Xreferat.com » Рефераты по математике » Решение произвольных систем линейных уравнений

Решение произвольных систем линейных уравнений

Дисциплина: Высшая математика

Тема: Решение произвольных систем линейных уравнений


1. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений


Выше рассмотрены решения квадратных невырожденных систем линейных алгебраических уравнений матричным методом и методом Крамера. Однако они не пригодны в тех случаях, когда квадратная система уравнений вырождена или когда система вообще не является квадратной.

В связи с этим перейдем к рассмотрению систем линейных алгебраических уравнений общего вида, когда Решение произвольных систем линейных уравнений:


Решение произвольных систем линейных уравнений


В данном случае матрица системы является прямоугольной, у нее нет определителя, и метод Крамера для решения системы не применим. Поэтому, прежде чем решать данную систему, рассмотрим две теоремы.

Теорема 1.1. Если ранг матрицы совместной системы линейных алгебраических уравнений равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Доказательство. Если ранг матрицы системы равен Решение произвольных систем линейных уравнений, то есть числу неизвестных, то строк у матрицы должно быть тоже Решение произвольных систем линейных уравнений. Следовательно, Решение произвольных систем линейных уравнений. Итак, по условию Решение произвольных систем линейных уравнений. Но тогда любая, не входящая в базисный минор, строка расширенной матрицы является линейной комбинацией базисных строк и может быть обращена в ноль. То же самое происходит и с уравнением, соответствующим этой строке. Значит, исходная система эквивалентна Решение произвольных систем линейных уравнений уравнениям с коэффициентами из базисного минора. Остальные Решение произвольных систем линейных уравнений уравнений из системы можно убрать, так как они является линейной комбинацией оставшихся. Получаем квадратную невырожденную систему линейных алгебраических уравнений с Решение произвольных систем линейных уравнений неизвестными, которая согласно правилу Крамера имеет единственное решение, что и требовалось доказать.

Теорема 1.2. Если ранг матрицы совместной системы линейных алгебраических уравнений меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений.

Доказательство. По условию система совместна и Решение произвольных систем линейных уравнений. Будем считать, что базисный минор Решение произвольных систем линейных уравнений расположен в левом верхнем углу расширенной матрицы системы Решение произвольных систем линейных уравнений. Если это не так, то, переставляя строки и столбцы матрицы, можно получить нужный результат.

Минор будет иметь вид:


Решение произвольных систем линейных уравнений.


Так как любая строка матрицы Решение произвольных систем линейных уравнений, не вошедшая в базисный минор, является линейной комбинацией базисных, то ее можно обратить в ноль. Тогда, по аналогии с теоремой 1.1, из исходной системы можно убрать те уравнения, коэффициенты которых не попали в базисный минор. Следовательно, в ней останется Решение произвольных систем линейных уравнений линейных алгебраических уравнений и исходную систему можно записать в виде:


Решение произвольных систем линейных уравнений


или

Решение произвольных систем линейных уравнений


Придавая неизвестным Решение произвольных систем линейных уравнений произвольные значения Решение произвольных систем линейных уравнений, получаем систему из Решение произвольных систем линейных уравнений уравнений с Решение произвольных систем линейных уравнений неизвестными:


Решение произвольных систем линейных уравнений


Данная система является квадратной, ее определитель Решение произвольных систем линейных уравнений, поэтому с помощью метода Крамера находим единственное решение Решение произвольных систем линейных уравнений. Очевидно, задавая другие значения для Решение произвольных систем линейных уравнений, получим другие значения неизвестных Решение произвольных систем линейных уравнений.

Так как числа Решение произвольных систем линейных уравнений могут быть заданы произвольно, то число решений системы бесконечно. Какое-то одно решение будет иметь вид:


Решение произвольных систем линейных уравнений.


Неизвестные, коэффициенты при которых входят в базисный минор, называются базисными. Остальные неизвестные называются свободными.

2. Система однородных линейных алгебраических уравнений


Важное место среди всех систем линейных алгебраических уравнений занимают однородные системы с произвольными Решение произвольных систем линейных уравнений и Решение произвольных систем линейных уравнений:


Решение произвольных систем линейных уравнений


Данные системы всегда совместны, так как обязательно имеют решение вида Решение произвольных систем линейных уравнений, которое называется нулевым или тривиальным.

Если Решение произвольных систем линейных уравнений, то, согласно теореме 1.1, это решение будет единственным. В частности, в случае однородной невырожденной квадратной системы ее единственное решение будет тривиальным.

В случае, когда ранг матрицы системы меньше числа неизвестных, то решений, согласно теореме 1.2, будет бесконечное множество. Пусть в этом случае матрицы - столбцы Решение произвольных систем линейных уравнений, Решение произвольных систем линейных уравнений,..., Решение произвольных систем линейных уравнений являются некоторыми решениями системы:


Решение произвольных систем линейных уравнений, Решение произвольных систем линейных уравнений,..., Решение произвольных систем линейных уравнений.


Тогда выражение Решение произвольных систем линейных уравнений будет называться их линейной комбинацией. Очевидно, что можно ввести понятие линейно зависимой и линейно независимой системы этих решений. Необходимо иметь в виду, что линейная комбинация решений системы линейных алгебраических уравнений также будет ее решением. Действительно,


Решение произвольных систем линейных уравнений.


Теорема. Если ранг матрицы однородной системы линейных алгебраических уравнений меньше числа неизвестных, то есть Решение произвольных систем линейных уравнений, то существует Решение произвольных систем линейных уравнений линейно независимых решений системы Решение произвольных систем линейных уравнений, Решение произвольных систем линейных уравнений,..., Решение произвольных систем линейных уравнений, а любые другие решения можно представить как их линейную комбинацию.

Доказательство. Пусть ранг основной матрицы системы Решение произвольных систем линейных уравнений. Тогда базисными неизвестными будут Решение произвольных систем линейных уравнений, а остальные Решение произвольных систем линейных уравнений неизвестных будут свободными. В этом случае произвольное решение системы можно записать в виде:


Решение произвольных систем линейных уравнений.


Здесь Решение произвольных систем линейных уравнений – произвольные числа, а Решение произвольных систем линейных уравнений однозначно определяются из системы для выбранных Решение произвольных систем линейных уравнений.

Рассмотрим Решение произвольных систем линейных уравнений следующих решений системы:

Решение произвольных систем линейных уравнений, Решение произвольных систем линейных уравнений,..., Решение произвольных систем линейных уравнений.


По аналогии с результатом п. 6.3 все они линейно независимы, и произвольное решение системы можно представить в виде:


Решение произвольных систем линейных уравнений,


что и требовалось доказать.

Определение. Фундаментальной системой решений однородной системы линейных алгебраических уравнений называется совокупность всех ее линейно независимых решений.

Если в фундаментальной системе решений свободные неизвестные по очереди выражаются через единицу, в то время как остальные равны нулю, то такая фундаментальная система решений называется нормированной.


3. Метод Гаусса


Для решения произвольных однородных систем линейных алгебраических уравнений удобен метод Гаусса. Основан он на следующем.

При вычислении ранга расширенной матрицы системы линейных алгебраических уравнений с помощью элементарных преобразований ее приводят к трапецеидальному виду:


Решение произвольных систем линейных уравнений.


Но если исходная матрица соответствует исходной системе уравнений, то трапецеидальная матрица будет соответствовать той же системе, но в измененном виде.

Особенность трапецеидальной матрицы заключается в том, что каждая ее последующая строка имеет на один ноль больше и, соответственно, на один коэффициент не равный нулю меньше. Строки, целиком состоящие из нулей, соответствуют исчезнувшим уравнениям. В последней строке будет один коэффициент не равный нулю и, значит, одна неизвестная в уравнении для определенной системы. В случае неопределенной системы в последнем уравнении будет одна базисная переменная и несколько свободных.

Находя эту базисную неизвестную из последнего уравнения, переходим затем к предпоследней строке и соответствующему ей уравнению и находим следующую базисную неизвестную. Эта операция повторяется до первой строки. После вычисления всех базисных неизвестных составляется нормированная фундаментальная система решений однородной системы линейных алгебраических уравнений.

4. Решение неоднородных систем линейных алгебраических уравнений


Выясним, чем отличается решение произвольной неоднородной системы алгебраических уравнений от решения однородной системы.

Определение. Однородная система линейных алгебраических уравнений называется соответствующей неоднородной системе, если коэффициенты при неизвестных у них одинаковые, а свободные члены неоднородной системы заменены нолями.

Рассмотрим произвольную совместную неоднородную систему линейных алгебраических уравнений:


Решение произвольных систем линейных уравнений


Пусть у нее в общем случае Решение произвольных систем линейных уравнений, то есть имеется бесконечное множество решений.

Теорема 4.1. Сумма любого решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений с любым решением соответствующей ей однородной системы является решением неоднородной системы.

Доказательство. Возьмем произвольное решение неоднородной системы


Решение произвольных систем линейных уравнений

и произвольное решение соответствующей ей однородной системы


Решение произвольных систем линейных уравнений.


Рассмотрим их сумму Решение произвольных систем линейных уравнений.

Если данная сумма является решением неоднородной системы, то она должна превратить в тождество любое ее уравнение:


Решение произвольных систем линейных уравнений


что и требовалось доказать.

Теорема 4.2. Разность любых двух решений неоднородной системы линейных алгебраических уравнений является решением соответствующей однородной системы.

Доказательство. Возьмем два произвольных решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений:


Решение произвольных систем линейных уравнений и Решение произвольных систем линейных уравнений.

Составим их разность Решение произвольных систем линейных уравнений.

Подставим полученную разность в любое уравнение неоднородной системы:


Решение произвольных систем линейных уравнений


Так как левая часть уравнения обратилась в ноль, значит, Решение произвольных систем линейных уравнений является решением однородной системы, что и требовалось доказать.

Из теоремы 4.2 следует, что если Решение произвольных систем линейных уравнений, то Решение произвольных систем линейных уравнений. Иначе говоря, взяв какое-то одно решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений Решение произвольных систем линейных уравнений и прибавляя к нему разные решения соответствующей однородной системы Решение произвольных систем линейных уравнений, получим разные решения неоднородной системы, что подтверждается теоремой 4.1.

Следствие. Общее решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений равно сумме какого-то частного ее решения и общего решения соответствующей однородной системы.


Литература


Краснов М. Вся высшая математика т.1 изд.2. Едиториал УРСС, 2003. – 328с.

Мироненко Е. С. Высшая математика. М: Высшая школа, 2002. – 109с.

Черненко В. Д. Высшая математика в примерах и задачах. В трех томах. ПОЛИТЕХНИКА, 2003.

Шипачев В. С. Высшая математика изд.7 Изд-во: ВЫСШАЯ ШКОЛА, 2005. – 479с.

14


Похожие рефераты: