. И, следовательно, это значение можно взять в качестве допустимой хорошей аппроксимации значений искомой вероятности.

Непрерывные случайные величины.

Будем рассматривать пространство элементарных событий как совокупность всех точек числовой оси. В этом случае введенная ранее функция распределения имеет вид: Теория вероятности и математическая статистика.

Пусть функция распределения является непрерывной. Найдем вероятность того, что в результате испытаний случайная величина X примет значение a, где a - произвольное действительное число.

P(X=a).

Рассмотрим неравенство: Теория вероятности и математическая статистика

Доказать самим.

Теория вероятности и математическая статистика

Следовательно:

Теория вероятности и математическая статистика

Мы впервые столкнулись с ситуацией, когда событие принципиально может произойти в результате испытания, но имеет вероятность равную 0 . В инженерном толковании это означает: в данной конечной серии испытаний данное событие никогда не произойдет.

Случайная величина X называется непрерывной, если ее пространством элементарных событий является вся числовая ось (либо отрезок (отрезки) числовой оси), а вероятность наступления любого элементарного события равна нулю.

P(a£ X<b)=P(a£ X£ b)=F(b)-F(a)

Если от сложного события вычесть конечное либо счетное множество, вероятность наступления нового события останется неизменной.

Функция f(x) - числовая скалярная функция действительного аргумента x называется плотностью вероятности, и существует в точке x, если в этой точке существует предел:

Теория вероятности и математическая статистика

Свойства плотности вероятности.

Плотность вероятности является неотрицательной функцией.

Теория вероятности и математическая статистика

Теория вероятности и математическая статистика

Теория вероятности и математическая статистика

Теория вероятности и математическая статистика

Теория вероятности и математическая статистика

Теория вероятности и математическая статистика

Следствие: Если пространством элементарных событий является отрезок числовой оси, то пространство элементарных событий формально можно распространить на всю числовую ось, положив вне отрезка значение плотности вероятности равное 0.

Второе эквивалентное определение плотности вероятности.

Если плотность вероятности в точке x существует, то P(x£ X£ x+D x)=f(x)D x+о(D x). Вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение в отрезке с точностью до о(D x) равна F(x)D x.

Пример:

Равномерное распределение.

Теория вероятности и математическая статистика тут p(x)=f(x).

 

 

 

 

 

 

 

 

Теория вероятности и математическая статистика

т.к. Теория вероятности и математическая статистика

 

 

 

 

 

 

 

 

Экспоненциальное распределение.

Теория вероятности и математическая статистика

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теория вероятности и математическая статистика

Непрерывная случайная величина является математической абстракцией и в чистом виде на практике не встречается, хотя бы потому, что теоретически не может существовать измерительное устройство, вычисляющее это величину. Следовательно, всегда исследователь имеет дело со случайными дискретными величинами. На практике отрезок [a, b] разбивают на отрезки одинаковой длинны, длину устремляют к нулю. При этом x принадлежит отрезку. Вероятность того, что отрезок содержит x равна Теория вероятности и математическая статистика. При Теория вероятности и математическая статистика ситуация эквивалентна следующему: имеется бесконечное множество лотерейных билетов, один ваш. Ясно, что в конечной серии розыгрышей вы никогда не выиграете. Независимо от этого велико удобство работы с непрерывными величинами. Оно заключается в том, что вероятностные свойства задаются одной из двух функций - плотностью распределения либо плотностью вероятности.

Вероятностные характеристики непрерывных случайных величин.

Пусть имеется случайная величина, являющаяся функцией от непрерывной случайной величины X.

Y=x (x)

Математическим ожиданием непрерывной случайной величены является число:

Теория вероятности и математическая статистика, Теория вероятности и математическая статистика- плотность вероятности случайной величины.

Обоснование этой формулы.

Аппроксимируем непрерывную случайную величину Y случайной величены Y*, которая является дискретной. Пусть числовая ось - пространство элементарных событий случайной величены X, разобьем всю числовую ось на отрезки достаточно малой длины.

 

 

2n отрезков.

Если в результате испытания случайная величена X попала в отрезок с начальной вершиной xi, то случайная величена X* приняла значение x (xi) с точностью до бесконечно малой D x - длины i-го отрезка. Вероятность того, что Y* примет значение x (xi) с точностью до бесконечно малой более высокого порядка, чем D x, тем более точно Y* аппроксимирует Y.

Вероятность наступления x (xi) для Y* равна Теория вероятности и математическая статистика

Теория вероятности и математическая статистика

Теория вероятности и математическая статистика, при Теория вероятности и математическая статистикаэта сумма переходит в Теория вероятности и математическая статистика.

Тогда Теория вероятности и математическая статистика.

Самим показать, что все свойства мат. ожидания для дискретной случайной величены сохраняются для непрерывной случайной величены.

Теория вероятности и математическая статистика

Доказать, что

Теория вероятности и математическая статистика

Доказать самим, что свойство 1 и 2 для производящей функции в дискретном случае справедливы и для непрерывного.

Теория вероятности и математическая статистика

Распределение Гаусса - нормальное

Случайная величина имеет нормальное распределение (распределение Гаусса) и называется нормально распределенной, если ее плотность вероятности

Теория вероятности и математическая статистика

Из определения

Теория вероятности и математическая статистика

функция распределения

Теория вероятности и математическая статистика

Найдем выражение для производящей функции нормального распределения

Теория вероятности и математическая статистика

=1 (интеграл Эйлера)

Теория вероятности и математическая статистика

Изобразим примерный вид плотности

Теория вероятности и математическая статистика

Рассмотрим центрированную нормальную величину, т.е. MX=0

Теория вероятности и математическая статистика

У центральной нормированной величины все нечетные начальные моменты равны 0

Теория вероятности и математическая статистика

Функция Лапласа

Функцией Лапласа называется функция вида

Теория вероятности и математическая статистика

Свойства:

1) при z>0 функция Лапласа определяет вероятность попадания нормальной случайной величины с параметрами

MX=0

DX=1

в интервале (0, z)

2)

Теория вероятности и математическая статистика

3) Теория вероятности и математическая статистика - функция нечетная

Иногда в литературе встречаются два вида функций Лапласа

Теория вероятности и математическая статистика

Функция Лапласа табулирована. Функция Лапласа используется для выполнения событий вида

Теория вероятности и математическая статистика

для произвольных нормальных величин.

Найдем вероятность того, что в результате испытания над x произойдет сложное событие: x примет числовое значение, принадлежащее отрезку с концами (a, b).

Теория вероятности и математическая статистика

Пример.

x - случайная величина.

f(x) - плотность вероятности.

Найти плотность вероятности g(n) случайной величины H.

Теория вероятности и математическая статистика

Рассмотрим отрезок (h, h+dh). Событию попадание H в отрезок (h, h+dh) в силу однозначности функции h(x) соответствует попадание x в отрезок (x, x+dx). При этом вероятности наступления такого события одинаковы:

Теория вероятности и математическая статистика

Тогда построим функцию h(x), обратную x(h), x=x(h).

т.к. Теория вероятности
    <!--<div class=

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
-->

Похожие рефераты: