Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами
[4.1]. В примитивной группе каждая максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы тогда и только тогда, когда группа имеет вид:
(1) ,
где - группа порядка и - группа порядка , где ;
(2) ,
где - минимальная нормальная подгруппа в порядка и - группа порядка , где ;
(3) ,
где - группа порядка и - группа порядка , где .
(4) ,
где - группа порядка и - группа порядка , где - различные простые делители порядка группы .
Доказательство. Необходимость. Так как ввиду теоремы, группа разрешима, то , где - примитиватор группы и - единственная минимальная нормальная подгруппа группы , . Ввиду леммы , .
Пусть - произвольная максимальная подгруппа группы и - максимальная подгруппа группы . Ясно, что - -максимальная подгруппа группы . По условию подгруппы и перестановочны. Следовательно, для любого , - подгруппа группы , и поэтому либо , либо . Ввиду леммы, первый случай не возможен. Следовательно, . Это означает, что для любого . Значит, . Следовательно, в группе все -максимальные подгруппы единичны. Это означает, что либо , либо , либо .
1. Пусть . Если , то группа принадлежит типу (1). Если , то группа принадлежит типу (3).
2. Пусть . Допустим, что . Ясно, что - -максимальная подгруппа группы . Пусть - максимальная подгруппа группы . Тогда - -максимальная подгруппа группы . По условию подгруппы и перестановочны. Следовательно, . Полученное противоречие показывает, что . В этом случае - группа типа (2).
3. Пусть . Рассуждая как выше, видим, что . Значит, - группа типа (4).
Достаточность очевидна. Лемма доказана.
Поскольку в любой нильпотентной группе максимальная подгруппа нормальна, то все они перестановочны со всеми -максимальными подгруппами группы . Опишем теперь ненильпотентные группы, у которых каждая максимальная подгруппа перестановочна со всеми -максимальными подруппами.
[4.2]. В ненильпотентной группе каждая ее максимальная подгруппа перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы тогда и только тогда, когда либо где - различные простые числа и либо - группа типа (2) из теоремы , либо - сверхразрешимая группа одного из следующих типов:
(1) ,
где - группа простого порядка , а - такая бипримарная группа с циклическими силовскими подгруппами, что , где и ;
(2) ,
где - группа простого порядка , - циклическая -группа с () и ;
(3) ,
где - группа простого порядка , - -группа с (), и все максимальные подгруппы в , отличные от , цикличны.
Доказательство. Необходимость.
Пусть - группа, в которой каждая максимальная подгруппа перестановочна с любой -максимальной подгруппой группы .
Поскольку - ненильпотентная группа, то в ней существует максимальная подгруппа , которая не является нормальной в . Тогда . Следовательно, - примитивная группа, которая удовлетворяет условиям леммы .
I. Пусть , где и - простые числа (не обязательно различные). Ввиду леммы , и .
Так как , то содержится в некоторой максимальной подгруппе группы . Пусть - произвольная максимальная подгруппа группы и - максимальная подгруппа группы . Ясно, что - -максимальная подгруппа группы . Следовательно, для любого подгруппы и перестановочны. Это означает, что . Поскольку , то либо , либо . Ясно, что первый случай не возможен. Следовательно, - единственная максимальная подгруппа группы , и поэтому - примарная циклическая группа. Ввиду произвольного выбора , - примарная циклическая группа.
Пусть . Тогда для некоторого . Пусть - силовская -подгруппа группы , - силовская -подгруппа группы и - силовская -подгруппа группы . Так как
,
то - группа порядка и . Из того, что факторгруппа сверхразрешима и подгруппа циклическая, следует, что - сверхразрешимая группа. Допустим, что - наибольший простой делитель порядка группы . Тогда и поэтому . Значит, и , противоречие. Если - наибольший простой делитель порядка группы , то рассуждая как выше видим, что и . Полученное противоречие показывает, что - наибольший простой делитель порядка группы . Значит, - нормальная подгруппа в группе . Если , то и , где - группа порядка , - -группа. Ясно, что - единственная -максимальная подгруппа в . Поскольку - неприводимая абелева группа автоморфизмов группы , то