Xreferat.com » Рефераты по математике » Дифференциальная геометрия

Дифференциальная геометрия

от нуля во всех точках    мн-я.

Теорема. Размерность дифференциальных форм степени k равна Дифференциальная геометрия.

Rot(¦):=Дифференциальная геометрия; Div(¦ ):=Дифференциальная геометрия.

Градиентом внешней формы w наз. внешняя д.ф. dw, компоненты которой в локальной системе координат (x1,…,xn) имеют вид:

Дифференциальная геометрия=Дифференциальная геометрия. Grad(¦):=Дифференциальная геометрия.

Градиент внешней формы линеен и обладает следующими свойствами:

1) d(w1Ùw2)=dw1Ùw2+Дифференциальная геометрияw1 Ùdw2.

d(dw)=0.

Замкнутой внешней дифференциальной формой наз. внешняя д.ф. с нулевым градиентом.

Точной внешней дифференциальной формой наз. внешняя д.ф. , если ее можно представить в виде градиента некоторой дифференциальной формы.

Носителем дифференциальной формы наз. Замыкание множества,  на котором дифференциальная  форма отлична от нуля.

Сосредоточенной , относительно заданной точки, дифференциальной формой  наз. такая д.ф., что  она отлична от нуля в достаточно малой окрестности заданной точки.

Ограничением дифференциальной формы по отношению к мн-зию М наз. такая д.ф. над подмн-зием К мн-зия М, что она тождественно равна исходной дифференциальной форме на подмн-зии К и нулю вне его.

Продолжением дифференциальной формы по отношению к подмн-зию К мн-зия М, наз. такая д.ф. над мн-зием М что она тождественно равна исходной дифференциальной форме на подмн-зии К.

Теорема. Пусть y - отображение из мн-я M в мн-е N, пусть y* - отображение диф. форм из M в N, тогда

Дифференциальная геометрия.

dy*(w)= y*(dw).

Сл-е. Замкнутость и точность диф. форм  - инвариант.

Интегралом диф. формы w по карте D ориентируемого мн-ия M  называется выражение Дифференциальная геометрия, где Sx ровно знаку ориентации карты D.

Утверждение. Для интегрируемой ф-ии ¦ найдется такая диф. форма w=Sx¦(x)Дифференциальная геометрия, где  Sx ровно знаку ориентации карты D, а G – метрика, что их интегралы равны.

Формула Стокса. Для ориентируемого многообразия с краем M и диф. формы w Дифференциальная геометрия.

Группой когомологий де Рама наз. фактор - пр-во замкнутых внешних дифференциальных форм степени k по подпространству точных форм размерности k мн-зия M и обозначается через Hk(M) или Дифференциальная геометрия(M) если носителем дифференциальной формы является компакт. Всякая точная форма является замкнутой, так как    d(dw ‘) = dd(w¢)=0.

Кольцо всех замкнутых внешних дифференциальных форм произвольной степени мн-я M обозначается через H*(M).

Обратным образом ¦*(w) внешней дифференциальной формы w на M2  наз. такая внешняя д.ф. на мн-зии M1, задаваемое формулой: ¦*(x1,…,xk)=w(d¦(x1),…,d¦(xk)), где x1,…,xk принадлежат касательному пространству точки Р из M2  и являются образами  отображения ¦, где ¦ - гладкое отображение мн-зий .

Теорема. Группы когомологий де Рама гомотопных мн-й изоморфны.

Производной вдоль кривой g наз. выражение: Ñg Дифференциальная геометрия=xkÑk(Дифференциальная геометрия), где

g(t) – поле скоростей с координатами {xk} в некоторой системе координат и Ñ - аффинная связность на Mn, задаваемая в системе координат набором частных дифференцирований Ñk.

Уравнением параллельного переноса наз. уравнение

Дифференциальная геометрия=0.

Геодезической в данной связности Ñ наз. гладкая кривая на мн-зии Mn c аффинной связностью Ñ, если  Дифференциальная геометрия(g)=0, где Дифференциальная геометрия  - векторное поле скоростей траектории g(t).

Теорема. Геодезическая в данной связности Ñ задается уравнением Дифференциальная геометрия=0.

Теорема. Геодезическими линиями римановой связности на сфере со стандартной метрикой являются все центральные плоские сечения сферы и только они.

Теорема. Геодезическими линиями римановой связности на псевдосфере в модели Пуанкаре  со стандартной метрикой являются все дуги окружностей выходящих на абсолют под прямым углом и только они.

Теорема. Локально существует единственная геодезическая кривая, проходящая через заданную точку.

Лагранжианом называют функцию Дифференциальная геометрия, зависящую от трех групп переменных 1£b£n, 1£a£n, 1£i£k.

Стационарной для функционала J называется такая ф-я ¦, что по любому направлению h Дифференциальная геометрия.

Системой функциональных уравнений Эйлера называется система Дифференциальная геометрия.

Теорема. Функция ¦ является экстремальной для функционала J титт, когда она удовлетворяет системе ф. ур-й Эйлера.

Теорема. Пусть дана кривая g и функционал Дифференциальная геометрия. Тогда экстремалями функционала E являются геодезические траектории g(t), параметризованные параметром, пропорциональным натуральному.

Теорема. Функция ¦ является экстремальной для функционала J титт, когда она удовлетворяет системе ф. ур-й Эйлера.

Теорема. Пусть дана кривая g и функционал Дифференциальная геометрия. Тогда экстремалями функционала L являются траектории  получающиеся из геодезических путем гладких замен параметров на них.

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: