Діафантові рівняння

Очевидно, що останні чотири вирази задовольняють початкове рівняння

.

Оскільки всі ці вирази мають однаковий знаменник, то його можна відкинути. Отже при наше рівняння задовольняють (при будь яких �� та �� ) наступні числа:

В цьому можна впевнитись і безпосередньо, піднісши ці вирази до кубу і додавши їх. Надаючи �� та �� різні цілі значення, можемо отримати цілий ряд цілочисельних розв’язків нашого рівняння. Якщо при цьому отримані числа будуть мати спільний множник, то на нього ці числа можна поділити. Наприклад, при ��=1, ��=1 отримуємо для ��, ��, ��, �� наступні значення: 36, 6, 48, , або після скорочення на 6, значення 6, 1, 8, . Таким чином,

.

2.4 Теорема Лежандра

Розглянемо невизначене рівняння (11). Вперше знайшов розв’язки рівняння (11) Лежандр, довівши наступну теорему:

Теорема 8.

Якщо ��, �� і �� – попарно взаємно прості додатні цілі числа, вільні від квадратів, то невизначене рівняння

Має нетривіальні розв’язки в цілих числах ��, �� і ��, тоді і тільки тоді, коли мають розв’язки конгруенції

(12)

Доведення.

Необхідність умов (12) очевидна. Доведемо їх достатність.

Нехай �� – довільний непарний простий дільник числа ��. Тоді із (12) випливає, що конгруенція маж нетривіальний розв'язок, наприклад, . В такому випадку форма розкладається по модулю �� на лінійні множники:

.

Такий же розклад правильний для форми , тобто має місце рівність

, (13)

де - цілочисельні лінійні форми. Аналогічні рівності мають місці і для непарних простих дільників �� коефіцієнтів �� і ��, а також �� = 2, так, як

.

Знайдемо тепер такі лінійні форми , щоб виконувались рівності

Для всіх простих дільників �� коефіцієнтів ��, �� і ��. Тоді із рівності (13) отримаємо

, (14)

Будемо надавати змінним цілі значення, які задовольняють умови

(15)

Якщо виключити із розгляду тривіальний випадок (для нього твердження теореми очевидне), то із того, що числа ��, �� і �� є взаємно простими, випливає що не всі числа , , будуть цілими. Значить, число наборів (��, ��, ��), що задовольняють умови (15), строго більше, ніж . Розглянемо значення, які приймає лінійна форма при цих значеннях змінних. Так, як число наборів (��, ��, ��) з умовою (15) більше числа лишків по модулю ������, то для двох різних наборів (, , ) і (, , ) маємо

��(, , )

Звідси, в силу лінійності форми , отримаємо, що при , , виконується конгруенція

��(, , ).

Відповідно до (14),

(16)

Оскільки для наборів (, , ) і (, , ) виконується (15), то

,

Значить,

Остання нерівність сумісна із конгруенцією (16) лише в тому випадку, коли

або коли

Перший випадок дає нетривіальний розв'язок, (, , ). У другому випадку існування нетривіального цілочисельного розв’язку рівняння (11) випливає із тотожності

Вище доведене дає ефективний алгоритм для знаходження нетривіального цілочисельного розв'язку рівняння (11).

Розділ ІІ. Приклади розв’язання діофантових рівнянь

§1. Приклади розв’язання лінійних діофантових рівнянь

Задача1. Розв’язати лінійне діофантове рівняння:

3��.

Хоча одне рівняння з двома невідомими має нескінченне число розв’язків, неочевидно, що знайдеться хоча б одне з цілими додатними �� та ��.

Знаючи, що �� та �� є цілими і додатними розв’яжемо це рівняння. Виділимо невідоме, коефіцієнт, якого менший, отримаємо:

,

звідки

.

Оскільки ��, 6 і �� – цілі числа, то рівність може бути вірною лише за умови, що є цілим числом. Позначимо його буквою ��. Тоді

,

де

,

і значить,

Із останнього рівняння визначаємо ��:

.

Оскільки �� та �� – цілі числа, то і повинно бути деяким цілим числом . Тоді,

,

причому

звідки

+1.

Значення +1 підставимо в попередні рівності:

.

І так, для �� та �� ми знайшли представлення:

,

Взагалі кажучи, ми довели тільки те, що всякий цілочисельний розв'язок рівняння , має вигляд , , де - деяке ціле число. Доведення того, що при довільному цілому ми отримаємо деякий цілочисельний розв'язок даного рівняння, випливає, якщо провести аналогічні міркування в зворотному напрямку, підставивши знайдені значення �� та �� в початкове рівняння.

Оскільки , то і

,

З цих нерівностей знаходимо:

Цим самим величина обмежується; вона більша за (а значить і більша за 85 ). Але оскільки - ціле і додатне число, то можна стверджувати, що для нього можливі лише наступні значення:

Тоді відповідні значення для �� та �� будуть такими:

,

Формули для визначають розв’язки даного рівняння у цілих невідємниних числах.

Задача2. Розв’язати систему лінійних діофантових рівнянь:

Розв'язок:

Віднявши друге рівняння від першого, отримаємо одне рівняння з двома невідомими:

Знаходимо ��:

Очевидно, - ціле число. Позначимо його через ��. Маємо:

Підставляємо вирази для �� та �� у друге із початкових рівнянь:

Отримаємо:

Так як неважко встановити межі для ��:

,

З цього можемо зробити висновок, що для �� можливі тільки два цілих значення: ��=0, ��=1.

Відповідні значення ��, �� і �� будуть такими:

Перевірка

Задача3.

Вміння розв’язувати діофантові рівняння дає можливість виконати наступний математичний фокус.

Якщо помножити дату свого дня народження на 12, а номер місяця на 31 і знайти суму, то за такою сумою можна визначити дату народження.

Якщо, наприклад, задумана дата – 9 лютого, то наступні дії будуть такими:

За останнім числом 170 потрібно визначити задуману дату.

Задача зводиться до розв'язку рівняння з двома невідомими

у цілих, додатних числах, причому число місяця �� не більше 31, а номер місяця �� не більше 12.

Знаючи, що і, знаходимо межі для

Отже , ��=9, ��=2.

Таким чином, дата народження 9-те число другого місяця, тобто 9 лютого.

Задача4.

Над двома цілими додатними числами були виконані наступні дії:

Їх додали;

Відняли від більшого менше;

Перемножили;

Поділили більше на менше.

Отримані результати додали і в результаті вийшло 243. Знайти ці числа.

Розв'язок.

Якщо більше число ��, а менше число ��, то

Якщо рівняння помножити на ��, а потім розкрити дужки і звести подібні доданки, то отримаємо:

Але Тому

Щоб �� було цілим числом, знаменник повинен бути одним із дільників числа 243 (тому що �� не може мати спільні множники із ��+1). Знаючи, що 243=, можна зробити висновок, що 243 ділиться тільки на наступні числа, які є точними квадратами: 1, , . І так, повинно дорівнювати 1, або , звідки знаходимо �� (додатне), що дорівнює 8 або 2.

Тоді �� дорівнює

Тому шуканими числами будуть: 24 та 8 або 54 та 2.

Задача5.

Числа 46 та 96 мають цікаву властивість: їх добуток не міняється, якщо поміняти їх цифри місцями, тобто

Потрібно встановити, чи існують ще такі пари двозначних чисел з такою ж властивістю. Як знайти ці всі числа?

Розв'язок.

Позначимо цифри шуканих чисел через �� і ��, �� і ��, отримаємо рівняння:

Розкривши дужки та звівши подібні доданки отримуємо рівняння:

де ��, ��, ��, �� – цілі числа, менші 10. Для того щоб знайти розв’язки складаємо із 9 цифр всі пари з рівними добутками:

Всіх рівностей 9. Із кожної можна скласти одну або дві пари шуканих чисел. Наприклад, із рівності саємо один розв'язок:

Із рівності знаходимо два розв’язки:

Аналогічно знаходимо наступні 14 розв’язків:

§2. Знаходження всіх цілих розв’язків діофантових рівнянь вищих порядків

Приклад 1.

Розв’язати в цілих числах рівняння