Xreferat.com » Рефераты по математике » Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений

Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений

Содержание


Введение

§1. Оригиналы и изображения функций по Лапласу

§2. Основные теоремы операционного исчисления

2.1 Свертка оригиналов.

2.1 Свойство линейности.

2.2 Теорема подобия.

2.3 Теорема запаздывания.

2.4 Теорема смещения.

2.5 Теорема упреждения.

2.6 Умножение оригиналов

2.7 Дифференцирование оригинала

2.8 Дифференцирование изображения

2.9 Интегрирование оригинала

2.10 Интегрирование изображения

§3. Изображения простейших функций

§4. Отыскание оригинала по изображению

4.1 Разложение на простейшие дроби.

4.2. Первая теорема разложения

§5 Решение задачи Коши для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Приложение

Введение


Операционное исчисление в настоящее время стало одной из важнейших глав практического математического анализа. Операционный метод непосредственно используется при решении обыкновенных дифференциальных уравнений и систем таких уравнений; его можно использовать и при решении дифференциальных уравнений в частных производных.

Основателями символического (операционного) исчисления считают русских ученых М. Е. Ващенко – Захарченко и А. В. Летникова.

Операционное исчисление обратило на себя внимание после того, как английский инженер-электрик Хевисайд, используя символическое исчисление, получил ряд важных результатов. Но недоверие к символическому исчислению сохранялось до тех пор, пока Джорджи, Бромвич, Карсон, А. М. Эфрос, А. И. Лурье, В. А. Диткин и другие не установили связи операционного исчисления с интегральными преобразованиями.

Идея решения дифференциального уравнения операционным методом состоит в том, что от дифференциального уравнения относительно искомой функции-оригинала f(t) переходят к уравнению относительно другой функции F(p), называемой изображением f(t). Полученное (операционное) уравнение обычно уже алгебраическое (значит более простое по сравнению с исходным). Решая его относительно изображения F(p) и переходя затем к соответствующему оригиналу, находят искомое решение данного дифференциального уравнения.

Операционный метод решения дифференциальных уравнений можно сравнить с вычислением различных выражений при помощи логарифмов, когда, например, при умножении вычисления ведутся не над самими числами, а над их логарифмами, что приводит к замене умножения более простой операцией – сложением.

Так же как и при логарифмировании, при использовании операционного метода нужны:

таблица оригиналов и соответствующих им изображений;

знание правил выполнения операций над изображением, соответствующих действиям, производимым над оригиналом.

§1. Оригиналы и изображения функций по Лапласу


Определение 1. Будем действительную функцию действительного аргумента f(t) называть оригиналом, если она удовлетворяет трем требованиям:

1) f (t) 0 , при t 0

2) f(t) возрастает не быстрее некоторой показательной функции Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений, при t 0 , где M 0, s0 0 — некоторые действительные постоянные, s0 называют показателем роста функции f(t).

3) На любом конечном отрезке a, bположительной полуоси Ot функция f(t) удовлетворяет условиям Дирихле, т.е.

a) ограничена,

b) либо непрерывна, либо имеет лишь конечное число точек разрыва I рода,

c) имеет конечное число экстремумов.

Функции, удовлетворяющие этим трем требованиям, называются в операционном исчислении изображаемыми по Лапласу или оригиналами.

Простейшим оригиналом является единичная функция Хевисайда

Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений

Если функция Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений удовлетворяет условию 2 и не удовлетворяет 1, то произведениеПрименение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений будет удовлетворять и условию 1, т.е. будет оригиналом. Для упрощения записи будем, как правило, множитель H (t) опускать, считая, что все рассматриваемые функции равны нулю при отрицательных значениях t.

Интегралом Лапласа для оригинала f(t) называется несобственный интеграл вида

Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений,

где Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений – комплексный параметр.


Теорема.

Интеграл Лапласа абсолютно сходится в полуплоскости Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений(то есть изображение F(p) заведомо определено при Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений), где s0 – показатель роста f (t).

∆ При Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравненийполучаем:

Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений , но по свойству модулей Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений.

Заметим, что по определению оригинала Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений

Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений.

Вычислим этот интеграл:

Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений

То есть получаем что F(p) существует при Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений

Замечание. Из доказательства теоремы следует оценка:

Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений

при Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений

Определение 2. Изображением по Лапласу функции f (t) называется функция комплексного переменного p = s + iσ, определяемая соотношением

Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений (1)

Тот факт, что функция F(t) является изображением оригинала f (t), символически это записывается так:

Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений или Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений (2)

§2. Основные теоремы операционного исчисления


2.1 Свертка оригиналов.


Сверткой оригиналов Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений и Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений называется функция

Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений.

Функции f (t) и g(t) называются компонентами свертки.

Найдем для примера свертку произвольного оригинала Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений и единичной функции Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений Имеем Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений.

Так как Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений при Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений то

Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений. (2.1.1)


Теорема 1. Если Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений иПрименение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений, то

Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений.

Действительно, по определению интеграла Лапласа имеем

Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений

Воспользуемся определением свертки:

Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений

Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений

Изменив порядок интегрирования в двойном интеграле, получим

Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений.

Введем вместо t новую переменную Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений. Тогда

Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений

что и требовалось доказать. ▲


Свойство линейности.

Для любых комплексных постоянных и :

Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений

Это свойство вытекает из свойства линейности интеграла.

Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений

Домножим равенство Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений на α: Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений

Так как Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений, то Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений, то есть

Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений

2.2 Теорема подобия.


Для любого постоянного a> 0:

Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений

Умножение аргумента оригинала на положительное число  приводит к делению изображения и его аргумента на это число .

Положим αt=u. Тогда Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений.

Таким образом, при t=0 получаем u=0, при Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений получаем Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений и

Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений

Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений


2.3 Теорема запаздывания.


Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений для t>τ>0

Таким образом, запаздывание аргумента оригинала на положительную величину приводит к умножению изображения оригинала без запаздывания F(p) на ept.


2.4 Теорема смещения.

Для a >0 имеет место соотношение:

Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений

Из определения изображения имеем:

Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений


2.5 Теорема упреждения.


При а > 0 имеет место соотношение:

Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений


2.6 Умножение оригиналов


Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений


2.7 Дифференцирование оригинала


Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений

Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений

Если Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравненийи Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений – оригиналы и Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений, то

Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений (2.7.1)

В самом деле, исходя из формулы Ньютона – Лейбница, в силу (2.1.1) будем иметь

Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений.

Тогда по теореме 1

Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений.

Отсюда Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений, что и требовалось доказать.

Применив формулу (2.7.1) дважды, получим

Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений

и т.д. В частности, если Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений, то Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений, т.е. в этом случае дифференцирование оригинала сводится к умножению его изображения на p.


2.8 Дифференцирование изображения


Если Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений, то Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений, то есть умножению оригинала на (-t) соответствует производная от изображения F(p).


Обобщение:

Путем последовательного дифференцирования по параметру p равенства Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений получим:

Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений


2.9 Интегрирование оригинала


Если Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений, то Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений, то есть интегрированию оригинала в пределах от 0 до t соответствует деление изображения на р.

Если f(t) принадлежит множеству оригиналов, то и Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравненийбудет принадлежать множеству оригиналов.

Пусть Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений и Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений. Из Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений видно, что

1) Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений

2) Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений.

Применим свойство дифференцирования оригинала к Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений, и в силу последних двух равенств получим

Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений,

А отсюда Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений.

Но, по условию теоремы, Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений. Следовательно, Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений или Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений.

А отсюда и из соотношений Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений и Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений следует, что Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений.


2.10 Интегрирование изображения


Если Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений и Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений принадлежит множеству оригиналов, то Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений.

§3. Изображения простейших функций


Единичная функция Хевисайда.

Имеем:

Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений

Так как при Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений, то Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений.

Для функции Хевисайда с запаздывающим аргументом Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравненийпо теореме запаздывания получим

Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений.

Экспонента. По теореме смещения

Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений.

Гиперболические и тригонометрические функции.

В силу линейности преобразования Лапласа имеем

Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений;

Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений;

Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений;

Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений

Степенная функция с натуральным показателем.

Положим Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений, где Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений. Тогда при Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений

Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений.

При Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений, поэтому

Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений

Отсюда

Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений.

Так как Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений, то

Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений

Полученные с помощью формулы (1) изображения некоторых функций сведены в таблицу (см. приложение). Ее можно использовать для нахождения изображений функций.

§4. Отыскание оригинала по изображению


Для нахождения оригинала f(t) по известному изображению F(p) нужно использовать формулы обращения Римана-Меллина

Применение операционного исчисления
										<div class=

Похожие рефераты: