Xreferat.com » Рефераты по математике » Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами

Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами

border="0" /> не содержит кубов, следует, что  не содержит кубов. Это означает, что . Следовательно, , и поэтому  - нильпотентная подгруппа. Таким образом, . Полученное противоречие с выбором группы  доказывает лемму.

[4.1]. В примитивной группе  каждая максимальная подгруппа группы  перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы  тогда и только тогда, когда группа  имеет вид:

(1) ,


где  - группа порядка  и  - группа порядка , где ;

(2) ,

где  - минимальная нормальная подгруппа в  порядка  и  - группа порядка , где ;

(3) ,

где  - группа порядка  и  - группа порядка , где .

(4) ,

где  - группа порядка  и  - группа порядка , где  - различные простые делители порядка группы .

Доказательство. Необходимость. Так как ввиду теоремы, группа  разрешима, то , где  - примитиватор группы  и  - единственная минимальная нормальная подгруппа группы , . Ввиду леммы , .

Пусть  - произвольная максимальная подгруппа группы  и  - максимальная подгруппа группы . Ясно, что  - -максимальная подгруппа группы . По условию подгруппы  и  перестановочны. Следовательно, для любого ,  - подгруппа группы , и поэтому либо , либо . Ввиду леммы, первый случай не возможен. Следовательно, . Это означает, что  для любого . Значит, . Следовательно, в группе  все -максимальные подгруппы единичны. Это означает, что либо , либо , либо .

1. Пусть . Если , то группа  принадлежит типу (1). Если , то группа  принадлежит типу (3).

2. Пусть . Допустим, что . Ясно, что  - -максимальная подгруппа группы . Пусть  - максимальная подгруппа группы . Тогда  - -максимальная подгруппа группы . По условию подгруппы  и  перестановочны. Следовательно, . Полученное противоречие показывает, что . В этом случае  - группа типа (2).

3. Пусть . Рассуждая как выше, видим, что . Значит,  - группа типа (4).

Достаточность очевидна. Лемма доказана.

Поскольку в любой нильпотентной группе максимальная подгруппа нормальна, то все они перестановочны со всеми -максимальными подгруппами группы . Опишем теперь ненильпотентные группы, у которых каждая максимальная подгруппа перестановочна со всеми -максимальными подруппами.

[4.2]. В ненильпотентной группе  каждая ее максимальная подгруппа перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы  тогда и только тогда, когда либо  где  - различные простые числа и  либо  - группа типа (2) из теоремы , либо  - сверхразрешимая группа одного из следующих типов:

(1) ,

где  - группа простого порядка , а  - такая бипримарная группа с циклическими силовскими подгруппами, что , где  и ;

(2) ,

 где  - группа простого порядка ,  - циклическая -группа с  () и ;

(3) ,

где  - группа простого порядка ,  - -группа с  (),  и все максимальные подгруппы в , отличные от , цикличны.

Доказательство. Необходимость.

Пусть  - группа, в которой каждая максимальная подгруппа перестановочна с любой -максимальной подгруппой группы .

Поскольку  - ненильпотентная группа, то в ней существует максимальная подгруппа , которая не является нормальной в . Тогда . Следовательно,  - примитивная группа, которая удовлетворяет условиям леммы .

I. Пусть , где  и  - простые числа (не обязательно различные). Ввиду леммы ,  и .

Так как , то  содержится в некоторой максимальной подгруппе  группы . Пусть  - произвольная максимальная подгруппа группы  и  - максимальная подгруппа группы . Ясно, что  - -максимальная подгруппа группы . Следовательно, для любого  подгруппы  и  перестановочны. Это означает, что . Поскольку , то либо , либо . Ясно, что первый случай не возможен. Следовательно,  - единственная максимальная подгруппа группы , и поэтому  - примарная циклическая группа. Ввиду произвольного выбора ,  - примарная циклическая группа.

Пусть . Тогда  для некоторого . Пусть  - силовская -подгруппа группы ,  - силовская -подгруппа группы  и  - силовская -подгруппа группы . Так как

,

 то  - группа порядка  и . Из того, что факторгруппа  сверхразрешима и подгруппа  циклическая, следует, что  - сверхразрешимая группа. Допустим, что  - наибольший простой делитель порядка группы . Тогда  и поэтому . Значит,  и , противоречие. Если  - наибольший простой делитель порядка группы , то рассуждая как выше видим, что  и . Полученное противоречие показывает, что  - наибольший простой делитель порядка группы . Значит,  - нормальная подгруппа в группе . Если , то  и , где  - группа порядка ,  - -группа. Ясно, что  - единственная -максимальная подгруппа в . Поскольку  - неприводимая абелева группа автоморфизмов группы , то

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: