Xreferat.com » Рефераты по математике » Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами

Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами

. Рассуждая как выше видим, что  - нормальная подгруппа в группе  и поэтому  - подгруппа группы . Используя приведенные выше рассуждения видим, что . Полученное противоречие с максимальностью подгруппы  показывает, что . Пусть  - максимальная подгруппа группы , такая что . Так как , то  - абелева и поэтому . Следовательно, . Так как , то . Из того, что

получаем, что , и поэтому  - нормальная подгруппа в группе .

Предположим, что в группе  существует подгруппа  порядка , отличная от . Из того, что порядок  следует, что  - максимальная подгруппа группы . Отсюда следует, что  - -максимальная подгруппа группы . Так как по условию подгруппы  и  перестановочны, то мы имеем

Следовательно,  - подгруппа группы , и поэтому

Это противоречие показывает, что в группе  существует единственная подгруппа порядка . Ввиду теоремы , группа  является либо группой кватернионов порядка , либо является циклической группой порядка . В первом случае, подгруппа  порядка  группы  содержится в центре  группы , и поэтому подгруппа  не является группой Шмидта, противоречие. Следовательно, мы имеем второй случай. Значит,  - циклическая подгруппа порядка . Понятно, что . Если , то подгруппа  нормальна в группе , и поэтому . Полученное противоречие показывает, что . Таким образом,  - группа типа (6). Пусть теперь . Если порядок , то , и поэтому  - группа типа (4). Предположим, что порядок . Пусть  - максимальная подгруппа группы  и  - максимальная подгруппа группы . Из того, что , следует, что  - неединичная подгруппа. Так как подгруппа  нильпотентна, то . Но как мы уже знаем,  - циклическая подгруппа и поэтому . Следовательно, . Пусть  - произвольная подгруппа порядка  группы . Ясно, что  - -максимальная подгруппа группы  и  - -максимальная подгруппа группы . Значит, по условию подгруппы  и  перестановочны. Так как  - абелева подгруппа, то  - нормальная подгруппа в группе . Заметим, что поскольку , то

является нормальной подгруппой в  и поэтому  - нормальная подгруппа в группе . Это означает, что  - группа типа (5).

II. .

Пусть  - некоторая силовская -подгруппа группы ,  - некоторая силовская -подгруппа группы  и  - некоторая силовская -подгруппа группы , где  - различные простые делители порядка группы . Пусть  - произвольная нормальная максимальная подгруппа группы . Так как  - разрешимая группа, то индекс подгруппы  в группе  равен некоторому простому числу. Пусть, например, индекс  равен . Ввиду следствия ,  - либо нильпотентная подгруппа, либо ненильпотентная группа порядка .

1. Предположим, что  - нильпотентная подгруппа. Пусть  - силовская -подгруппа группы ,  - силовская -подгруппа группы  и  - силовская -подгруппа группы . Тогда . Так как  и , то  и  - нормальные подгруппы в группе . Из того, что индекс подгруппы  равен , следует, что  и  - силовские подгруппы группы  и поэтому  и . Понятно, что для некоторого  имеет место  и поэтому, не теряя общности, мы можем полагать, что . Следовательно, . Ясно, что  не является нормальной подгруппой в группе .

Если подгруппы  и  нильпотентны, то  и , и поэтому  - нормальная подгруппа в группе . Значит, подгруппы  и  не могут быть обе нильпотентными подгруппами. Следовательно, возможны следующие случаи.

а)  и  - группы Шмидта.

Так как , то ввиду следствия ,  - подгруппа простого порядка  и  - циклическая подгруппа, которая не является нормальной в группе , но максимальная подгруппа  группы  нормальна в . Аналогично видим, что  - подгруппа простого порядка  и  - нормальная подгруппа в . Отсюда следует, что  - нормальная подгруппа в , и поэтому  является группой типа (7).

б) Одна из подгрупп ,  является нильпотентной, а другая - группой Шмидта.

Пусть например,  - группа Шмидта и  - нильпотентная подгруппа. Из следствия следует, что  - группа простого порядка ,  - циклическая группа и максимальная подгруппа  из  нормальна в . Так как  - нильпотентная группа, то . Из того, что  следует, что  - нормальная подгруппа в группе . Значит, ввиду леммы ,  - нормальная максимальная подгруппа в группе  и поэтому . Следовательно,  - группа простого порядка .

Из того, что  - нильпотентная подгруппа и  - циклическая группа следует, что  - нормальная подгруппа в . Следовательно,  - нормальная подгруппа в группе , т.е.  - группа типа (7).

2. Предположим теперь, что  - ненильпотентная группа.

Из следствия следует, что , где  - группа простого порядка  и  - циклическая группа, которая не является нормальной в группе , но максимальная подгруппа  из

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: