Дифференциальная геометрия
Теорема. Размерность дифференциальных форм степени k равна .
Rot(¦):=; Div(¦ ):=.
Градиентом внешней формы w наз. внешняя д.ф. dw, компоненты которой в локальной системе координат (x1,…,xn) имеют вид:
=. Grad(¦):=.
Градиент внешней формы линеен и обладает следующими свойствами:
1) d(w1Ùw2)=dw1Ùw2+w1 Ùdw2.
d(dw)=0.
Замкнутой внешней дифференциальной формой наз. внешняя д.ф. с нулевым градиентом.
Точной внешней дифференциальной формой наз. внешняя д.ф. , если ее можно представить в виде градиента некоторой дифференциальной формы.
Носителем дифференциальной формы наз. Замыкание множества, на котором дифференциальная форма отлична от нуля.
Сосредоточенной , относительно заданной точки, дифференциальной формой наз. такая д.ф., что она отлична от нуля в достаточно малой окрестности заданной точки.
Ограничением дифференциальной формы по отношению к мн-зию М наз. такая д.ф. над подмн-зием К мн-зия М, что она тождественно равна исходной дифференциальной форме на подмн-зии К и нулю вне его.
Продолжением дифференциальной формы по отношению к подмн-зию К мн-зия М, наз. такая д.ф. над мн-зием М что она тождественно равна исходной дифференциальной форме на подмн-зии К.
Теорема. Пусть y - отображение из мн-я M в мн-е N, пусть y* - отображение диф. форм из M в N, тогда
.
dy*(w)= y*(dw).
Сл-е. Замкнутость и точность диф. форм - инвариант.
Интегралом диф. формы w по карте D ориентируемого мн-ия M называется выражение , где Sx ровно знаку ориентации карты D.
Утверждение. Для интегрируемой ф-ии ¦ найдется такая диф. форма w=Sx¦(x), где Sx ровно знаку ориентации карты D, а G – метрика, что их интегралы равны.
Формула Стокса. Для ориентируемого многообразия с краем M и диф. формы w .
Группой когомологий де Рама наз. фактор - пр-во замкнутых внешних дифференциальных форм степени k по подпространству точных форм размерности k мн-зия M и обозначается через Hk(M) или (M) если носителем дифференциальной формы является компакт. Всякая точная форма является замкнутой, так как d(dw ‘) = dd(w¢)=0.
Кольцо всех замкнутых внешних дифференциальных форм произвольной степени мн-я M обозначается через H*(M).
Обратным образом ¦*(w) внешней дифференциальной формы w на M2 наз. такая внешняя д.ф. на мн-зии M1, задаваемое формулой: ¦*(x1,…,xk)=w(d¦(x1),…,d¦(xk)), где x1,…,xk принадлежат касательному пространству точки Р из M2 и являются образами отображения ¦, где ¦ - гладкое отображение мн-зий .
Теорема. Группы когомологий де Рама гомотопных мн-й изоморфны.
Производной вдоль кривой g наз. выражение: Ñg =xkÑk(), где
g(t) – поле скоростей с координатами {xk} в некоторой системе координат и Ñ - аффинная связность на Mn, задаваемая в системе координат набором частных дифференцирований Ñk.
Уравнением параллельного переноса наз. уравнение
=0.
Геодезической в данной связности Ñ наз. гладкая кривая на мн-зии Mn c аффинной связностью Ñ, если (g)=0, где - векторное поле скоростей траектории g(t).
Теорема. Геодезическая в данной связности Ñ задается уравнением =0.
Теорема. Геодезическими линиями римановой связности на сфере со стандартной метрикой являются все центральные плоские сечения сферы и только они.
Теорема. Геодезическими линиями римановой связности на псевдосфере в модели Пуанкаре со стандартной метрикой являются все дуги окружностей выходящих на абсолют под прямым углом и только они.
Теорема. Локально существует единственная геодезическая кривая, проходящая через заданную точку.
Лагранжианом называют функцию , зависящую от трех групп переменных 1£b£n, 1£a£n, 1£i£k.
Стационарной для функционала J называется такая ф-я ¦, что по любому направлению h .
Системой функциональных уравнений Эйлера называется система .
Теорема. Функция ¦ является экстремальной для функционала J титт, когда она удовлетворяет системе ф. ур-й Эйлера.
Теорема. Пусть дана кривая g и функционал . Тогда экстремалями функционала E являются геодезические траектории g(t), параметризованные параметром, пропорциональным натуральному.
Теорема. Функция ¦ является экстремальной для функционала J титт, когда она удовлетворяет системе ф. ур-й Эйлера.
Теорема. Пусть дана кривая g и функционал . Тогда экстремалями функционала L являются траектории получающиеся из геодезических путем гладких замен параметров на них.