Xreferat.com » Рефераты по математике » Билеты по математическому анализу

Билеты по математическому анализу

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ


Билет № 1


    1. Сформулируйте понятие полного дифференциала функции двух переменных и объясните его геометрический смысл.

    2. Исследуйте на экстремум функцию .

    3. Получите оценку модуля определенного интеграла.

    4. Вычислить интеграл .

    5. Что называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными?

    6. Найти общее решение дифференциального уравнения .

    7. Дайте определение ортогональной системы. Приведите пример.

    8. Исследовать на абсолютную и условную сходимость .


Зав. кафедрой

--------------------------------------------------


Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ


Билет № 2


    1. Что называется: переменной величиной, областью значений переменной величины? Какая переменная величина называется последовательностью?

    2. Найдите для функции .

    3. Выведите формулу для вычисления длины дуги кривой в полярных координатах.

    4. Вычислить двойной интеграл , где D ― треугольник с вершинами О(0, 0), А(2, 2), В(0, 2).

    5. Какой вид имеет однородное дифференциальное уравнение первого порядка?

    6. Найти общее решение дифференциального уравнения .

    7. Сформулируйте неравенство Бесселя по тригонометрической системе.

    8. Исследовать сходимость ряда


Зав. кафедрой

--------------------------------------------------


Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ


Билет № 3


    1. Докажите правило дифференцирования .

    2. Напишите уравнение касательной плоскости к сфере в точке .

    3. Выведите формулу для вычисления площади криволинейного сектора в полярных координатах.

    4. Найти .

    5. Что называется квазимногочленом?

    6. Найти общее решение дифференциального уравнения .

    7. Сформулировать утверждение об оценке остатка знакочередующегося ряда.

    8. Исследовать сходимость ряда


Зав. кафедрой

--------------------------------------------------


Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ


Билет № 4


    1. Опишите задачу о касательной, приводящую к понятию производной.

    2. Каков критерий выпуклости графика? Будет ли график функции выпуклым или вогнутым на интервале ? Разъясните геометрическую интерпретацию условия выпуклости .

    3. Дайте определение соленоидального векторного поля и сформулируйте критерий соленоидальности.

    4. Вычислить двойной интеграл
      .

    5. Что называется дифференциальным уравнением Бернулли?

    6. Найти общее решение дифференциального уравнения .

    7. Дайте определение знакочередующегося ряда. Приведите примеры.

    8. Исследовать сходимость ряда .


Зав. кафедрой

--------------------------------------------------


Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ


Билет № 5


    1. Перечислите основные свойства бесконечно малых и докажите одно из них (по Вашему выбору).

    2. Найдите область определения функции .

    3. Дайте определение потенциального векторного поля и его потенциала. Сформулируйте условия потенциальности векторного поля.

    4. Вычислить интеграл .

    5. Записать дифференциальное уравнение для определителя Вронского системы решений однородного линейного дифференциального уравнения.

    6. Найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям x(0) = 0, x'(0) = 3.

    7. Дайте определение гармонического ряда. Приведите пример. Докажите расходимость гармонического ряда.

    8. Исследовать сходимость ряда .


Зав. кафедрой

--------------------------------------------------


Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ


Билет № 6


    1. Дайте определение функции двух переменных, ее области определения и области значений.

    2. Найдите асимптоты графика функции . Когда у графика могут появиться вертикальные асимптоты?

    3. Найдите интеграл от простейшей дроби 1-го типа: .

    4. Найти .

    5. Записать характеристическое уравнение для линейного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.

    6. Найти общее решение дифференциального уравнения .

    7. Докажите экстремальное свойство частных сумм ряда Фурье по ортогональной системе.

    8. Исследовать сходимость ряда .


Зав. кафедрой

--------------------------------------------------


Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ


Билет № 7


    1. Сформулируйте и докажите теорему об инвариантности формы дифференциала.

    2. Найдите вторую производную функции .

    3. Какая рациональная дробь называется правильной? Сформулируйте теорему о разложении правильной рациональной дроби на простейшие.

    4. Найти .

    5. В чем заключается свойство единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной?

    6. Найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям x(0) = 0, x'(0) = 7.

    7. Докажите признак сходимости геометрического ряда.

    8. Исследовать сходимость ряда


Зав. кафедрой

--------------------------------------------------


Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ


Билет № 8


    1. Докажите правило Лопиталя.

    2. Исследуйте возрастание и убывание функции . Какая функция называется возрастающей, в чем состоит признак возрастания?

    3. Дайте определение тройного интеграла и получите формулу для вычисления массы неоднородного тела.

    4. Найти .

    5. Что такое линейно независимая система 1(t), 2(t) на (, )?

    6. Найти общее решение дифференциального уравнения .

    7. Разложите функцию y=(1+х)m (mR; m0) в ряд Маклорена.

    8. Найти интервал сходимости степенного ряда. Исследовать поведение на концах интервала сходимости .


Зав. кафедрой

--------------------------------------------------


Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ


Билет № 9


    1. Что называется градиентом скалярного поля (в случае двух переменных)? Перечислите основные свойства градиента.

    2. Найдите .

    3. Сформулируйте и докажите свойство монотонности определенного интеграла.

    4. Найти .

    5. Что такое линейно зависимая система 1(t), 2(t) на (, )?

    6. Найти общее решение дифференциального уравнения .

    7. Разложите функцию y=ex в ряд Маклорена.

    8. Исследовать сходимость ряда


Зав. кафедрой

--------------------------------------------------


Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ


Билет № 10


    1. Дайте определение производной по направлению функции (скалярного поля) двух переменных и выведите формулу для нее.

    2. Найдите .

    3. Назовите механические приложения кратных интегралов, напишите формулы для вычисления массы и центра тяжести тела.

    4. Сходится ли несобственный интеграл ?

    5. Сформулируйте задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка, разрешенного относительно второй производной.

    6. Найти общее решение дифференциального уравнения .

    7. Докажите неравенство Бесселя для ортогональной системы.

    8. Исследовать сходимость ряда


Зав. кафедрой

--------------------------------------------------


Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ


Билет № 11


    1. Какой предел называется вторым замечательным? В чем его "замечательность"?

    2. Найдите для функции .

    3. Дайте определение двойного интеграла и укажите его геометрический смысл для неотрицательной функции.

    4. Вычислить двойной интеграл
      .

    5. В чем заключается свойство существования решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной, в некоторой области D?

    6. Найти общее решение дифференциального уравнения .

    7. Разложите функцию y=sin x в ряд Маклорена и докажите сходимость полученного разложения к порождающей функции.

    8. Исследовать на абсолютную и условную сходимость .


Зав. кафедрой

--------------------------------------------------


Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ


Билет № 12


    1. Сформулируйте теорему Ролля и объясните ее геометрический смысл.

    2. Исследуйте функцию на выпуклость и вогнутость. Какая кривая называется выпуклой?

    3. Сформулируйте свойства криволинейного интеграла.

    4. Найти .

    5. Что называется неоднородным линейным дифференциальным уравнением n-го порядка?

    6. Найти общее решение дифференциального уравнения .

    7. Исследуйте сходимость обобщенного гармонического ряда.

    8. Исследовать сходимость ряда


Зав. кафедрой

--------------------------------------------------


Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ


Билет № 13


    1. Дайте определение бесконечно большой переменной величины и приведите пример такой величины.

    2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на интервале . Надо ли исследовать характер получающихся стационарных точек при отыскании наибольшего и наименьшего значений на интервале?

    3. Какие подстановки называются рационализирующими интеграл ? Покажите, что универсальная подстановка является рационализирующей для интеграла от выражений, рационально зависящих от и .

    4. Найти .

    5. Сформулировать теорему существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения n-го порядка, разрешенного относительно старшей производной.

    6. Найти общее решение дифференциального уравнения .

    7. Дайте определение абсолютно сходящегося ряда. Приведите пример.

    8. Найти область сходимости степенного ряда.


Зав. кафедрой

--------------------------------------------------


Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ


Билет № 14


    1. В чем состоит связь между понятиями предела и бесконечно малой?

    2. Найдите.

    3. Напишите формулы для вычисления площади криволинейной трапеции и правильных областей относительно оси и оси .

    4. Вычислить двойной интеграл , где D ― область, ограниченная линиями y = , y = x, y = 4x (x › 0).

    5. Какое уравнение называют характеристическим для линейного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.

    6. Найти общее решение дифференциального уравнения .

    7. Дайте определение ряда Фурье по ортогональной системе. Приведите пример.

    8. Исследовать сходимость ряда .


Зав. кафедрой

--------------------------------------------------


Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ


Билет № 15


    1. Какие типы интервалов на числовой оси Вы знаете? Чем они отличаются друг от друга?

    2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции в прямоугольнике, ограниченном прямыми .

    3. Напишите формулу для вычисления площади поверхности вращения вокруг оси и сформулируйте условия, при которых она верна.

    4. Найти .

    5. Что называется дифференциальным уравнением? Что называется порядком дифференциального уравнения?

    6. Найти общее решение дифференциального уравнения .

    7. Сформулируйте признак абсолютной сходимости ряда. Приведите пример.

    8. Найти интервал сходимости степенного ряда. Исследовать поведение на концах интервала сходимости.


Зав. кафедрой

--------------------------------------------------


Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ


Билет № 16


    1. Дайте определение непрерывности функции в точке и докажите, что функция, дифференцируемая в , непрерывна в .

    2. Укажите область определения функции . Какие точки называются внутренними, а какие граничными для области?

    3. Выведите формулу для вычисления длины дуги кривой в декартовых координатах.

    4. Найти .

    5. Какой вид имеет дифференциальное уравнение Бернулли?

    6. Найти общее решение дифференциального уравнения .

    7. Докажите признак сравнения знакоположительных рядов.

    8. Найти область сходимости степенного ряда.


Зав. кафедрой

--------------------------------------------------


Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ


Билет № 17


    1. Докажите правило дифференцирования произведения.

    2. Найдите .

    3. В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла от неотрицательной функции?

    4. Найти .

    5. Записать общий вид дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной.

    6. Найти общее решение дифференциального уравнения .

    7. Докажите признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда.

    8. Исследовать сходимость ряда .


Зав. кафедрой

--------------------------------------------------


Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ


Билет № 18


    1. Дайте определение предела переменной величины.

    2. Найдите производную по направлению в точке скалярного поля .

    3. Укажите, какие подстановки в частных случаях приводят интеграл к интегрированию более простых рациональных дробей, чем при использовании универсальной подстановки.

    4. Найти .

    5. Что называется определителем Вронского для системы решений однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка?

    6. Найти общее решение дифференциального уравнения .

    7. Дайте определение условно сходящегося ряда. Приведите пример.

    8. Решить вопрос о сходимости ряда


Зав. кафедрой

--------------------------------------------------


Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ


Билет № 19


    1. Дайте определение эквивалентных бесконечно малых и докажите одно из свойств таких величин (по Вашему выбору).

    2. Исследуйте на экстремум функцию . В чем состоит достаточный признак экстремума?

    3. Сформулируйте и докажите свойство линейности определенного интеграла.

    4. Вычислить двойной интеграл , где D ― область, ограниченная линиями y = 2 – x2 и y =x.

    5. Записать общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

    6. Найти общее решение дифференциального уравнения .

    7. Докажите теорему Абеля об области сходимости степенного ряда.

    8. Исследовать на абсолютную и условную сходимость .


Зав. кафедрой

--------------------------------------------------


Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ


Билет № 20


    1. В чем состоит первый замечательный предел? Опишите также его содержание с точки зрения сравнения бесконечно малых.

    2. Исследуйте возрастание и убывание функции . Какая функция называется убывающей, в чем состоит признак убывания функции?

    3. Укажите рационализирующую подстановку для интегралов вида , где – рациональная функция своих аргументов.

    4. Найти .

    5. Записать вид частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка в методе Лагранжа вариации постоянных.

    6. Найти общее решение дифференциального уравнения .

    7. Сформулируйте признак сравнения числовых знакоположительных рядов. Приведите пример.

    8. Исследовать сходимость ряда


Зав. кафедрой

--------------------------------------------------


Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ


Билет № 21


    1. Дайте определение полного дифференциала функции в точке ; объясните его геометрический смысл и возможность использования в приближенных вычислениях.

    2. Найдите производную функции .

    3. Дайте определения дифференциальных операций над скалярными и векторными полями, циркуляции и потока векторного поля.

    4. Вычислить интеграл .

    5. Записать общий вид дифференциального уравнения первого порядка.

    6. Найти общее решение дифференциального уравнения .

    7. Докажите радикальный признак Коши.

    8. Исследовать на абсолютную и условную сходимость .


Зав. кафедрой

--------------------------------------------------


Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ


Билет № 22


    1. Перечислите основные свойства пределов и докажите одно из них (по Вашему выбору).

    2. Дайте определение экстремума функции , сформулируйте признаки экстремума и найдите экстремумы функции .

    3. Сформулируйте теоремы о сведении двойных и тройных интегралов к повторным.

    4. Вычислить площадь области, ограниченной гиперболой y = и прямой y = 3 – x.

    5. Сформулировать теорему существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной?

    6. Найти общее решение дифференциального уравнения .

    7. Сформулируйте комплексную форму ряда Фурье функции с периодом 2l.

    8. Исследовать на абсолютную и условную сходимость .


Зав. кафедрой

--------------------------------------------------


Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ


Билет № 23


    1. Какие функции двух переменных называются дифференцируемыми?

    2. Разложите число 10 на два слагаемых так, чтобы произведение их было наибольшим. Сформулируйте свойство непрерывной функции, связанное с нахождением наибольшего и наименьшего значений.

    3. Запишите формулу Грина и сформулируйте условия, при которых она справедлива.

    4. Найти .

    5. Сформулируйте задачу Коши для дифференциального уравнения n-го порядка, разрешенного относительно старшей производной.

    6. Найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям x(0) = 1, x'(0) = 8.

    7. Разложите функцию y=cos x в ряд Маклорена.

    8. Найти область сходимости степенного ряда.


Зав. кафедрой

--------------------------------------------------


Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ


Билет № 24


    1. Докажите теорему о единственности предела переменной величины.

    2. Решеткой длиной надо огородить прямоугольный участок так, чтобы он имел наибольшую площадь. Какова будет эта наибольшая площадь? На каком свойстве непрерывных функций основано нахождение наибольших и наименьших значений?

    3. Дайте определение криволинейного интеграла от вектор-функции.

    4. Вычислить площадь области, ограниченной параболой y = x2 + 1 и прямой y = 4x – 2.

    5. Какое дифференциальное уравнение первого порядка называют однородным?

    6. Найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям x(0) = 0, x'(0) = -2.

    7. Разложите функцию y=arctg x в ряд Маклорена.

    8. Исследовать сходимость ряда .


Зав. кафедрой

--------------------------------------------------


Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ


Билет № 25


    1. Опишите задачу о скорости, приводящую к понятию производной.

    2. Найдите .

    3. Напишите формулу замены переменной в неопределенном интеграле. Сформулируйте условия, при которых она верна, и докажите ее справедливость.

    4. Найти .

    5. Сформулируйте задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной.

    6. Найти общее решение дифференциального уравнения .

    7. Разложите функцию y=ex в ряд Маклорена и докажите сходимость полученного разложения к порождающей функции.

    8. Исследовать сходимость ряда .


Зав. кафедрой

--------------------------------------------------


Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ


Билет № 26


    1. Дайте определение производной. В чем состоит геометрический смысл производной?

    2. Найдите экстремум функции . Укажите, в чем состоит геометрический смысл необходимого признака экстремума (Ферма).

    3. Получите оценку модуля двойного интеграла.

    4. Найти .

    5. Что называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка?

    6. Найти решение дифференциального уравнения

Похожие рефераты: