Xreferat.com » Рефераты по математике » Вынужденные колебания

Вынужденные колебания

Реферат На тему «»

Студента I –го курса гр. 107

Шлыковича Сергея

Минск 2001

Вначале рассмотрим затухающие колебания.

Во всякой реальной колебательной системе всег­да имеется сила трения (для механической систе­мы), или электрическое сопротивление (для колебательного контура), действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль этой энергии не восполняется, то  колебания будут затухать.

      Рассмотрим механические колебания. В большинстве случаев сила трения пропорциональна скорости.

Вынужденные колебания. (1.1)

Где r — постоянная, которая называется коэффициентом трения. Знак минус обуслов­лен тем, что сила F и скорость v направлены в про­тивоположные стороны.

Уравнение второго закона Ньютона при наличии силы трения имеет вид

Вынужденные колебания. (1.2)

Применим следующие обозначения

Вынужденные колебания,  (1.3)

Тогда

Вынужденные колебания  (1.4)

Где щ0 — собственная частота коле­бательной системы.

Будем искать решение уравнения в виде

Вынужденные колебания(1.5)

Найдём первую и вторую производные

Вынужденные колебания

Вынужденные колебания

Подставим выражения  Вынужденные колебания в уравнение (1.5)

Вынужденные колебания

Сократим на Вынужденные колебания

Вынужденные колебания

Вынужденные колебания

Вынужденные колебания (1.6)

Решение уравнения (1.6) зависит от знака коэф­фициента, стоящего при и. Рассмотрим случай, когда этот коэффициент положителен (т. е. b<щ0 — тре­ние мало). Введя обозначение , придем к уравнению

Вынужденные колебания

Решением этого уравнения будет функция   Вынужденные колебания

Подставляя это выражение в уравнение (1.5), имеем

Вынужденные колебания

Вынужденные колебания(1.7)

Здесь A0 и б — постоянные, значения которых зави­сят от начальных условий, щ — величина, определяе­мая формулой

Вынужденные колебания.

Скорость затухания колебаний определяется ве­личиной , которую называют коэффи­циентом затухания.

Для характеристики колебательной системы употребляется также величина

Вынужденные колебания

называемая добротностью колебательной си­стемы. Она пропорциональна числу колебаний Ne , совершаемых системой за то время t, за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

Вынужденные колебания.

Допустим, что механическая колебательная система подвергается действию внешней силы, изме­няющейся со временем по гармоническому закону:

Вынужденные колебания (2.1)

В этом случае уравнение   второго   закона Ньютона имеет вид

Вынужденные колебания

Введя   обозначения   (1.3),   преобразуем   уравнение приобретёт вид:

Вынужденные колебания (2.2)

Здесь b — коэффициент затухания, щ0 — собственная частота колебательной системы,       щ — частота выну­ждающей силы.

Дифференциальное уравнение (2.2) описывает вынужденные колебания. Решение этого уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения уже найдено (1.7), оно имеет вид

Вынужденные колебания(2.3)

Где Вынужденные колебания.

Попробуем найти частное решение (2.2) в виде Вынужденные колебания  (2.4)

где Вынужденные колебания — неизвестный пока сдвиг фаз между силой и вызываемыми ею колебаниями.

Вынужденные колебания       (2.5)

Вынужденные колебания     (2.6)

Развернем Вынужденные колебания и  по формулам для синуса и косинуса разности и подставим в формулу (2.2) Вынужденные колебания:

Вынужденные колебания

Сгруппируем члены уравнения:

Вынужденные колебания

(2.7)

Уравнение (2.7) будет тождественно при любых значениях t тогда, когда коэффициенты при cosщt и sinщt в обеих частях уравнения будут оди­наковыми.

Вынужденные колебания   (2.8)

   Вынужденные колебания   (2.9)

Найдём значения A и Вынужденные колебания при которых функция (2.4) удовлетворяет уравне­нию (2.2). Для этого возведём равенства (2.8) и (2.9) в квадрат и сложим их друг с другом

Вынужденные колебания

Вынужденные колебания      (2.10)

Из (2.9) следует, что

Вынужденные колебания    (2.11)

Подставим значения A и Вынужденные колебанияв (2.4) и получим частное решение неоднородного уравнения (2.2):

Вынужденные колебания       (2.12)

Общее решение имеет вид

Вынужденные колебания

Вынужденные колебания

Первое слагаемое  играет за­метную роль только в начальной стадии процесса, при установлении колебаний. С течением времени из-за экспоненциального множителя  роль слагаемого уменьшается, и по прошест­вии достаточного времени им можно пренебречь, со­хранив в решении только второе.

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы (2.10) приводит к тому, что при некоторой частоте амплитуда достигает максимального значения. Колебательная система оказы­вается особенно отзывчивой на действие вынуждаю­щей силы при данной частоте. Это явление называет­ся резонансом, а соответствующая частота — резонансной частотой.

Для того чтобы определить резонансную частоту щрез, нуж­но найти максимум функции (2.10), т.е. продифференцировать это выражение по щ и приравняв производную нулю:

Вынужденные колебания

Решения этого уравнения щ=0 и Вынужденные колебания, но два из них исключаются, т.к. решение, равное нулю, соответст­вует максимуму знаменателя, а Вынужденные колебания не имеет физического смысла (частота не может быть отрицательной).

Вынужденные колебания  (2.13).  Следовательно          (2.14)

Вынужденные колебанияЗависимость амплиту­ды вынужденных колеба­ний от частоты ко­лебаний показана графически на рисунке слева. Кривые на графике соответствуют различным значениям параметра b. Чем меньше b, тем выше и правее лежит максимум резонансной кривой. При очень большом затухании   (таком, что b2 > щ0) выражение для ре­зонансной частоты становится мнимым. Это означает, что   резонанс   в   этом   случае   не   наблюдается — с увеличением частоты амплитуда монотонно убывает.

Изображенная на рисунке совокупность графиков функции (2.10) называется резонансными кривыми.

Согласно формуле (2.14) при малом затухании (т. е. при b<<щ0) амплитуда при резонансе Вынужденные колебания

Если разделить это выражение на смещение x0 из положе­ния равновесия под действием постоянной силы F0, равное . В результате получим, что

Вынужденные колебания

где Вынужденные колебания- логарифмический декремент затухания.

Следовательно, добротность Q показывает, во сколько раз амплитуда при резо­нансе превышает смещение системы из положения равновесия под действием постоянной силы, модуль которой равен амплитуде вынуждающей силы (это справедливо лишь при небольшом затухании).

Литература:

И. В Савельев “Курс общей физики”.

P.S.

Данная лит-ра использовалась также при написании реферата на тему «Сложение колебаний».

Похожие рефераты: