Xreferat.com » Рефераты по математике » Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей

Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей

Размещено на /

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа № 4

Секция: математика


ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

по теме


Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей


Позолотина Наталья Андреевна, 9б класс,

МОУ СОШ №4 Центрального района.

224-49-85

Руководитель: Тропина Наталья Валерьяновна,

кандидат педагогических наук,

доцент кафедры математического анализа НГПУ.

(Работа выполнена в МОУ СОШ №4)


Новосибирск 2008

Содержание


Введение

1. Основные понятия и определения

2. Обоснование метода одномонотонных последовательностей для случая с произвольным числом переменных

2.1 Доказательство неравенств с минимальным числом переменных

2.2 Случай с двумя последовательностями из двух переменных

Упражнения

2.3 Случай с двумя последовательностями из трех переменных

Упражнения

2.4 Случай с двумя последовательностями из n переменных

Упражнения

2.5 Случай с n последовательностями из n переменных

Упражнения

Заключение

Список использованной литературы


Введение


В школьном курсе математике мы изучали доказательства неравенств в основном двумя способами:

сведение к очевидному с помощью равносильных преобразований;

графически (исследование свойств и построение графиков функции)

Не существует универсального способа доказательства всех неравенств, и более того, не существует конкретных указаний для выбора способа доказательства. Поэтому любой новый способ доказательства неравенств представляет особый интерес.

В данном работе мы рассмотрим один из таких способов: доказательство неравенств с помощью одномонотонных последовательностей.

Работа состоит из 2-х параграфов. В первом параграфе я объясняю основные определения, которые нам понадобятся для работы. Во втором параграфе находится основная работа с примерами и упражнениями.


1. Основные понятия и определения


В данном параграфе мы рассмотрим основные понятия и определения, которые нам понадобятся для дальнейшей работы.

Определение 1. Множество – это совокупность, собрание, набор некоторых объектов по какому – либо общему для них признаку.

Определение 2. Натуральные числа N – это целые положительные числа 1, 2, 3, 4, 5,…

Определение 3. Целые числа Z – это числа 0, +1, +2, +3, +4, +5…:


Z = N Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей -N Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей {0}


Определение 4. Рациональные числа Q – это числа представимые обычными дробями в виде Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей, где m є Z , n є N (или конечными, или бесконечными периодичными дробными).

Определение 5. Иррациональные числа I – это числа, представимые бесконечными непериодическими десятичными дробями и непредставимые в виде Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей.

Определение 6. Вещественные (действительные) числа R – объединение множества рациональных и иррациональных чисел.


R=Q Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей I


Определения 7. Неравенство – соотношение между величинами, показывающее, что одна величина больше или меньше другой.

Например: Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей, Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей

Известно, что все неравенства подчиняются определенным свойствам, таким как:

а) a<b, b<cДоказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностейa<c

b) aДоказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностейb, bДоказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностейaДоказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностейa=b

c) aДоказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностейb Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностейa+cДоказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностейb+c

d) aДоказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей0Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей -aДоказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей0


Определения 8. Доказать неравенство – установить истинность неравенства.

Неравенства бывают разными: с одной, двумя и более переменными, со степенями. Ля каждого неравенства существует свой способ доказательств. Мы рассмотрим еще один способ: через одномонотонные последовательности.

Определение 9. Следствие – из двух неравенств одно является следствием другого, если область истинности второго неравенства содержит в себе область истинности первого неравенства.

Обозначение: f1(x)>f2(x)Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностейц1(x)>ц2(x) – второе неравенство – следствие первого.

Определение 10. Два неравенства называются равносильными, если каждое из них является следствием другого. Иначе это можно сформулировать так: два неравенства считаются равносильными, если их множества значений переменных, для которых они истинны, совпадают.

Обозначаются равносильные неравенства: f1(x)>f2(x)Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностейц1(x)>ц2(x)

Эти определения аналогичны соответствующим определениям для уравнений. Как и для уравнений, можно сформулировать утверждения о действиях, преобразующих данное неравенство в равносильное ему. Такими действиями могут быть:

– прибавление к обеим частям неравенства одного слагаемого;

– перенос слагаемого с противоположным знаком из одной части неравенства в другую;

– умножение обеих частей на положительное число или положительную функцию и т.д.

Следует, однако, производя эти действия, следить, чтобы не изменилась область допустимых значений, так как иначе будет нарушена равносильность этих неравенств.

Определение 11. Метода математической индукции – метод доказательства неравенств, путем схожести доказательств от самого легкого к самому сложному.

Например, Р(n) – некоторое утверждение, зависимое от n є N

Проверяем правдивость Р(1)

Предполагаем, что P(k) истинно

Доказываем истинность Р(k+1)

4) Заключаем, что Р(n) истинно для любых n.

Определение 12. Одномонотонные последовательности – это последовательности чисел вида (а1 а2 … аn)(b1 b2 … bn) записанных в виде таблицы, где наибольшее из чисел а1 а2 … аn находится над наибольшим числом из чисел b1 b2 … bn и второе по величине из чисел а1 а2 … аn над вторым по величине из чисел b1 b2 … bn и т.д., другими словами обе последовательности одновременно возрастающие или одновременно убывающие.

Определение 13. Произведение одномонотонных последовательностей (а1, а2, …аn), (b 1, b2,…bn), …( d 1, d 2,…, d n) это число вида


Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей= а1b1…d1+а2b2…d2+ …+anbn…dn


2. Обоснование метода одномонотонных последовательностей для случая с произвольным числом переменных


Данный параграф разбит на пункты, в которых мы попробуем прийти к самому общему доказательству, для случая k последовательностей с n числом переменных, с помощью метода математической индукции.


2.1 Доказательство неравенств с минимальным числом переменных


а1*b1 – неравенство с минимальным числом переменных. Тогда


Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей= a1b1.


Так как это неравенство минимальное из всех существующих, то сравнивать с похожим неравенством его просто невозможно.


Случай с двумя последовательностями из двух переменных

Если Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей= a1b1. то Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей=а1b1+а2b2


Теорема 1. Пусть (а1а2)Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей(b1b2) – одномонотонные последовательности. Тогда


Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностейДоказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностейДоказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей

Доказательство

Действительно,


Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностейДоказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей=a1b1+a2b2-a1b2-a2b1 = (a1-a2) Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей(b1-b2)


Так как последовательности (а1а2)(b1b2) одномонотонны, то числа a1-a2 и b1-b2 имеют одинаковый знак. Поэтому


(a1-a2)Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей(b1-b2) Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей 0.


Теорема доказана.


Упражнения

Данные ниже упражнения мы решим с помощью Теоремы 1

Упражнение №1.

Пусть a и b – положительные вещественные числа.

Доказать неравенство


a3 +b3 Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей a2b+b2a.


Доказательство.

Заметим, прежде всего, что


a3 +b3 =Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей, a2b+b2a = Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей


А так как последовательности (a2, b2), (a, b) одномонотонны, то

Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностейДоказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностейДоказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей


А это значит, что a3 +b3 Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей a2b+b2a.

Что и требовалось доказать.

Докажем это же неравенство, но другим способом.


Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей


Значит a3 +b3 Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей a2b+b2a.


Что и требовалось доказать.


Мы не можем сказать какой из методов доказательства решения легче, так как в данном случае оба метода решения неравенства примерно одинаковые по сложности.

Упражнение №2.

Пусть a и b – положительные вещественные числа.

Доказать неравенство.


Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностейа2+b2.


Доказательство.

Заметим, прежде всего, что


а2+b2 =Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей, Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностейДоказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей,


А так как последовательности (Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей), (Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей) одномонотонны, то


Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностейДоказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностейДоказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей.


Что и требовалось доказать.


2.3 Случай с двумя последовательностями из трех переменных


Рассмотрим последовательность (а1,а2,а3) и (b 1, b2,b3), и запишем в виде таблицы


Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей


Если последовательность (а1,а2,а3)Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей(b1, b2 ,b3) записанных в виде таблицы, где наибольшее из чисел а1,а2,а3 находиться над наибольшим из чисел b 1,b2,b3, а второе по величине а1,а2,а3 находиться над вторым по величине из чисел b 1,b2,b3 , и где наименьшее из чисел а1,а2,а3 находиться над наименьшим из чисел b 1,b2,b3 то последовательность одномонотонная.


Если Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей=a1b1, и Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей=а1b1+а2b2, то Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей=а1b1+а2b2+a3b3

Для доказательства следующих теорем нам понадобится одно свойство одномонотонных последовательностей, которое оформим в виде леммы.

Лемма. Если (а1, а2, …аn) и (b 1, b2,…bn) одномонотонные последовательности, то их произведение не изменится при перестановки местами столбцов.

Доказательство.

Рассмотрим последовательность с двумя переменными из двух переменных.


Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей=а1b1+а2b2.


Заметим, что а1b1+а2b2 = а2b2+ а1b1 по переместительному свойству сложения. Значит, в самой таблице мы тоже можем переставлять столбцы переменных, при этом сохраняется одномонотонность последовательности. То есть


Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей=Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей


Теперь рассмотрим последовательность с двумя последовательностями из трех переменных.


Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей=а1b1+а2b2+a3b3.


Кроме того, что мы можем поменять переменные по переместительному свойству, а по сочетательному свойству мы можем объединять некоторые слагаемые, сохраняя одномонотонность последовательности. То есть


а1b1+а2b2+a3b3= (a3b3+а2b2)+ а1b1 =Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей


Лемма доказана

Теорема 2. Пусть (а1 а2 а3), (b1 b2 b3) – одномонотонные последовательности и (Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей)(здесь и в дальнейшем) любая перестановка чисел b1 b2 b3. Тогда


Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностейДоказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей .


Доказательство.

Действительно, если последовательность Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей отличается от (b1 b2 b3) то найдется пара чисел k, l (1Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностейk<lДоказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей3) такая, что последовательности (ak, al) и (bk, bl) не одномонотонны. Значит, поменяв местами числа Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей и Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей, мы увеличим всю сумму, а значит и всю сумму Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей. То есть


Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей, так как Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей.


Очевидно, что за конечное число попарных перестановок элементов 2-ой строки можно получить одномонотонную последовательность.

Теорема доказана

Упражнения

Данные ниже упражнения мы решим с помощью Теоремы 2

Упражнение №1.

Пусть a и b и c – положительные вещественные числа.

Докажите неравенство.


a3+b3+c3Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностейa2b+b2c+c2a.


Доказательство.

Заметим, прежде всего, что


a3+b3+c3=Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей, a2b+b2c+c2a = Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей


А так как последовательности (a2, b2, c2), (a, b , c) одномонотонны, то


Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностейДоказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностейДоказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей.


А это значит, что a3+b3+c3Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностейa2b+b2c+c2a.

Что и требовалось доказать.

Упражнение №2.

Пусть a и b и c – положительные вещественные числа.

Докажите неравенство.


Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей.


Доказательство.

Заметим, прежде всего, что


Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей


и (a, b, c) и (Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей) одномонотонные последовательности, то


Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей,

Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей.


Складывая эти неравенства, мы получаем


Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей.


Отделим дроби с одинаковым знаменателем в правой части


Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей.


Вычислив, получаем


Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностейДоказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностейДоказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей.

А это значит, что Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей

Что и требовалось доказать


2.4 Случай с двумя последовательностями из n переменных


Рассмотрим одномонотонные последовательность (а1, а2, …аn) и (b 1, b2,…bn)

Если Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей=a1b1, и Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей=а1b1+а2b2, то Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей=а1b1+а2b2…anbn


Теорема 3. Пусть (а1 а2 … аn), (b1 b2 … bn) – одномонотонные последовательности и (Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей)перестановка чисел b1 b2 … bn. Тогда


Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностейДоказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностейДоказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей .


Доказательство.

Действительно, если последовательность (Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей) отличается от (b1 b2 … bn) то найдется пара чисел k, l (1Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностейk<lДоказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностейn) такая, что последовательности (ak, al) и (bk, bl) не одномонотонны. Значит, поменяв местами числа и Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей и Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей, мы увеличим всю сумму, а значит и всю сумму Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей. То есть


Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей,

так как

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: