Xreferat.com » Рефераты по математике » Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра


Вектор в декартовой системе координат


Определение. Вектором называется упорядоченная пара точек (начало вектора и его конец). Если Векторная алгебра и аналитическая геометрия, Векторная алгебра и аналитическая геометрия, то вектор Векторная алгебра и аналитическая геометрия имеет координаты Векторная алгебра и аналитическая геометрия.

Вектор Векторная алгебра и аналитическая геометрия в координатном пространстве Oxyz, может быть представлен в виде

Векторная алгебра и аналитическая геометрия, где тройка Векторная алгебра и аналитическая геометрия называется координатами вектора. Векторы Векторная алгебра и аналитическая геометрия – единичные векторы (орты), направленные в положительную сторону координатных осей Ox, Oy и Oz, соответственно. Длиной (модулем) вектора Векторная алгебра и аналитическая геометрия называется число Векторная алгебра и аналитическая геометрия.


Линейные операции с векторами

Векторная алгебра и аналитическая геометрия


Сложение векторов определяется по правилу параллелограмма: вектор Векторная алгебра и аналитическая геометрия является диагональю параллелограмма, построенного на векторах Векторная алгебра и аналитическая геометрия и Векторная алгебра и аналитическая геометрия (рис.1а).

Разность двух векторов Векторная алгебра и аналитическая геометрия и Векторная алгебра и аналитическая геометрия определяется по формуле Векторная алгебра и аналитическая геометрия, где Векторная алгебра и аналитическая геометрия – вектор той же длины, что и вектор Векторная алгебра и аналитическая геометрия, но противоположно направленный. Чтобы найти вектор-разность Векторная алгебра и аналитическая геометрия нужно отложить векторы Векторная алгебра и аналитическая геометрия и Векторная алгебра и аналитическая геометрияиз общей точки, соединить концы векторов вектором, направленным от «вычитаемого» к «уменьшаемому» (то есть от Векторная алгебра и аналитическая геометрия к Векторная алгебра и аналитическая геометрия) (рис.1б). Построенный вектор и будет искомой разностью.

При сложении нескольких векторов каждая координата суммы есть сумма соответствующих координат слагаемых векторов, при умножении вектора на данное число Векторная алгебра и аналитическая геометрия на это же число умножаются и координаты вектора:

а) Векторная алгебра и аналитическая геометрия;

б) Векторная алгебра и аналитическая геометрия, где Векторная алгебра и аналитическая геометрия – скалярный множитель.

Несколько векторов называются коллинеарными (компланарными), если они параллельны одной и той же прямой (плоскости). Векторы Векторная алгебра и аналитическая геометрия и Векторная алгебра и аналитическая геометрия параллельны (коллинеарны), то есть соответствующие координаты этих векторов пропорциональны с одним и тем же коэффициентом пропорциональности: Векторная алгебра и аналитическая геометрия.


Базис на плоскости и в пространстве


Определение. Базисом на плоскости (в пространстве) называется упорядоченная пара (тройка) неколлинеарных (некомпланарных) векторов. Любой вектор однозначным образом раскладывается по базису. Коэффициенты разложения называются координатами этого вектора относительно данного базиса. Векторы Векторная алгебра и аналитическая геометрия образуют базис в декартовом координатном пространстве Oxyz.

Пример 1.

Даны векторы Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Показать, что векторы Векторная алгебра и аналитическая геометрия и Векторная алгебра и аналитическая геометрия образуют базис на плоскости и найти координаты вектора Векторная алгебра и аналитическая геометрия в этом базисе.

Решение. Если два вектора неколлинеарны (Векторная алгебра и аналитическая геометрия), то они образуют базис на плоскости. Так как Векторная алгебра и аналитическая геометрия, то векторы Векторная алгебра и аналитическая геометрия и Векторная алгебра и аналитическая геометрия неколлинеарны и, значит, образуют базис. Пусть в этом базисе вектор Векторная алгебра и аналитическая геометрия имеет координаты Векторная алгебра и аналитическая геометрия, тогда разложение вектора Векторная алгебра и аналитическая геометрия по векторам Векторная алгебра и аналитическая геометрия и Векторная алгебра и аналитическая геометрия имеет вид Векторная алгебра и аналитическая геометрия, или в координатной форме

Векторная алгебра и аналитическая геометрия или Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Решив полученную систему уравнений каким-либо образом, получим, чтоВекторная алгебра и аналитическая геометрия.

Значит Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Таким образом, в базисе Векторная алгебра и аналитическая геометрия вектор Векторная алгебра и аналитическая геометрия имеет координаты Векторная алгебра и аналитическая геометрия.

Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов.

Определение. Скалярным произведением двух векторов Векторная алгебра и аналитическая геометрия и Векторная алгебра и аналитическая геометрия называется число, определяемое равенством:

Векторная алгебра и аналитическая геометрия,

где Векторная алгебра и аналитическая геометрия – угол между векторами Векторная алгебра и аналитическая геометрия и Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Если Векторная алгебра и аналитическая геометрия, то Векторная алгебра и аналитическая геометрия.

Зная скалярное произведение, можно определить угол между двумя векторами по формуле: Векторная алгебра и аналитическая геометрия.

Условие перпендикулярности ненулевых векторов (угол между ними равен 90°) имеет вид: Векторная алгебра и аналитическая геометрия, или Векторная алгебра и аналитическая геометрия, а условие их коллинеарности: Векторная алгебра и аналитическая геометрия, или Векторная алгебра и аналитическая геометрия.

Свойства скалярного произведения:

1) Векторная алгебра и аналитическая геометрияВекторная алгебра и аналитическая геометрия; 2) Векторная алгебра и аналитическая геометрия; 3) Векторная алгебра и аналитическая геометрия; 4) Векторная алгебра и аналитическая геометрия, причем Векторная алгебра и аналитическая геометрия.

Пример 2. Найти угол между векторами Векторная алгебра и аналитическая геометрия и Векторная алгебра и аналитическая геометрия, если Векторная алгебра и аналитическая геометрия, Векторная алгебра и аналитическая геометрия, Векторная алгебра и аналитическая геометрия, Векторная алгебра и аналитическая геометрия.

Решение. Используем формулу Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Определим координаты векторов Векторная алгебра и аналитическая геометрия и Векторная алгебра и аналитическая геометрия, учитывая, что при сложении векторов мы складываем одноименные координаты, а при умножении вектора на число – умножаем на это число каждую координату этого вектора, а: Векторная алгебра и аналитическая геометрия, Векторная алгебра и аналитическая геометрия.

Найдем скалярное произведение векторов Векторная алгебра и аналитическая геометрия и Векторная алгебра и аналитическая геометрия и их длины. Векторная алгебра и аналитическая геометрия, Векторная алгебра и аналитическая геометрия, Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Подставив в формулу, получим Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Отсюда Векторная алгебра и аналитическая геометрия.

Определение. Векторным произведением вектора Векторная алгебра и аналитическая геометрия на вектор Векторная алгебра и аналитическая геометрия называется вектор Векторная алгебра и аналитическая геометрия (другое обозначение Векторная алгебра и аналитическая геометрия), который:

а) имеет длину Векторная алгебра и аналитическая геометрия, где Векторная алгебра и аналитическая геометрия– угол между векторами Векторная алгебра и аналитическая геометрия и Векторная алгебра и аналитическая геометрия;

б) перпендикулярен векторам Векторная алгебра и аналитическая геометрия и Векторная алгебра и аналитическая геометрия (Векторная алгебра и аналитическая геометрия) (то есть, перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы Векторная алгебра и аналитическая геометрия и Векторная алгебра и аналитическая геометрия);

в) направлен так, что векторы Векторная алгебра и аналитическая геометрия, Векторная алгебра и аналитическая геометрия, Векторная алгебра и аналитическая геометрия образуют правую тройку векторов, то есть из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки (рис.2).

Координаты векторного произведения вектора Векторная алгебра и аналитическая геометрия на вектор Векторная алгебра и аналитическая геометрия определяются по формуле:

Векторная алгебра и аналитическая геометрияВекторная алгебра и аналитическая геометрия


Геометрический смысл векторного произведения: модуль вектора Векторная алгебра и аналитическая геометрия равен площади параллелограмма, построенного на векторах Векторная алгебра и аналитическая геометрия и Векторная алгебра и аналитическая геометрия.

Свойства векторного произведения:

1) Векторная алгебра и аналитическая геометрияВекторная алгебра и аналитическая геометрия; 2) Векторная алгебра и аналитическая геометрия;

3) Векторная алгебра и аналитическая геометрия; 4) Векторная алгебра и аналитическая геометрия Векторная алгебра и аналитическая геометрия и Векторная алгебра и аналитическая геометрия коллинеарны.

Векторная алгебра и аналитическая геометрияПример 3. Параллелограмм построен на векторах Векторная алгебра и аналитическая геометрия и Векторная алгебра и аналитическая геометрия, где Векторная алгебра и аналитическая геометрия, Векторная алгебра и аналитическая геометрия, Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Вычислить длину диагоналей этого параллелограмма, угол между диагоналями и площадь параллелограмма.


Решение.

Векторная алгебра и аналитическая геометрия, Векторная алгебра и аналитическая геометрия,

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра и аналитическая геометрия.

Угол между диагоналями обозначим буквой Векторная алгебра и аналитическая геометрия, тогда

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Следовательно, Векторная алгебра и аналитическая геометрия.

Используя свойства векторного произведения, вычислим площадь параллелограмма:

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Определение. Смешанным произведением трех векторов Векторная алгебра и аналитическая геометрия, Векторная алгебра и аналитическая геометрия, Векторная алгебра и аналитическая геометрия называется скалярное произведение вектора Векторная алгебра и аналитическая геометрия на вектор Векторная алгебра и аналитическая геометрия:

Векторная алгебра и аналитическая геометрия.

Если Векторная алгебра и аналитическая геометрия то смешанное произведение можно вычислить по формуле:

Векторная алгебра и аналитическая геометрия.

Свойства смешанного произведения:

1) При перестановке любых двух векторов смешанное произведение меняет

Похожие рефераты: