Билеты по математическому анализу
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
Билет № 1
Сформулируйте понятие полного дифференциала функции двух переменных и объясните его геометрический смысл.
Исследуйте на экстремум функцию
.
Получите оценку модуля определенного интеграла.
Вычислить интеграл
.
Что называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными?
Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Дайте определение ортогональной системы. Приведите пример.
Исследовать на абсолютную и условную сходимость
.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
Билет № 2
Что называется: переменной величиной, областью значений переменной величины? Какая переменная величина называется последовательностью?
Найдите
для функции
.
Выведите формулу для вычисления длины дуги кривой в полярных координатах.
Вычислить двойной интеграл
, где D ― треугольник с вершинами О(0, 0), А(2, 2), В(0, 2).
Какой вид имеет однородное дифференциальное уравнение первого порядка?
Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Сформулируйте неравенство Бесселя по тригонометрической системе.
Исследовать сходимость ряда
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
Билет № 3
Докажите правило дифференцирования
.
Напишите уравнение касательной плоскости к сфере
в точке
.
Выведите формулу для вычисления площади криволинейного сектора в полярных координатах.
Найти
.
Что называется квазимногочленом?
Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Сформулировать утверждение об оценке остатка знакочередующегося ряда.
Исследовать сходимость ряда
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
Билет № 4
Опишите задачу о касательной, приводящую к понятию производной.
Каков критерий выпуклости графика? Будет ли график функции
выпуклым или вогнутым на интервале
? Разъясните геометрическую интерпретацию условия выпуклости
.
Дайте определение соленоидального векторного поля и сформулируйте критерий соленоидальности.
Вычислить двойной интеграл
.
Что называется дифференциальным уравнением Бернулли?
Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Дайте определение знакочередующегося ряда. Приведите примеры.
Исследовать сходимость ряда
.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
Билет № 5
Перечислите основные свойства бесконечно малых и докажите одно из них (по Вашему выбору).
Найдите область определения функции
.
Дайте определение потенциального векторного поля и его потенциала. Сформулируйте условия потенциальности векторного поля.
Вычислить интеграл
.
Записать дифференциальное уравнение для определителя Вронского системы решений однородного линейного дифференциального уравнения.
Найти решение дифференциального уравнения
, удовлетворяющее начальным условиям x(0) = 0, x'(0) = 3.
Дайте определение гармонического ряда. Приведите пример. Докажите расходимость гармонического ряда.
Исследовать сходимость ряда
.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
Билет № 6
Дайте определение функции двух переменных, ее области определения и области значений.
Найдите асимптоты графика функции
. Когда у графика могут появиться вертикальные асимптоты?
Найдите интеграл от простейшей дроби 1-го типа:
.
Найти
.
Записать характеристическое уравнение для линейного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.
Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Докажите экстремальное свойство частных сумм ряда Фурье по ортогональной системе.
Исследовать сходимость ряда
.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
Билет № 7
Сформулируйте и докажите теорему об инвариантности формы дифференциала.
Найдите вторую производную функции
.
Какая рациональная дробь называется правильной? Сформулируйте теорему о разложении правильной рациональной дроби на простейшие.
Найти
.
В чем заключается свойство единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной?
Найти решение дифференциального уравнения
, удовлетворяющее начальным условиям x(0) = 0, x'(0) = 7.
Докажите признак сходимости геометрического ряда.
Исследовать сходимость ряда
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
Билет № 8
Докажите правило Лопиталя.
Исследуйте возрастание и убывание функции
. Какая функция называется возрастающей, в чем состоит признак возрастания?
Дайте определение тройного интеграла и получите формулу для вычисления массы неоднородного тела.
Найти
.
Что такое линейно независимая система 1(t), 2(t) на (, )?
Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Разложите функцию y=(1+х)m (mR; m0) в ряд Маклорена.
Найти интервал сходимости степенного ряда. Исследовать поведение на концах интервала сходимости
.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
Билет № 9
Что называется градиентом скалярного поля (в случае двух переменных)? Перечислите основные свойства градиента.
Найдите
.
Сформулируйте и докажите свойство монотонности определенного интеграла.
Найти
.
Что такое линейно зависимая система 1(t), 2(t) на (, )?
Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Разложите функцию y=ex в ряд Маклорена.
Исследовать сходимость ряда
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
Билет № 10
Дайте определение производной по направлению функции (скалярного поля) двух переменных и выведите формулу для нее.
Найдите
.
Назовите механические приложения кратных интегралов, напишите формулы для вычисления массы и центра тяжести тела.
Сходится ли несобственный интеграл
?
Сформулируйте задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка, разрешенного относительно второй производной.
Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Докажите неравенство Бесселя для ортогональной системы.
Исследовать сходимость ряда
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
Билет № 11
Какой предел называется вторым замечательным? В чем его "замечательность"?
Найдите
для функции
.
Дайте определение двойного интеграла и укажите его геометрический смысл для неотрицательной функции.
Вычислить двойной интеграл
.
В чем заключается свойство существования решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной, в некоторой области D?
Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Разложите функцию y=sin x в ряд Маклорена и докажите сходимость полученного разложения к порождающей функции.
Исследовать на абсолютную и условную сходимость
.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
Билет № 12
Сформулируйте теорему Ролля и объясните ее геометрический смысл.
Исследуйте функцию
на выпуклость и вогнутость. Какая кривая называется выпуклой?
Сформулируйте свойства криволинейного интеграла.
Найти
.
Что называется неоднородным линейным дифференциальным уравнением n-го порядка?
Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Исследуйте сходимость обобщенного гармонического ряда.
Исследовать сходимость ряда
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
Билет № 13
Дайте определение бесконечно большой переменной величины и приведите пример такой величины.
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
на интервале
. Надо ли исследовать характер получающихся стационарных точек при отыскании наибольшего и наименьшего значений на интервале?
Какие подстановки называются рационализирующими интеграл
? Покажите, что универсальная подстановка является рационализирующей для интеграла от выражений, рационально зависящих от
и
.
Найти
.
Сформулировать теорему существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения n-го порядка, разрешенного относительно старшей производной.
Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Дайте определение абсолютно сходящегося ряда. Приведите пример.
Найти область сходимости степенного ряда
.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
Билет № 14
В чем состоит связь между понятиями предела и бесконечно малой?
Найдите
.
Напишите формулы для вычисления площади криволинейной трапеции и правильных областей относительно оси
и оси
.
Вычислить двойной интеграл
, где D ― область, ограниченная линиями y =
, y = x, y = 4x (x › 0).
Какое уравнение называют характеристическим для линейного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.
Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Дайте определение ряда Фурье по ортогональной системе. Приведите пример.
Исследовать сходимость ряда
.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
Билет № 15
Какие типы интервалов на числовой оси Вы знаете? Чем они отличаются друг от друга?
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
в прямоугольнике, ограниченном прямыми
.
Напишите формулу для вычисления площади поверхности вращения вокруг оси
и сформулируйте условия, при которых она верна.
Найти
.
Что называется дифференциальным уравнением? Что называется порядком дифференциального уравнения?
Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Сформулируйте признак абсолютной сходимости ряда. Приведите пример.
Найти интервал сходимости степенного ряда. Исследовать поведение на концах интервала сходимости
.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
Билет № 16
Дайте определение непрерывности функции в точке
и докажите, что функция, дифференцируемая в
, непрерывна в
.
Укажите область определения функции
. Какие точки называются внутренними, а какие граничными для области?
Выведите формулу для вычисления длины дуги кривой в декартовых координатах.
Найти
.
Какой вид имеет дифференциальное уравнение Бернулли?
Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Докажите признак сравнения знакоположительных рядов.
Найти область сходимости степенного ряда
.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
Билет № 17
Докажите правило дифференцирования произведения.
Найдите
.
В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла от неотрицательной функции?
Найти
.
Записать общий вид дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной.
Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Докажите признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда.
Исследовать сходимость ряда
.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
Билет № 18
Дайте определение предела переменной величины.
Найдите производную по направлению
в точке
скалярного поля
.
Укажите, какие подстановки в частных случаях приводят интеграл
к интегрированию более простых рациональных дробей, чем при использовании универсальной подстановки.
Найти
.
Что называется определителем Вронского для системы решений однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка?
Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Дайте определение условно сходящегося ряда. Приведите пример.
Решить вопрос о сходимости ряда
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
Билет № 19
Дайте определение эквивалентных бесконечно малых и докажите одно из свойств таких величин (по Вашему выбору).
Исследуйте на экстремум функцию
. В чем состоит достаточный признак экстремума?
Сформулируйте и докажите свойство линейности определенного интеграла.
Вычислить двойной интеграл
, где D ― область, ограниченная линиями y = 2 – x2 и y =x.
Записать общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Докажите теорему Абеля об области сходимости степенного ряда.
Исследовать на абсолютную и условную сходимость
.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
Билет № 20
В чем состоит первый замечательный предел? Опишите также его содержание с точки зрения сравнения бесконечно малых.
Исследуйте возрастание и убывание функции
. Какая функция называется убывающей, в чем состоит признак убывания функции?
Укажите рационализирующую подстановку для интегралов вида
, где
– рациональная функция своих аргументов.
Найти
.
Записать вид частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка в методе Лагранжа вариации постоянных.
Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Сформулируйте признак сравнения числовых знакоположительных рядов. Приведите пример.
Исследовать сходимость ряда
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
Билет № 21
Дайте определение полного дифференциала функции
в точке
; объясните его геометрический смысл и возможность использования в приближенных вычислениях.
Найдите производную функции
.
Дайте определения дифференциальных операций над скалярными и векторными полями, циркуляции и потока векторного поля.
Вычислить интеграл
.
Записать общий вид дифференциального уравнения первого порядка.
Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Докажите радикальный признак Коши.
Исследовать на абсолютную и условную сходимость
.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
Билет № 22
Перечислите основные свойства пределов и докажите одно из них (по Вашему выбору).
Дайте определение экстремума функции
, сформулируйте признаки экстремума и найдите экстремумы функции
.
Сформулируйте теоремы о сведении двойных и тройных интегралов к повторным.
Вычислить площадь области, ограниченной гиперболой y =
и прямой y = 3 – x.
Сформулировать теорему существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной?
Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Сформулируйте комплексную форму ряда Фурье функции с периодом 2l.
Исследовать на абсолютную и условную сходимость
.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
Билет № 23
Какие функции двух переменных называются дифференцируемыми?
Разложите число 10 на два слагаемых так, чтобы произведение их было наибольшим. Сформулируйте свойство непрерывной функции, связанное с нахождением наибольшего и наименьшего значений.
Запишите формулу Грина и сформулируйте условия, при которых она справедлива.
Найти
.
Сформулируйте задачу Коши для дифференциального уравнения n-го порядка, разрешенного относительно старшей производной.
Найти решение дифференциального уравнения
, удовлетворяющее начальным условиям x(0) = 1, x'(0) = 8.
Разложите функцию y=cos x в ряд Маклорена.
Найти область сходимости степенного ряда
.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
Билет № 24
Докажите теорему о единственности предела переменной величины.
Решеткой длиной
надо огородить прямоугольный участок так, чтобы он имел наибольшую площадь. Какова будет эта наибольшая площадь? На каком свойстве непрерывных функций основано нахождение наибольших и наименьших значений?
Дайте определение криволинейного интеграла от вектор-функции.
Вычислить площадь области, ограниченной параболой y = x2 + 1 и прямой y = 4x – 2.
Какое дифференциальное уравнение первого порядка называют однородным?
Найти решение дифференциального уравнения
, удовлетворяющее начальным условиям x(0) = 0, x'(0) = -2.
Разложите функцию y=arctg x в ряд Маклорена.
Исследовать сходимость ряда
.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
Билет № 25
Опишите задачу о скорости, приводящую к понятию производной.
Найдите
.
Напишите формулу замены переменной в неопределенном интеграле. Сформулируйте условия, при которых она верна, и докажите ее справедливость.
Найти
.
Сформулируйте задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной.
Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Разложите функцию y=ex в ряд Маклорена и докажите сходимость полученного разложения к порождающей функции.
Исследовать сходимость ряда
.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
Билет № 26
Дайте определение производной. В чем состоит геометрический смысл производной?
Найдите экстремум функции
. Укажите, в чем состоит геометрический смысл необходимого признака экстремума (Ферма).
Получите оценку модуля двойного интеграла.
Найти
.
Что называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка?
Найти решение дифференциального уравнения
Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.