Xreferat.com » Рефераты по математике » Діафантові рівняння

Діафантові рівняння

width="146" height="22" align="BOTTOM" border="0" />.

Розв'язок.

Розкладемо дане рівняння на множники таким чином:

Діафантові рівняння

Діафантові рівняння

Діафантові рівняння

оскільки розв’язками даного рівняння можуть бути лише цілі числа, то числа Діафантові рівняння та Діафантові рівняння також мають бути цілими. З останньої рівності бачимо, що добуток цих чисел дорівнює 3, тому можливі випадки:

Діафантові рівняння

Діафантові рівняння

Отже, для знаходження всіх цілих розв’язків даного рівняння треба розв’язати наступні системи рівнянь, тобто розглянути всі можливі випадки , коли добуток чиселДіафантові рівняння рівний трьом.


Діафантові рівняння

Діафантові рівняння

Діафантові рівняння

Діафантові рівняння


Відповідь: (0, 0), (1, Діафантові рівняння), (Діафантові рівняння), (Діафантові рівняння).


Приклад 2.

Розв’язати в цілих числах рівняння


Діафантові рівняння.


Розв'язок.

Аналогічно до прикладу 1 розкладемо наше рівняння на множники і за таким же принципом розв’яжемо його.


Діафантові рівняння

Діафантові рівняння


Знаючи, що числа Діафантові рівняння, Діафантові рівняння цілі і в добутку дають Діафантові рівняння, очевидно, що вони можуть набувати наступних значень:


Діафантові рівняння

Діафантові рівняння


Отже маємо такі системи рівнянь:


Діафантові рівняння

Діафантові рівняння

Діафантові рівняння

Діафантові рівняння

Діафантові рівняння

Діафантові рівняння

Діафантові рівняння

Діафантові рівняння

Діафантові рівняння

Діафантові рівняння

Діафантові рівняння

Діафантові рівняння

Відповідь: Діафантові рівняння

Діафантові рівняння

Діафантові рівняння.


Приклад 3.

Розв’язати в цілих числах рівняння:


Діафантові рівняння


Розв'язок.

Перепишемо наше рівняння вигляді:


Діафантові рівняння


Тепер розв’яжемо дане рівняння, як квадратне відносно ��:


Діафантові рівняння

Діафантові рівняння


Оскільки Діафантові рівняння, маємо нерівність

Діафантові рівняння


Дискримінант набуватиме від’ємних значень при Діафантові рівняння, тому �� належить проміжкуДіафантові рівняння. Враховуючи те, що �� є числом цілим, то він може набувати таких значень:

Діафантові рівняння.

3наючи ��, легко можемо знайти ��:

при ��=0, Діафантові рівняння ,

Діафантові рівняння.

при ��=1, Діафантові рівняння

Діафантові рівняння0.

��=0, ��=2.

при ��=2, Діафантові рівняння

Діафантові рівняння

��=1, ��=2.

Відповідь: (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 2), (2, 1), (2, 2).


Приклад 4.

Знайти всі розв’язки рівняння в цілих числах:


Діафантові рівняння


Розв'язок.

Нехай Діафантові рівняння, де ��, ��, �� – цілі числа. Тоді число �� парне. Після заміни Діафантові рівняння отримаємо рівняння


Діафантові рівняння


Скоротимо на 2:


Діафантові рівняння


Очевидно, що �� парне число. Після заміни Діафантові рівняння отримаємо рівняння:


Діафантові рівняння


Знову скоротимо на 2:


Діафантові рівняння


З останнього рівняння бачимо, що �� парне число. Після заміни Діафантові рівняння, отримаємо рівняння:


Діафантові рівняння

Діафантові рівняння


Отримали рівняння, яке має такий же вигляд як і початкове рівняння. Тому знову за таким же алгоритмом можемо довести, що Діафантові рівняння парні, і так далі. Але це можливо тільки в тому випадку, коли Діафантові рівняння.

Отже, в цілих числах рівняння має єдиний розв'язок Діафантові рівняння.

Приклад 5.

Знайти всі розв’язки рівняння Діафантові рівнянняв раціональних числах.

Розв'язок.

Очевидним є розв'язок Діафантові рівняння, тому достатньо розглянути випадок, коли Діафантові рівняння (випадок Діафантові рівняння розглядується аналогічно).

Нехай Діафантові рівняння, де Діафантові рівняння– раціональне число. Тоді


Діафантові рівняння

тому ����=Діафантові рівняння, а значить Діафантові рівняння

Нехай Діафантові рівняння – нескоротний дріб. Тоді


Діафантові рівняння та Діафантові рівняння.


Числа �� і ��+�� взаємно прості, тому число �� може бути раціональним тільки тому випадку, коли ��=Діафантові рівняння і ��+��=Діафантові рівняння для деяких натуральних �� та ��. Припустимо, що Діафантові рівняння Тоді


Діафантові рівняння


Приходимо, до суперечності, так, як між числами Діафантові рівняння та Діафантові рівняння не може знаходитись число Діафантові рівняння. Тому ��=1. Для будь-якого натурального �� числа

Діафантові рівняння та Діафантові рівняння раціональні і являються розв’язками рівняння Діафантові рівняння. Ці числа будуть цілими лише при Діафантові рівняння. В цьому випадку Діафантові рівняння


Приклад 6.

Розв’язати в цілих числах рівняння


Діафантові рівняння.


Розв'язок.

Перепишемо дане рівняння у вигляді :


Діафантові рівняння

Або


Діафантові рівняння,


Звідки


Діафантові рівняння


Таким чином дане рівняння розпадається на два :


Діафантові рівняння

Діафантові рівняння


Або


Діафантові рівняння (1)

Діафантові рівняння (2)


Так як Діафантові рівняння, то в (1) невідомий корінь �� може набувати цілі значення 0, 1, 4, 9, 16, а в (2) – лише цілі значення 0, 1, 4, 9. Відповідні їм значення �� такі: 64, 36, 16, 4, 0; 36, 16, 4, 0. Отже дане рівняння має 9 розв’язків в цілих числах.

Відповідь: Діафантові рівняння

Приклад 7.

Розв’язати в цілих числах рівняння


Діафантові рівняння


Розв'язок.

Очевидно, що �� та �� не можуть бути від’ємними числами, так як при Діафантові рівняння


Діафантові рівняння


а тому Діафантові рівняння має вигляд Діафантові рівняннящо можливо лише при парних значеннях ��. Але з умови випливає, що �� не може бути парним числом, якщо Діафантові рівняння.

Якщо Діафантові рівняння, то рівняння має вигляд


Діафантові рівняння


звідки Діафантові рівняння

Нехай Діафантові рівняння Маємо


Діафантові рівняння


Діафантові рівняння


Діафантові рівняння


Із цього рівняння випливає, що

Діафантові рівняння або Діафантові рівняння, де �� – натуральне число.

Оскільки Діафантові рівняння і оскільки �� – непарне число, то �� – парне число або Діафантові рівняння.


Нехай Діафантові рівняння Тоді Діафантові рівняння, або Діафантові рівняння, звідки

Діафантові рівняння, Діафантові рівняння. Тому Діафантові рівнянняабо Діафантові рівняння тобтоДіафантові рівняння, звідки Діафантові рівнянняі тому Діафантові рівняння


Якщо ж Діафантові рівняння , то �� довільне, �� ��Діафантові рівняння. І так, при Діафантові рівняння ми маємо, крім тривіального розв'язку Діафантові рівняння, де �� – будь яке натуральне число або нуль, лише ще один розв'язок:


Діафантові рівняння


При Діафантові рівняння . Очевидно, що непарних значеннях z дане рівняння не має розв’язків , при парних значеннях z рівняння зводиться до вигляду:


Діафантові рівняння


Отже, рівняння має тривіальний розв'язок Діафантові рівняння де �� – будь-яке натуральне число, і, крім того, ще має тільки три розв’язки:


Діафантові рівняння

Діафантові рівняння

Діафантові рівняння


Приклад 8.

Розв’язати в натуральних числах рівняння


Діафантові рівняння

Розв'язок.

Перепишемо дане рівняння у вигляді:


Діафантові рівняння


або

Діафантові рівняння

Діафантові рівняння


Оскільки дільниками числа 7 є лише числа Діафантові рівняння то шукані числа �� та �� треба шукати серед розв’язків наступних чотирьох систем:


Діафантові рівняння

Діафантові рівняння


Перша система має єдиний розв'язок в натуральних числах Діафантові рівняння третя система має також єдиний розв'язок в натуральних числах Діафантові рівняння Друга та четверта системи не мають розв’язків в натуральних числах.Отже, дане рівняння має рівно два розв’язки в натуральних числах: Діафантові рівняння.


Приклад 9.

Розв’язати в цілих числах рівняння:


Діафантові рівняння


Розв'язок.

Ні одне із невідомих не може бути цілим від’ємним числом, так як рівності


Діафантові рівняння


неможливі при натуральних ��, ��, ��, ��.

Легко перевірити, що Діафантові рівняння. Отже, ��, �� – натуральні. Із умови випливає:

Діафантові рівняння

або Діафантові рівняння

або Діафантові рівняння


Число Діафантові рівняння – парне, якщо Діафантові рівняння

Якщо Діафантові рівняння, то Діафантові рівняння, а тому із умови маємо

Діафантові рівняння

тобто, Діафантові рівняння

Таким чином, Діафантові рівняння - розв'язок даного рівняння.

Якщо ж Діафантові рівняння повинно містити парну кількість доданків, а тому �� – парне число; нехай Діафантові рівняння. Тоді


Діафантові рівняння

або Діафантові рівняння,

або Діафантові рівняння.


Якщо �� – непарне число, то Діафантові рівняння - непарне число, що можливо лише при Діафантові рівняння тобто Діафантові рівняння.

Тоді з умови маємо


Діафантові рівняння


тому Діафантові рівняння - другий розв'язок даного рівняння.

Якщо ж �� – парне число, тобто Діафантові рівняння, то Діафантові рівняння, а тому дане рівняння перепишемо у вигляді:


Діафантові рівняння


або Діафантові рівняння;

тому Діафантові рівняння

останнє рівняння не має розв’язків, так як

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: