Xreferat.com » Рефераты по математике » Системы линейных и дифференциальных уравнений

Системы линейных и дифференциальных уравнений

/>


откуда получаем следующую систему


Системы линейных и дифференциальных уравнений и

Системы линейных и дифференциальных уравнений - общее решение исходной системы уравнений.

Частные решения получим присвоив конкретные значения переменной х4:

Системы линейных и дифференциальных уравнений тогда: Системы линейных и дифференциальных уравнений, т.е. решением будет вектор (0; -4; 0; -1)

Системы линейных и дифференциальных уравнений тогда: Системы линейных и дифференциальных уравнений, т.е. решением будет вектор (0; 3; -1; 2).

Выполним проверку общего решения:


Системы линейных и дифференциальных уравнений

Системы линейных и дифференциальных уравнений- верные равенства.


Ответ: Системы линейных и дифференциальных уравнений; (0; -4; 0; -1); (0; 3; -1; 2).

к/р № 2


Найти следующие пределы.


а) Системы линейных и дифференциальных уравнений б) Системы линейных и дифференциальных уравнений


Решение:

а) Системы линейных и дифференциальных уравнений - неопределенность с бесконечностью. Раскроем скобки, приведем подобные и разделим числитель и знаменатель дроби на максимальную степень х. Получим:


Системы линейных и дифференциальных уравнений

Системы линейных и дифференциальных уравнений


б) Системы линейных и дифференциальных уравнений - неопределенность Системы линейных и дифференциальных уравнений. Избавимся от обнуляющего множителя, для этого числитель разложим на множители, а к знаменателю применим эквивалентную бесконечно малую: при Системы линейных и дифференциальных уравнений Системы линейных и дифференциальных уравнений. Получим:


Системы линейных и дифференциальных уравнений


Ответ: а) 3; б) -2,5.


Найти производные функций, заданных в явном и неявном виде.

а) Системы линейных и дифференциальных уравнений б) Системы линейных и дифференциальных уравнений


Решение:

а) Перепишем функциюСистемы линейных и дифференциальных уравнений в виде экспоненты: Системы линейных и дифференциальных уравнений


Системы линейных и дифференциальных уравнений

Системы линейных и дифференциальных уравнений

Системы линейных и дифференциальных уравнений

б) Системы линейных и дифференциальных уравнений - продифференцируем обе части равенства по х.


Системы линейных и дифференциальных уравнений

Системы линейных и дифференциальных уравнений

Системы линейных и дифференциальных уравнений

Системы линейных и дифференциальных уравнений

Системы линейных и дифференциальных уравнений

Системы линейных и дифференциальных уравнений


Ответ: решение выше.

Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить ее график.


Системы линейных и дифференциальных уравнений


Решение:

1) Область определения функции: Системы линейных и дифференциальных уравнений.

2) Четность, периодичность: Системы линейных и дифференциальных уравнений, т.е. функция нечетная (симметричная относительно начала координат), не периодическая.

3) Пересечение с осями:

с осью ОY: х = 0 – не принадлежит области определения.

с осью OX: y = 0 Системы линейных и дифференциальных уравнений - решения нет, точек пересечения с осью ОХ нет.

4) Асимптоты и поведение на бесконечности:


Системы линейных и дифференциальных уравнений


Наклонные асимптоты: y = kx + b, где Системы линейных и дифференциальных уравнений b = Системы линейных и дифференциальных уравнений


Системы линейных и дифференциальных уравнений

Системы линейных и дифференциальных уравнений


т.е. существует наклонная асимптота y = 3х.

5) Поведение возле точки разрыва:

Наша точка разрыва x = 0.


Системы линейных и дифференциальных уравнений

Системы линейных и дифференциальных уравнений


6) Критические точки:

Найдем производную функции y и решим уравнение yґ = 0.


Системы линейных и дифференциальных уравнений

Системы линейных и дифференциальных уравненийСистемы линейных и дифференциальных уравнений

Системы линейных и дифференциальных уравнений

Системы линейных и дифференциальных уравнений Системы линейных и дифференциальных уравнений


т.е. точка: (-1; -4) – точка максимума и (1; 4) - точка минимума.

7) Точки перегиба:

Найдем вторую производную функции y и решим уравнение yґґ = 0.


Системы линейных и дифференциальных уравнений, значит Системы линейных и дифференциальных уравненийСистемы линейных и дифференциальных уравнений - нет решений.


При x > 0 функция выпуклая, при x < 0 вогнутая.

8) Построим график функции:

Системы линейных и дифференциальных уравнений


Системы линейных и дифференциальных уравненийСистемы линейных и дифференциальных уравненийНайти градиент функции Z в точке М.

уравнение матрица функция вектор дифференциальный

Системы линейных и дифференциальных уравнений


Решение:

Градиентом функции z в точке М является вектор grad (z) = Системы линейных и дифференциальных уравнений


Системы линейных и дифференциальных уравнений

Системы линейных и дифференциальных уравнений

Системы линейных и дифференциальных уравнений

Системы линейных и дифференциальных уравнений

Т.е. grad(z) = Системы линейных и дифференциальных уравнений.

Ответ: grad (z) = Системы линейных и дифференциальных уравнений.


Вычислить неопределенные интегралы.


а) Системы линейных и дифференциальных уравнений б) Системы линейных и дифференциальных уравнений с) Системы линейных и дифференциальных уравнений.


Решение:


а) Системы линейных и дифференциальных уравнений

Системы линейных и дифференциальных уравнений


Рассмотрим интеграл Системы линейных и дифференциальных уравнений:


Системы линейных и дифференциальных уравнений

Тогда Системы линейных и дифференциальных уравнений


б) Воспользуемся формулой интегрирования по частям: Системы линейных и дифференциальных уравнений


Системы линейных и дифференциальных уравнений

с) Разложим подинтегральное выражение на простые дроби:


Системы линейных и дифференциальных уравнений

Системы линейных и дифференциальных уравнений, т.е.

Системы линейных и дифференциальных уравнений


Тогда:


Системы линейных и дифференциальных уравнений


Ответ: решения выше.


Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций вокруг оси OY


Системы линейных и дифференциальных уравнений


Решение:

Построим в координатной плоскости заданную фигуру.

Системы линейных и дифференциальных уравнений

Объем тела, полученного вращением плоской фигуры около оси ОХ найдем по формуле:


Системы линейных и дифференциальных уравнений


В нашем случае получаем:


Системы линейных и дифференциальных уравнений куб.ед.


Ответ: Системы линейных и дифференциальных уравнений куб.ед.



А) Найти общее решение дифференциального уравнения.

Б) Найти решение задачи Коши

В) Найти общее решение дифференциального уравнения.


а) Системы линейных и дифференциальных уравнений; б) Системы линейных и дифференциальных уравнений; Системы линейных и дифференциальных уравнений; в) Системы линейных и дифференциальных уравнений.

Решение:

а) Системы линейных и дифференциальных уравнений - уравнение с разделяющимися переменными.


Системы линейных и дифференциальных уравнений

Системы линейных и дифференциальных уравнений


Возьмем интегралы:


Системы линейных и дифференциальных уравнений

Системы линейных и дифференциальных уравнений

Системы линейных и дифференциальных уравнений


Таким образом

Системы линейных и дифференциальных уравнений - общее решение уравнения, где С – произвольная константа.

б) Системы линейных и дифференциальных уравнений - уравнение Бернулли.

Решим его, выполнив замену Системы линейных и дифференциальных уравнений. Тогда Системы линейных и дифференциальных уравнений и исходное уравнение примет вид: Системы линейных и дифференциальных уравнений - линейное неоднородное уравнение первого порядка. Будем искать его решение в виде Системы линейных и дифференциальных уравнений, тогда Системы линейных и дифференциальных уравнений и

Системы линейных и дифференциальных уравнений Системы линейных и дифференциальных уравнений


Функцию u будем искать такую, что Системы линейных и дифференциальных уравнений, т.е.


Системы линейных и дифференциальных уравнений


Тогда: Системы линейных и дифференциальных уравнений

В итоге Системы линейных и дифференциальных уравнений и подставляя Системы линейных и дифференциальных уравнений получаем Системы линейных и дифференциальных уравнений - общее решение уравнения.

Найдём решение задачи Коши для Системы линейных и дифференциальных уравнений:


Системы линейных и дифференциальных уравнений


Искомое решение Системы линейных и дифференциальных уравнений.

в) Системы линейных и дифференциальных уравнений - неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Его решение представляет собой сумму Системы линейных и дифференциальных уравнений, где Системы линейных и дифференциальных уравнений - общее решение однородного уравнения, Системы линейных и дифференциальных уравнений - частное решение неоднородного уравнения, зависящее от Системы линейных и дифференциальных уравнений и вида правой части неоднородного уравнения.

Решением уравнения вида Системы линейных и дифференциальных уравнений будет Системы линейных и дифференциальных уравнений, где Системы линейных и дифференциальных уравнений - корни характеристического уравнения Системы линейных и дифференциальных уравнений.

Запишем характеристическое уравнение для Системы линейных и дифференциальных уравнений:

Системы линейных и дифференциальных уравнений и найдем его корни: Системы линейных и дифференциальных уравнений

Тогда решение уравнения имеет вид: Системы линейных и дифференциальных уравнений, где С1 и С2 – произвольные константы.

Системы линейных и дифференциальных уравнений будем искать в виде Системы линейных и дифференциальных уравнений

Тогда:

Системы линейных и дифференциальных уравнений Системы линейных и дифференциальных уравнений и подставляя в уравнение Системы линейных и дифференциальных уравнений получаем:


Системы линейных и дифференциальных уравнений


откуда, приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях х, получаем:


Системы линейных и дифференциальных уравнений,

т.е. Системы линейных и дифференциальных уравнений


Общее решение неоднородного уравнения есть


Системы линейных и дифференциальных уравнений

Ответ: а) Системы линейных и дифференциальных уравнений;


б) Системы линейных и дифференциальных уравнений;

с) Системы линейных и дифференциальных уравнений.

8.

а) Исследовать сходимость ряда.

б) Определить область сходимости ряда.


а) Системы линейных и дифференциальных уравнений б) Системы линейных и дифференциальных уравнений.


Решение:

а) Системы линейных и дифференциальных уравнений - рассмотрим ряд из абсолютных величин Системы линейных и дифференциальных уравнений.

Поскольку Системы линейных и дифференциальных уравнений, то Системы линейных и дифференциальных уравнений.

Ряд Системы линейных и дифференциальных уравнений сходится как обобщенный гармонический ряд

Похожие рефераты: