Xreferat.com » Рефераты по математике » Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами

Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами

height="17" border="0" />. Это влечет . Следовательно,  для некоторого . Значит,  - нормальная в  подгруппа и поэтому , противоречие. Лемма доказана.

Дополнением к теореме [2.2] является следующий факт.

[2.3]. Пусть  - группа,  - ее подгруппа Фиттинга. Если любая максимальная подгруппа группы  -перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы , то группа  разрешима и  для каждого простого .

Доказательство. Предположим, что теорема не верна, и пусть  - контрпример минимального порядка.

(1)  - непростая группа. Допустим, что . Поскольку ввиду леммы (3), условие теоремы выполняется для факторгруппы , то по выбору группы ,  разрешима и поэтому  - разрешимая группа. Полученное противоречие показывает, что  и, следовательно, любая максимальная подгруппа группы  перестановочна со всеми -максимальными подгруппами в .

Предположим, что все -максимальные подгруппы группы  единичны. Тогда порядок каждой -максимальной подгруппа группы  является делителем простого числа. Следовательно, любая максимальная подгруппа группы  либо нильпотентна (порядка  или ), либо является ненильпотентной подгруппой и имеет порядок . Значит, все максимальные подгруппы сверхразрешимы. Но ввиду теоремы , мы получаем, что  разрешима. Это противоречие показывает, что в группе  существует неединичная -максимальная подгруппа . Пусть  - максимальная подгруппа группы , содержащая . Тогда для любого , . Если , то ввиду леммы , . Полученное противоречие показывает, что . Тогда , что влечет . Следовательно,  - неединичная нормальная подгруппа в  и поэтому группа  непроста.

(2) Для любой неединичной нормальной в  подгруппы  факторгруппа  разрешима (это прямо вытекает из леммы (3)).

(3) Группа  имеет единственную минимальную нормальную подгруппу  и , где  - такая максимальная в  подгруппа, что .

Пусть  - произвольная минимальная нормальная подгруппа группы . Так как ввиду леммы , класс всех разрешимых групп c -длиной  образует насыщенную формацию, то  - единственная минимальная нормальная подгруппа в , причем . Пусть  - максимальная подгруппа группы  такая, что . Ясно, что . Поскольку  - единственная минимальная нормальная подгруппа в , то .

(4)  - разрешимая группа.

Допустим, что  - неразрешимая группа. Тогда  и по выбору группы  мы заключаем, что  - прямое произведение изоморфных простых неабелевых групп. Кроме того, и единичная подгруппа не содержится среди -максимальных подгрупп группы .

Пусть  - произвольная -максимальная подгруппа, содержащаяся в . Используя приведенные выше рассуждения, видим, что . Следовательно, порядок любой -максимальной подгруппы группы , содержащейся в , равен простому числу. Ввиду леммы ,  - разрешимая группа. Пусть  - максимальная подгруппа группы , содержащая . Так  - простое число, то либо , либо . Пусть имеет место первый случай. Тогда , и поскольку  - простое число, то  - максимальная подгруппа группы . Из того, что индекс  равен простому числу, следует, что  - максимальная подгруппа группы  и поэтому  - -максимальная подгруппа в . Так как  - неабелевая подгруппа, то в ней существует неединичная максимальная подгруппа . Понятно, что  - -максимальная подгруппа в  и поэтому по условию перестановочна с . В таком случае, . Но  - собственная подгруппа в  и поэтому . Это противоречие показывает, что . Следовательно, . Поскольку  - простое число, то  - максимальная подгруппа в . Из того, что группа  есть прямое произведение изоморфных простых неабелевых групп, следует, что в  имеется неединичная -максимальная подгруппа . Тогда  -максимальна в  и следовательно, . Таким образом . Это влечет . Полученное противоречие показывает, что  - разрешимая группа.

(5) Заключительное противоречие.

Из (3) и (4) следует, что  - элементарная абелева -группа для некоторого простого числа  и поэтому . Покажем, что  делит . Если  не делит , то  - -группа, и поэтому , что противоречит выбору группы . Итак,  делит . Ввиду леммы , .

Пусть  - произвольная максимальная в  подгруппа с индексом , где  и . Тогда , где  - силовская -подгруппа группы .

Предположим, что  не является нормальной в  подгруппой. Ясно, что  - максимальная в  подгруппа. Если  - нормальная подгруппа в , то . Значит,  не является нормальной подгруппой в . Пусть  - произвольная максимальная подгруппа группы . Тогда  - -максимальная в  подгруппа и поэтому  - -максимальная в  подгруппа для любого . Поскольку по условию  -перестановочна с подгруппой  и , то  перестановочна с подгруппой  и поэтому . Ясно, что  - -максимальная в  подгруппа. Так как  и  не является нормальной подгруппой в , то  и поэтому  - нормальная погруппа в . Следовательно,  - нормальная в  подгруппа. Это влечет, что . Ввиду произвольного выбора , получаем, что каждая максимальная подгруппа группы  нормальна в . Значит,  - нильпотентная группа и любая максимальная подгруппа в  нормальна в . Предположим, что . Поскольку  и  разрешима, то в группе

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: