Діафантові рівняння
Розв'язок.
Розкладемо дане рівняння на множники таким чином:
оскільки розв’язками даного рівняння можуть бути лише цілі числа, то числа та також мають бути цілими. З останньої рівності бачимо, що добуток цих чисел дорівнює 3, тому можливі випадки:
Отже, для знаходження всіх цілих розв’язків даного рівняння треба розв’язати наступні системи рівнянь, тобто розглянути всі можливі випадки , коли добуток чисел рівний трьом.
Відповідь: (0, 0), (1, ), (), ().
Приклад 2.
Розв’язати в цілих числах рівняння
.
Розв'язок.
Аналогічно до прикладу 1 розкладемо наше рівняння на множники і за таким же принципом розв’яжемо його.
Знаючи, що числа , цілі і в добутку дають , очевидно, що вони можуть набувати наступних значень:
Отже маємо такі системи рівнянь:
Відповідь:
.
Приклад 3.
Розв’язати в цілих числах рівняння:
Розв'язок.
Перепишемо наше рівняння вигляді:
Тепер розв’яжемо дане рівняння, як квадратне відносно :
Оскільки , маємо нерівність
Дискримінант набуватиме від’ємних значень при , тому належить проміжку. Враховуючи те, що є числом цілим, то він може набувати таких значень:
.
3наючи , легко можемо знайти :
при =0, ,
.
при =1,
0.
=0, =2.
при =2,
=1, =2.
Відповідь: (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 2), (2, 1), (2, 2).
Приклад 4.
Знайти всі розв’язки рівняння в цілих числах:
Розв'язок.
Нехай , де , , – цілі числа. Тоді число парне. Після заміни отримаємо рівняння
Скоротимо на 2:
Очевидно, що парне число. Після заміни отримаємо рівняння:
Знову скоротимо на 2:
З останнього рівняння бачимо, що парне число. Після заміни , отримаємо рівняння:
Отримали рівняння, яке має такий же вигляд як і початкове рівняння. Тому знову за таким же алгоритмом можемо довести, що парні, і так далі. Але це можливо тільки в тому випадку, коли .
Отже, в цілих числах рівняння має єдиний розв'язок .
Приклад 5.
Знайти всі розв’язки рівняння в раціональних числах.
Розв'язок.
Очевидним є розв'язок , тому достатньо розглянути випадок, коли (випадок розглядується аналогічно).
Нехай , де – раціональне число. Тоді
тому =, а значить
Нехай – нескоротний дріб. Тоді
та .
Числа і + взаємно прості, тому число може бути раціональним тільки тому випадку, коли = і += для деяких натуральних та . Припустимо, що Тоді
Приходимо, до суперечності, так, як між числами та не може знаходитись число . Тому =1. Для будь-якого натурального числа
та раціональні і являються розв’язками рівняння . Ці числа будуть цілими лише при . В цьому випадку
Приклад 6.
Розв’язати в цілих числах рівняння
.
Розв'язок.
Перепишемо дане рівняння у вигляді :
Або
,
Звідки
Таким чином дане рівняння розпадається на два :
Або
(1)
(2)
Так як , то в (1) невідомий корінь може набувати цілі значення 0, 1, 4, 9, 16, а в (2) – лише цілі значення 0, 1, 4, 9. Відповідні їм значення такі: 64, 36, 16, 4, 0; 36, 16, 4, 0. Отже дане рівняння має 9 розв’язків в цілих числах.
Відповідь:
Приклад 7.
Розв’язати в цілих числах рівняння
Розв'язок.
Очевидно, що та не можуть бути від’ємними числами, так як при
а тому має вигляд що можливо лише при парних значеннях . Але з умови випливає, що не може бути парним числом, якщо .
Якщо , то рівняння має вигляд
звідки
Нехай Маємо
Із цього рівняння випливає, що
або , де – натуральне число.
Оскільки і оскільки – непарне число, то – парне число або .
Нехай Тоді , або , звідки
, . Тому або тобто, звідки і тому
Якщо ж , то довільне, . І так, при ми маємо, крім тривіального розв'язку , де – будь яке натуральне число або нуль, лише ще один розв'язок:
При . Очевидно, що непарних значеннях z дане рівняння не має розв’язків , при парних значеннях z рівняння зводиться до вигляду:
Отже, рівняння має тривіальний розв'язок де – будь-яке натуральне число, і, крім того, ще має тільки три розв’язки:
Приклад 8.
Розв’язати в натуральних числах рівняння
Розв'язок.
Перепишемо дане рівняння у вигляді:
або
Оскільки дільниками числа 7 є лише числа то шукані числа та треба шукати серед розв’язків наступних чотирьох систем:
Перша система має єдиний розв'язок в натуральних числах третя система має також єдиний розв'язок в натуральних числах Друга та четверта системи не мають розв’язків в натуральних числах.Отже, дане рівняння має рівно два розв’язки в натуральних числах: .
Приклад 9.
Розв’язати в цілих числах рівняння:
Розв'язок.
Ні одне із невідомих не може бути цілим від’ємним числом, так як рівності
неможливі при натуральних , , , .
Легко перевірити, що . Отже, , – натуральні. Із умови випливає:
або
або
Число – парне, якщо
Якщо , то , а тому із умови маємо
тобто,
Таким чином, - розв'язок даного рівняння.
Якщо ж повинно містити парну кількість доданків, а тому – парне число; нехай . Тоді
або ,
або .
Якщо – непарне число, то - непарне число, що можливо лише при тобто .
Тоді з умови маємо
тому - другий розв'язок даного рівняння.
Якщо ж – парне число, тобто , то , а тому дане рівняння перепишемо у вигляді:
або ;
тому
останнє рівняння не має розв’язків, так як