Xreferat.com » Рефераты по математике » Вычисление интегралов

Сколько стоит написать твою работу?

Работа уже оценивается. Ответ придет письмом на почту и смс на телефон.

?Для уточнения нюансов.
Мы не рассылаем рекламу и спам.
Нажимая на кнопку, вы даёте согласие на обработку персональных данных и соглашаетесь с политикой конфиденциальности

Спасибо, вам отправлено письмо. Проверьте почту .

Если в течение 5 минут не придет письмо, возможно, допущена ошибка в адресе.
В таком случае, пожалуйста, повторите заявку.

Спасибо, вам отправлено письмо. Проверьте почту .

Если в течение 5 минут не придет письмо, пожалуйста, повторите заявку.
Хотите промокод на скидку 15%?
Успешно!
Отправить на другой номер
?Сообщите промокод во время разговора с менеджером.
Промокод можно применить один раз при первом заказе.
Тип работы промокода - "дипломная работа".

Вычисление интегралов

Введение


Нахождение производной f’ (x) или дифференциала df=f’ (x) dx функции f(x) является основной задачей дифференциального исчисления. В интегральном исчислении решается обратная задача: по заданной функции f(x) требуется найти такую функцию F(x), что F’ (х)=f(x) или F(x)=F’ (x) dx=f(x) dx. Таким образом, основной задачей интегрального исчисления является восстановление функции F(x) по известной производной (дифференциалу) этой функции. Интегральное исчисление имеет многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике. Оно дает общий метод нахождения площадей, объемов, центров тяжести и т.д.

Курс математического анализа содержит разнообразный материал, однако, одним из его центральных разделов является определенный интеграл. Интегрирование многих видов функций подчас представляет собой одну из труднейших проблем математического анализа.

Вычисление определенного интеграла имеет не только теоретический интерес. К его вычислению сводятся иногда задачи, связанные с практической деятельностью человека.

Также понятие определенного интеграла широко используется в физике.


1. Нахождение площади криволинейной трапеции


Криволинейной трапецией называется фигура, расположенная в прямоугольной системе координат и ограниченная осью абсцисс, прямыми х = а и х = b и кривой Вычисление интегралов, причем Вычисление интеграловнеотрицательна на отрезке Вычисление интегралов. Приближенно площадь криволинейной трапеции можно найти так:

разделить отрезок Вычисление интеграловоси абсцисс на n равных отрезков;

провести через точки деления отрезки, перпендикулярные к оси абсцисс, до пересечения с кривой Вычисление интегралов;

заменить получившиеся столбики прямоугольниками с основанием Вычисление интегралови высотой, равной значению функции f в левом конце каждого отрезка;

найти сумму площадей этих прямоугольников.

Но можно найти площадь криволинейной иначе: по формуле Ньютона-Лейбница. Для доказательства формулы, носящей их имена, докажем, что площадь криволинейной трапеции равна Вычисление интегралов, где – любая из первообразных функции Вычисление интегралов, график которой ограничивает криволинейную трапецию.

Вычисление площади криволинейной трапеции записывается так:

находится любая из первообразных Вычисление интеграловфункции Вычисление интегралов.

записывается Вычисление интегралов. Вычисление интегралов- это формула Ньютона-Лейбница.


2. Нахождение площади криволинейного сектора


Вычисление интегралов

1

Площадь криволинейного сектора.

Рассмотрим кривую ρ = ρ (φ) в полярной системе координат, где ρ (φ) – непрерывная и неотрицательная на [α; β] функция. Фигура, ограниченная кривой ρ (φ) и лучами φ = α, φ = β, называется криволинейным сектором. Площадь криволинейного сектора равна


Вычисление интегралов


3. Нахождение длины дуги кривой


Прямоугольные координаты

Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая AB, уравнение которой y = f(x), где a ≤ x ≤ b. (рис 2) [7]

Под длиной дуги AB понимается предел, к которому стремиться длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стремиться к нулю.

Применим схему I (метод сумм).

Точками XВычисление интегралов = a, XВычисление интегралов, …, XВычисление интегралов = b (XВычисление интегралов ≤ XВычисление интегралов≤ … ≤ XВычисление интегралов) разобьем отрезок [a, b] на n частей. Пусть этим точкам соответствуют точки MВычисление интегралов = A, MВычисление интегралов, …, MВычисление интегралов = B на кривой AB. Проведем хорды MВычисление интеграловMВычисление интегралов, MВычисление интеграловMВычисление интегралов, …, MВычисление интеграловMВычисление интегралов, длины которых обозначим соответственно через ΔLВычисление интегралов, ΔLВычисление интегралов, …, ΔLВычисление интегралов.


Вычисление интеграловВычисление интегралов


Получим ломанную MВычисление интеграловMВычисление интеграловMВычисление интегралов … MВычисление интеграловMВычисление интегралов, длина которой равна LВычисление интегралов = ΔLВычисление интегралов+ ΔLВычисление интегралов+ … + ΔLВычисление интегралов = Вычисление интегралов ΔLВычисление интегралов.

Длину хорды (или звена ломанной) ΔLВычисление интегралов можно найти по теореме Пифагора из треугольника с катетами ΔXВычисление интегралов и ΔYВычисление интегралов:


ΔLВычисление интегралов = Вычисление интегралов, где ΔXВычисление интегралов = XВычисление интегралов – XВычисление интегралов, ΔYВычисление интегралов = f(XВычисление интегралов) – f(XВычисление интегралов).


По теореме Лагранжа о конечном приращении функции


ΔYВычисление интегралов = Вычисление интегралов(CВычисление интегралов) ΔXВычисление интегралов, где CВычисление интегралов Вычисление интегралов (XВычисление интегралов, XВычисление интегралов).


Поэтому


ΔLВычисление интегралов = Вычисление интегралов = Вычисление интегралов,

а длина всей ломанной MВычисление интеграловMВычисление интеграловMВычисление интегралов … MВычисление интеграловMВычисление интегралов равна


LВычисление интегралов = Вычисление интегралов ΔLВычисление интегралов = Вычисление интеграловВычисление интегралов.


Длина кривой AB, по определению, равна


L = Вычисление интеграловLВычисление интегралов = Вычисление интеграловВычисление интегралов ΔLВычисление интегралов.


Заметим, что при ΔLВычисление интегралов Вычисление интегралов 0 также и ΔXВычисление интегралов Вычисление интегралов 0 (ΔLВычисление интегралов = Вычисление интегралов и следовательно | ΔXВычисление интегралов | < ΔLВычисление интегралов). Функция Вычисление интегралов непрерывна на отрезке [a, b], так как, по условию, непрерывна функция fВычисление интегралов (X). Следовательно, существует предел интегральной суммы LВычисление интегралов=Вычисление интеграловΔLВычисление интегралов= Вычисление интеграловВычисление интегралов, кода max ΔXВычисление интегралов Вычисление интегралов 0:


L = Вычисление интеграловВычисление интеграловВычисление интегралов = Вычисление интеграловВычисление интеграловdx.

Таким образом, L = Вычисление интеграловВычисление интеграловdx.


Пример: Найти длину окружности радиуса R. (рис 3)

Вычисление интегралов


Вычисление интегралов


Найдем ј часть ее длины от точки (0; R) до точки (R; 0). Так как


y = Вычисление интегралов, јL = Вычисление интегралов Вычисление интеграловdx = R arcsinВычисление интеграловВычисление интегралов = R Вычисление интегралов.


Значит L = 2Вычисление интеграловR.

Полярные координаты

Пусть кривая AB задана уравнением в полярных координатах r = r(Вычисление интегралов), Вычисление интегралов. Предположим, что r(Вычисление интегралов) и rВычисление интегралов(Вычисление интегралов) непрерывны на отрезке [Вычисление интегралов].

Если в равенствах x = r cosВычисление интегралов, y = r sinВычисление интегралов, связывающих полярные и декартовы координаты, параметром считать угол Вычисление интегралов, то кривую AB можно задать параметрически


Вычисление интегралов


Тогда


Вычисление интегралов


Поэтому


Вычисление интегралов= Вычисление интегралов = Вычисление интегралов


Применяя формулу L = Вычисление интеграловВычисление интегралов,

получаем L = Вычисление интеграловВычисление интегралов

Вычисление интегралов


Вычисление интегралов


Пример: Найти длину кардиоиды r = a (1 + cosВычисление интегралов). (рис. 4)

Решение: Кардиоида r = a (1 + cosВычисление интегралов) симметрична относительно полярной оси. Найдем половину (рис 4) длины кардиоиды:


Ѕ L =Вычисление интеграловВычисление интегралов=aВычисление интеграловВычисление интегралов=a Вычисление интеграловВычисление интегралов = 2a Вычисление интеграловcosВычисление интегралов dВычисление интегралов = 4a sinВычисление интеграловВычисление интегралов = 4a.


4. Нахождение объема тел


Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений

Пусть требуется найти объем V тела (рис 5), причем известны площади сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, например оси Ox:S = S(x), a≤ x≤ b [5]

Применим схему II (метод дифференциала).


Вычисление интеграловВычисление интегралов


Через произвольную точку x Вычисление интегралов [а; b] проведем плоскость П, перпендикулярную оси Ох. Обозначим через S(x) площадь сечения тела этой плоскостью; S(x) считаем известной и непрерывно изменяющейся при изменении x. Через v(x) обозначим объем части тела, лежащее левее плоскости П. Будем считать, что на отрезке [а; x] величина v есть функция от x, т.е. v = у(x) (v(a) = 0, v(b) = V).

2. Находим дифференциал dV функции v = v(x). Он представляет собой

«элементарный слой» тела, заключенный между параллельными плоскостями, пересекающими ось Ох в точках x и x + Δx, который приближенно может быть принят за цилиндр с основанием S(x) и высотой dx. Поэтому дифференциал объема dV = S(х) dх.

3. Находим искомую величину V путем интегрирования dА в пределах от a до b:

V = Вычисление интеграловS(x) dx

Формула объема тела по площади параллельных сечений

Пример: Найти объем эллипсоида Вычисление интегралов (рис 6) [5]


Вычисление интеграловВычисление интегралов


Решение: Рассекая эллипсоид плоскостью, параллельной плоскости OYZ и на расстоянии х от нее (-a≤ x≤ b.), получим эллипс


Вычисление интегралов


Площадь этого эллипса равна S(x) = Вычисление интеграловbc (1 – Вычисление интегралов). Поэтому, по формуле имеем


V = Вычисление интеграловbcВычисление интегралов(1 – Вычисление интегралов) dx = Вычисление интеграловВычисление интеграловabc.


Объём тела вращения

Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией у = f(х) ≥ 0, отрезком а ≤ х ≤ b и прямыми х = а и х = b (рис 7). Полученная от вращения фигура называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х оси Oх), есть круг с радиусом у = f(х). Следовательно, S(x)=Вычисление интеграловyВычисление интегралов.

Применяя формулу

V = Вычисление интеграловS(x) dx


объема тела по площади параллельных сечений, получаем


Вычисление интегралов


Вычисление интегралов


VВычисление интегралов = Вычисление интеграловВычисление интеграловyВычисление интеграловdx.


Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции x = Вычисление интегралов(x) ≥ 0 и прямыми x = 0, y = c, y = d (c <

d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой


V = Вычисление интеграловS(x) dx,


равен


V =Вычисление интеграловВычисление интеграловxВычисление интеграловdy.

Пример: Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями у = Вычисление интегралов, x = 0, у = 2Вычисление интегралов вокруг оси Оу. [5]

Решение: По формуле


V =Вычисление интеграловВычисление интеграловxВычисление интеграловdy.


находим:


VВычисление интегралов = Вычисление интеграловВычисление интегралов2ydy = Вычисление интеграловyВычисление интеграловВычисление интегралов = 8Вычисление интегралов.


5. Нахождение площади поверхности тел вращения


Пусть кривая АВ является графиком функции у = f(х) ≥ 0, где х Вычисление интегралов [а; b], а функция у = f(х) и