Xreferat.com » Рефераты по математике » Системы линейных и дифференциальных уравнений

Системы линейных и дифференциальных уравнений

Размещено на /

к/р № 1


Решить матричные уравнения и сделать проверку.

Системы линейных и дифференциальных уравнений


Решение:


Системы линейных и дифференциальных уравнений

Системы линейных и дифференциальных уравнений

Системы линейных и дифференциальных уравнений


Найдём обратную матрицу Системы линейных и дифференциальных уравнений.

Обратной для матрицы А есть матрица Системы линейных и дифференциальных уравнений, где Системы линейных и дифференциальных уравнений - определитель матрицы А, а элементы матрицы A* являются алгебраическими дополнениями соответствующих элементов матрицы А.

Тогда:


Системы линейных и дифференциальных уравнений.

Найдем элементы матрицы А*:


Системы линейных и дифференциальных уравнений Системы линейных и дифференциальных уравнений Системы линейных и дифференциальных уравнений

Системы линейных и дифференциальных уравнений Системы линейных и дифференциальных уравнений Системы линейных и дифференциальных уравнений

Системы линейных и дифференциальных уравнений Системы линейных и дифференциальных уравнений Системы линейных и дифференциальных уравнений

Тогда:

Системы линейных и дифференциальных уравнений и для Х получим следующее выражение:


Системы линейных и дифференциальных уравнений

Системы линейных и дифференциальных уравнений


Выполним проверку:


Системы линейных и дифференциальных уравнений

Системы линейных и дифференциальных уравнений

Системы линейных и дифференциальных уравнений

Системы линейных и дифференциальных уравнений - верное равенство.

Ответ: Системы линейных и дифференциальных уравнений.


2. Даны координаты точек А, В, С. Найти уравнения сторон треугольника АВС. Найти уравнение одной из медиан треугольника АВС. Найти уравнение одной из высот треугольника АВС. Найти уравнение одной из биссектрис треугольника АВС. Найти площадь треугольника АВС.


Вариант

А

В

С

19

(-3;1) (-1;-3) (1;3)

Решение:

Уравнение прямой, проходящей через две точки можно записать как Системы линейных и дифференциальных уравнений.

Тогда:

- уравнение стороны АВ: Системы линейных и дифференциальных уравнений

- уравнение стороны АС: Системы линейных и дифференциальных уравнений

- уравнение стороны ВС: Системы линейных и дифференциальных уравнений

Найдем уравнение медианы ВМ, проведенной к стороне АС. Точка М – середина отрезка АС, следовательно координаты Системы линейных и дифференциальных уравнений или Системы линейных и дифференциальных уравнений

- уравнение медианы ВМ: Системы линейных и дифференциальных уравнений

Найдём уравнение высоты АH, проведенной к стороне ВС. Уравнение стороны ВС Системы линейных и дифференциальных уравнений с коэффициентом пропорциональности Системы линейных и дифференциальных уравнений. Коэффициент пропорциональности перпендикулярной прямой будет Системы линейных и дифференциальных уравнений и тогда уравнение высоты принимает вид Системы линейных и дифференциальных уравнений, где К – некая константа, значение которой найдем исходя из условия принадлежности точки А(-3; 1) уравнению высоты AH: Системы линейных и дифференциальных уравнений

- уравнение высоты АН: Системы линейных и дифференциальных уравнений

Будем искать уравнение биссектрисы угла С.

Прямые АС: Системы линейных и дифференциальных уравнений и ВС: Системы линейных и дифференциальных уравнений наклонены под острым углом к оси абсцисс (коэффициенты пропорциональности положительны), тогда угол между прямыми АС и ВС будет равен Системы линейных и дифференциальных уравнений, где Системы линейных и дифференциальных уравнений угол между прямыми ВС и АС и осью ОХ соответственно.

По формуле тангенса разности получаем, что


Системы линейных и дифференциальных уравнений


Половина угла С будет Системы линейных и дифференциальных уравнений

Тангенс угла наклона биссектрисы к оси ОХ тогда составит:


Системы линейных и дифференциальных уравнений


Уравнение биссектрисы примет вид: Системы линейных и дифференциальных уравнений, где К некая константа, значение которой определим из условия принадлежности точки С(1; 3) биссектрисе, т.е.

Системы линейных и дифференциальных уравнений

Уравнение биссектрисы CL принимает вид Системы линейных и дифференциальных уравнений

Для нахождения площади треугольника АВС воспользуемся формулой:

Системы линейных и дифференциальных уравнений.


Тогда:


Системы линейных и дифференциальных уравнений кв.ед.


Выполним чертеж:


Системы линейных и дифференциальных уравнений


Ответ: АВ: Системы линейных и дифференциальных уравнений АС: Системы линейных и дифференциальных уравнений ВС: Системы линейных и дифференциальных уравнений - стороны треугольника

ВМ: Системы линейных и дифференциальных уравнений - медиана треугольника; АН: Системы линейных и дифференциальных уравнений - высота треугольника;

СL: - биссектриса треугольника; S = 10 кв.ед.

3. Даны координаты точек А1 ,A2 ,А3 ,A4

Найти длину ребра А1А2. Составить уравнение ребра А1А4 и грани А1А2А3. Составить уравнение высоты опущенной из точки А4 на плоскость А1А2А3. Найти площадь треугольника А1A2A3 . Найти объем треугольной пирамиды А1A2А3A4


N

Координаты точек

Вар A1 A2 A3 A4
2.19 (8;6;4) (10;5;5) (5;6;8) (8;10;7)

Решение:

Воспользуемся формулой для вычисления расстояние между двумя точками:


Системы линейных и дифференциальных уравнений


Наши точки А1(8; 6; 4) и A2(10; 5; 5):


Системы линейных и дифференциальных уравнений ед.


Длина ребра А1А2 равна Системы линейных и дифференциальных уравнений ед.


Составим уравнение прямой проходящей через точки А1(8; 6; 4) и A4(8; 10; 7).

Для этого воспользуемся уравнением: Системы линейных и дифференциальных уравнений


Системы линейных и дифференциальных уравнений, т.е. А1А4: Системы линейных и дифференциальных уравнений.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки А1(8; 6; 4), A2(10; 5; 5), А3(5; 6; 8).

Воспользуемся формулой: Системы линейных и дифференциальных уравнений

Подставим данные:


Системы линейных и дифференциальных уравнений или Системы линейных и дифференциальных уравнений


Т.е. уравнение грани А1А2А3: Системы линейных и дифференциальных уравнений или Системы линейных и дифференциальных уравнений

Искомая высота проходит через точку A4(8; 10; 7) и перпендикулярна плоскости Системы линейных и дифференциальных уравнений, имеющей вектор нормали Системы линейных и дифференциальных уравнений.

Направляющий вектор высоты совпадает с вектором нормали плоскости, к которой проведена высота, следовательно, т.к. каноническое уравнение прямой Системы линейных и дифференциальных уравнений, то Системы линейных и дифференциальных уравнений уравнение искомой высоты.

Площадь треугольника А1А2А3 можно найти по формуле: Системы линейных и дифференциальных уравнений, где Системы линейных и дифференциальных уравнений - векторное произведение двух векторов


Системы линейных и дифференциальных уравнений и Системы линейных и дифференциальных уравнений.

Системы линейных и дифференциальных уравнений

Системы линейных и дифференциальных уравненийкв.ед.

Объем пирамиды можно найти по формуле: Системы линейных и дифференциальных уравнений, где Системы линейных и дифференциальных уравнений - смешанное произведение трех векторов Системы линейных и дифференциальных уравнений, Системы линейных и дифференциальных уравнений и Системы линейных и дифференциальных уравнений


Системы линейных и дифференциальных уравнений


Тогда Системы линейных и дифференциальных уравнений куб.ед.

Ответ:


Системы линейных и дифференциальных уравненийед.; А1А4: Системы линейных и дифференциальных уравнений; А1А2А3: Системы линейных и дифференциальных уравнений

h: Системы линейных и дифференциальных уравнений; Системы линейных и дифференциальных уравненийкв.ед.; Системы линейных и дифференциальных уравнений куб.ед.


4. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А.


Системы линейных и дифференциальных уравнений;


Решение:

Найдем характеристическое уравнение матрицы А – определитель матрицы А -Системы линейных и дифференциальных уравненийЕ, где Е – единичная матрица, Системы линейных и дифференциальных уравнений – независимая переменная.


А –Системы линейных и дифференциальных уравненийЕ = Системы линейных и дифференциальных уравненийСистемы линейных и дифференциальных уравненийСистемы линейных и дифференциальных уравнений= Системы линейных и дифференциальных уравнений.

Системы линейных и дифференциальных уравнений


Найдем теперь собственные числа матрицы А – корни характеристического уравнения Системы линейных и дифференциальных уравнений. Получаем:

Получаем:


Системы линейных и дифференциальных уравнений, Системы линейных и дифференциальных уравнений, Системы линейных и дифференциальных уравнений.


Далее найдем собственные векторы матрицы А, соответствующие каждому из собственных чисел.

Пусть Х = Системы линейных и дифференциальных уравнений – искомый собственный вектор.

Тогда система однородных уравнений (А -Системы линейных и дифференциальных уравненийЕ) = 0 выглядит так:


Системы линейных и дифференциальных уравнений или Системы линейных и дифференциальных уравнений


Эта однородная система линейных уравнений имеет множество решений, так как ее определитель равен нулю.

При Системы линейных и дифференциальных уравнений система принимает вид:


Системы линейных и дифференциальных уравнений

Общее решение этой системы Системы линейных и дифференциальных уравнений, где Системы линейных и дифференциальных уравнений любое число.

В качестве собственного вектора достаточно взять любое частное решение.

Пусть, например, Системы линейных и дифференциальных уравнений, тогда собственный вектор, соответствующий собственному числу Системы линейных и дифференциальных уравнений, имеет вид: Системы линейных и дифференциальных уравнений.

При Системы линейных и дифференциальных уравнений система принимает вид:


Системы линейных и дифференциальных уравнений


Общее решение этой системы Системы линейных и дифференциальных уравнений, где Системы линейных и дифференциальных уравнений любое число.

Пусть, например, Системы линейных и дифференциальных уравнений, тогда собственный вектор, соответствующий собственному числу Системы линейных и дифференциальных уравнений, имеет вид: Системы линейных и дифференциальных уравнений.

Аналогично при Системы линейных и дифференциальных уравнений получаем систему


Системы линейных и дифференциальных уравнений


общее решение которой Системы линейных и дифференциальных уравнений, где Системы линейных и дифференциальных уравнений любое число.

Пусть Системы линейных и дифференциальных уравнений, тогда собственный вектор, соответствующий собственному числу Системы линейных и дифференциальных уравнений, имеет вид: Системы линейных и дифференциальных уравнений.

Ответ: Системы линейных и дифференциальных уравнений Системы линейных и дифференциальных уравнений, Системы линейных и дифференциальных уравнений Системы линейных и дифференциальных уравнений, Системы линейных и дифференциальных уравнений Системы линейных и дифференциальных уравнений.


5. Решить систему методом Жорданa - Гаусса. Найти общее решение и два частных. Сделать проверку общего решения.


Системы линейных и дифференциальных уравнений


Решение:

Преобразуем расширенную матрицу системы к диагональному виду:


Системы линейных и дифференциальных уравнений

Системы линейных и дифференциальных уравнений

Системы линейных и дифференциальных уравнений

Похожие рефераты: