Математические вычисления

ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ КОНСОРЦИУМ

СРЕДНЕРУССКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

НОУ ВПО ТУЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ И БИЗНЕСА

Контрольная работа

по курсу «Математика»

Выполнил студент В.В.Тюрин

Тула 2010

1. Задача 1

Для заданных двух множеств найти произведения и , изобразить их графически и найти пересечение

,

Решение

1.Определяем мощность декартового произведения:

2.Записываем декартовы произведения в виде явного перечисления:

3.Определяем пересечение множеств:

{Ш}

4.Изображаем элементы декартовых произведений АхВ и ВхА в виде точек декартовой плоскости (рис.1). Произведениями множеств являются

совокупности точек, обозначенные разными символами.

Рис. 4. Прямое A x B и обратного B x A произведения двух точечных множеств

Очевидно, что их пересечение пусто, что и соответствует аналитическому решению.

2. Задача 2

Вычислить предел функции с использованием основных теорем

Решение

3. Задача 3

Раскрытие неопределенности вида и с использованием правила Лопиталя

Решение

Неопределенность

4. Задача 4

Найти производную простой функции

Решение

Итак,

5. Задача 5

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на интервале

Решение

1. Находим первую производную заданной функции

2. Определяем критические точки первого рода:

или ,

Отсюда ,

3. Подвергаем эти точки дополнительному исследованию в табличной форме (таблица 1), учитывая, что заданная функция определена на участке числовой оси:

Таблица 1

Итак,

В данном случае один из глобальных экстремумов совпадает с одним из локальных экстремумов.

6. Задача 6

Вычислить неопределенный интеграл методом подстановки

Решение

Выполним подстановку:

Продифференцируем обе части уравнения:

=

7. Задача 7

Вычислить неопределенный интеграл от рациональной дроби

Решение

1. Найдем производную знаменателя:

2. Выделим в числителе выражение , для этого умножим знаменатель на 2 и умножим дробь на , чтобы значение дроби не изменилось, и вынесем за знак интеграла.

3. Запишем число , как , получим:

4. Разлагаем подынтегральное выражение на сумму элементарных дробей:

5. Вычислим интеграл , для этого выражение внесем под знак дифференциала. Интеграл принимает табличный вид:

6. Вычислим интеграл , для этого выделим в знаменателе полный квадрат.

Интеграл принимает табличный вид:

7. Записываем решение:

8. Задача 8

Вычислить определенный интеграл методом интегрирования по частям

Решение

9. Задача 9

По заданным координатам вершинам А, В, С треугольника определить его длины сторон, углы и площадь

А(-5; -5; 3);В(-4; 1; 1);С(1; 4; 0)

Решение

1. Записываем стороны треугольника в форме линейных разложений векторов и строим векторную схему треугольника (рис.1):

Рис. 2 Схема треугольника

2 Вычисляем длины сторон:

3. Определяем углы треугольника,

следовательно, =23.3o

следовательно, 25,4о

Угол по формуле .

Следовательно, ,

4. Проверяем достоверность вычисления углов треугольника

следовательно, все расчеты выполнены правильно.

5. Вычисляем площадь треугольника:

10. Задача 10

Найти для заданной матрицы присоединенную и обратную матрицы

Решение

Вычисляем определитель матрицы

Итак, матрица неособенная и для нее существует обратная матрица .

2. Вычисляем для всех элементов матрицы алгебраические дополнения:

3. Записываем присоединенную матрицу:

4. Вычисляем обратную матрицу

5. Проверяем достоверность вычисления обратной матрицы, умножая ее на исходную матрицу

=

Получили единичную матрицу, следовательно, задача решена верно.

11. Задача 11

Найти произведения и квадратных матриц и

Решение

Обе перемножаемые матрицы третьего порядка, поэтому умножение их всегда возможно по обычному правилу:

Находим прямое произведение матриц (умножение слева направо)

2. Находим обратное произведение матриц (умножение справа налево)

12. Задача 12

Найти произведение прямоугольных матриц

Решение

1. Сопоставляя размеры заданных матриц

,

устанавливаем, что эти прямоугольные матрицы можно перемножать, при этом результирующая матрица будет иметь размеры 3х1:

2. Находим прямое произведение матриц (умножение слева направо)

13. Задача 13

Решить систему линейных уравнений методами Гаусса, Крамера и в матричной форме

Решение

1. Решаем систему методом Крамера, учитывая, что в общем случае, решение методом Крамера имеет вид:

то есть решение сводится к вычислению четырех определителей третьего порядка.

2. Вычисляем определитель системы:

так как определитель системы , следовательно, система имеет решение и при этом одно.

3. Вычисляем остальные определители:

4. Вычисляем значения неизвестных:

Итак, решение системы имеет вид: (1, 2, 1).

2. Решение в матричной форме.

В общем случае решение СЛАУ в матричной форме имеет вид:

.

1. Записываем компоненты заданной СЛАУ в явном виде:

, ,

2. Вычисляем определитель матрицы :

Итак, матрица неособенная и для нее существует обратная матрица .

3. Вычисляем алгебраические дополнения для всех элементов матрицы:

4. Записываем присоединенную матрицу в явном виде:

5. Вычисляем обратную матрицу :

6. Проверяем достоверность вычисления обратной матрицы по условию:

Следовательно, обратная матрица вычислена верно.

7. Решаем заданную систему уравнений:

или (1, 2, 1).

3. Метод Гаусса

1. Запишем СЛАУ в виде матрицы, расширенной за счет элементов правой части ее:

Первую строку оставляем без изменения. Умножаем элементы первой строки на (-3) и прибавляем к соответствующим элементам второй строки. Получим:

Затем умножаем элементы первой строки на (-2) и прибавляем к соответствующим элементам третьей строки.

Умножаем элементы третьей строки на (-2) и прибавляем к соответствующим элементам второй строки.

Первую и вторую строки оставляем без изменения. Умножаем элементы второй строки на 3 и прибавляем к соответствующим элементам третьей строки. Получим:

Вычисляем значения переменных СЛАУ снизу вверх:

Итак, решение системы уравнений имеет вид:

, ,

или в краткой форме: (1,2,1).

14. Задача 14

Определить число элементарных событий и простых соединений

Сколько есть двузначных чисел, у которых обе цифры четные?

Решение

Всего четных цифр 4 (2,4,6,8), значит существует 4 способа выбора первой цифры двузначного числа и 4 способа выбора второй цифры. Так как выбор цифр осуществляется одновременно, по правилу произведения вычислим количество двузначных чисел, у которых обе цифры четные:

15. Задача 15

Вычислить вероятность события по классической схеме

Имеется 6 билетов в театр, 4 из которых на места первого ряда. Какова вероятность того, что из 3 наудачу выбранных билета 2 окажутся на места первого ряда?

Решение

1. Определяем общее количество способов, которыми можно взять 3 билета из 6.

2. Определяем количество способов взять три билета, в том числе два на места первого ряда