Xreferat.com » Рефераты по математике » Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами

Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами

alt="" width="89" height="23" border="0" />, где  и  - различые простые числа. Более того, мы теперь уже можем предполагать, что индекс любой максимальной в  подгруппы есть простое число. Это означает, что группа  сверхразрешима, что в свою очередь влечет сверхразрешимость подгруппы . Пусть  - произвольная максимальная подгруппа группы , отличная от . Рассуждая как выше видим, что  - примарная циклическая подгруппа и поэтому  для некоторых  и . Следовательно, . Пусть  - силовская -подгруппа группы , пусть  - силовская -подгруппа группы , которая содержится в  и пусть  - силовская -подгруппа группы , которая содержится в . Если  - нормальная подгруппа группы , то . Полученное противоречие показывает, что  не является нормальной подгруппой группы .

Допустим, что . Тогда  - силовская -подгруппа группы  и . Из сверхразрешимости группы  следует, что  - нормальная подгруппа группы . Значит, , где  - группа простого порядка . Ясно, что  и поэтому . Поскольку все максимальные подгруппы группы , отличные от , цикличны, то  - группа типа (3).

Пусть . Тогда  и  - нормальная подгруппа группы . Значит, . Так как  - максимальная подгруппа группы , то  - циклическая подгруппа и . Если , то . Если , то  - группа типа (1).

Пусть теперь,  - различные простые числа. Тогда  и . Если  - нормальная подгруппа группы , то  и поэтому  - группа типа (1). Пусть  не является нормальной подгруппой группы . Тогда  - наибольший простой делитель порядка группы  и поэтому  - нормальная подгруппа группы . Пусть  - максимальная подгруппа группы , такая что  и . Допустим, что  - нормальная подгруппа группы . Значит, в ней существует нормальная силовская подгруппа. Если , то  и поэтому  - нормальная подгруппа группы . Полученное противоречие показывает, что для некоторого ,  - нормальная подгруппа группы . Следовательно,  - нормальная подгруппа группы , противоречие. Значит,  не является нормальной подгруппой в группе . Рассуждая как выше видим, что у  все максимальные подгруппы отличные от  примарны и цикличны и . Значит,  - группа типа (1).

Достаточность. Если  и , то очевидно, что любая -максимальная погруппа группы  перестановочна с ее максимальными подгруппами.

Пусть  - группа Шмидта, где  - группа кватернионов порядка  и  - группа порядка . Ясно, что в группе  -максимальные подгруппы перестановочны со всеми максимальными подгруппами.

Предположим теперь, что  - группа типа (1)-(3). Пусть  - произвольная максимальная подгруппа группы  и  - -максимальная подгруппа группы . Докажем, что подгруппы  и  перестановочны.

Пусть  - группа типа (1). Пусть .

1. Пусть , где  - простое число, отличное от . Пусть  - силовская -подгруппа группы , которая содержится в . Тогда .

Допустим, что . Поскольку группа  сверхразрешима, то индекс  максимальной подгруппы  является простым числом.

Пусть . Тогда . Значит, . Поскольку

,

то  - максимальная в  подгруппа. Если , то  - примарная циклическая группа. Так как  делит , то ,  и поэтому для некоторого , . Полученное противоречие показывает, что . Это означает, что  - нормальная подгруппа в .

Допустим, что . Пусть . Тогда  - нормальная подгруппа в . Поскольку в  любая максимальная подгруппа индекса  совпадает с , то  - нормальная подгруппа в  и поэтому  перестановочна с .

Пусть теперь . Пусть  - силовская -подгруппа и  - силовская -подгруппа в  соответственно. Пусть . Тогда  и поэтому для некоторого , . Из того, что , следует, что  - максимальная подгруппа группы . С другой стороны,  - максимальная подгруппа циклической группы . Значит, . Отсюда следует, что  и поэтому  - нормальная подруппа в . Следовательно,  перестановочна с . Пусть . Тогда для некоторого , . Рассуждая как выше видим, что . Значит,  - нормальная подгруппа в . Поскольку

,

то . Это означает, что подгруппы  и  перестановочны. Пусть . Используя приведенные выше рассуждения видим, что  - нормальная подгруппа в . Поскольку , то  - нормальная подгруппа в . Следовательно, подгруппы  и  перестановочны. Пусть . Рассуждая как выше видим, что  - нормальная подгруппа в  и . Значит, . Следовательно, подгруппы  и  перестановочны. Пусть теперь . Поскольку , то  - нормальная подгруппа в . Пусть . Тогда , где . Пусть

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: