Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами
получаем, что , и поэтому - нормальная подгруппа в группе .
Предположим, что в группе существует подгруппа порядка , отличная от . Из того, что порядок следует, что - максимальная подгруппа группы . Отсюда следует, что - -максимальная подгруппа группы . Так как по условию подгруппы и перестановочны, то мы имеем
Следовательно, - подгруппа группы , и поэтому
Это противоречие показывает, что в группе существует единственная подгруппа порядка . Ввиду теоремы , группа является либо группой кватернионов порядка , либо является циклической группой порядка . В первом случае, подгруппа порядка группы содержится в центре группы , и поэтому подгруппа не является группой Шмидта, противоречие. Следовательно, мы имеем второй случай. Значит, - циклическая подгруппа порядка . Понятно, что . Если , то подгруппа нормальна в группе , и поэтому . Полученное противоречие показывает, что . Таким образом, - группа типа (6). Пусть теперь . Если порядок , то , и поэтому - группа типа (4). Предположим, что порядок . Пусть - максимальная подгруппа группы и - максимальная подгруппа группы . Из того, что , следует, что - неединичная подгруппа. Так как подгруппа нильпотентна, то . Но как мы уже знаем, - циклическая подгруппа и поэтому . Следовательно, . Пусть - произвольная подгруппа порядка группы . Ясно, что - -максимальная подгруппа группы и - -максимальная подгруппа группы . Значит, по условию подгруппы и перестановочны. Так как - абелева подгруппа, то - нормальная подгруппа в группе . Заметим, что поскольку , то
является нормальной подгруппой в и поэтому - нормальная подгруппа в группе . Это означает, что - группа типа (5).
II. .
Пусть - некоторая силовская -подгруппа группы , - некоторая силовская -подгруппа группы и - некоторая силовская -подгруппа группы , где - различные простые делители порядка группы . Пусть - произвольная нормальная максимальная подгруппа группы . Так как - разрешимая группа, то индекс подгруппы в группе равен некоторому простому числу. Пусть, например, индекс равен . Ввиду следствия , - либо нильпотентная подгруппа, либо ненильпотентная группа порядка .
1. Предположим, что - нильпотентная подгруппа. Пусть - силовская -подгруппа группы , - силовская -подгруппа группы и - силовская -подгруппа группы . Тогда . Так как и , то и - нормальные подгруппы в группе . Из того, что индекс подгруппы равен , следует, что и - силовские подгруппы группы и поэтому и . Понятно, что для некоторого имеет место и поэтому, не теряя общности, мы можем полагать, что . Следовательно, . Ясно, что не является нормальной подгруппой в группе .
Если подгруппы и нильпотентны, то и , и поэтому - нормальная подгруппа в группе . Значит, подгруппы и не могут быть обе нильпотентными подгруппами. Следовательно, возможны следующие случаи.
а) и - группы Шмидта.
Так как , то ввиду следствия , - подгруппа простого порядка и - циклическая подгруппа, которая не является нормальной в группе , но максимальная подгруппа группы нормальна в . Аналогично видим, что - подгруппа простого порядка и - нормальная подгруппа в . Отсюда следует, что - нормальная подгруппа в , и поэтому является группой типа (7).
б) Одна из подгрупп , является нильпотентной, а другая - группой Шмидта.
Пусть например, - группа Шмидта и - нильпотентная подгруппа. Из следствия следует, что - группа простого порядка , - циклическая группа и максимальная подгруппа из нормальна в . Так как - нильпотентная группа, то . Из того, что следует, что - нормальная подгруппа в группе . Значит, ввиду леммы , - нормальная максимальная подгруппа в группе и поэтому . Следовательно, - группа простого порядка .
Из того, что - нильпотентная подгруппа и - циклическая группа следует, что - нормальная подгруппа в . Следовательно, - нормальная подгруппа в группе , т.е. - группа типа (7).
2. Предположим теперь, что - ненильпотентная группа.
Из следствия следует, что , где - группа простого порядка и - циклическая группа, которая не является нормальной в группе , но максимальная подгруппа из