Xreferat.com » Рефераты по математике » Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Реферат з курсу “Введение в численные методы”

Тема: “ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ”


Содержание


1. Метод последовательных приближений

2. Метод Гаусса-Зейделя

3. Метод обращения матрицы

4. Триангуляция матрицы

5. Метод Халецкого

6. Метод квадратного корня

Литература


1.Метод последовательных приближений


Наиболее распространенными методами применительно к большим системам являются итерационные методы, использующие разложение матрицы на сумму матриц, и итерационные методы, использующие факторизацию матрицы, т.е. представление в виде произведения матриц.

Простая итерация: уравнение Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений приводится к виду Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений, например, следующим образом:


Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений ,


где Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений и Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений содержат произвольную матрицу коэффициентов, по возможности желательно близкую к Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

Если выбрать A=H+Q так, чтобы у положительно определенной H легко находилась Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений, тогда исходная система приводится к следующему удобному для итераций виду:


Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений .


В этом случае, при симметричной матрице A и положительно определенной Q итерационный процесс сходится при любом начальном Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

Если взять H в виде диагональной матрицы D= Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений, в которой лишь на главной диагонали расположены ненулевые компоненты, то этот частный случай называется итерационным методом Якоби.


2.Метод Гаусса-Зейделя


Метод Гаусса-Зейделя отличается тем, что исходная матрица представляется суммой трех матриц:

Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений.


Подстановка в Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений и несложные эквивалентные преобразования приводят к следующей итерационной процедуре:


Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений .


Различают две модификации: одновременную подстановку и последовательную. В первой модификации очередная подстановка выполняется тогда, когда будут вычислены все компоненты нового вектора. Во второй модификации очередная подстановка вектора выполняется в тот момент, когда будет вычислена очередная компонента текущего вектора. В векторно-матричной форме записи последовательная подстановка метода Гаусса-Зейделя выглядит так:


Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений .


Вторая форма требует существенно меньшее число итераций.


3.Метод обращения матрицы


Эквивалентные преобразования матрицы в произведение более простых, приводящих к решению или облегчающих его получение, начнем с рассмотрения метода обращения матрицы. Так как в общем виде решение системы представляется через обратную матрицу в виде Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений, то предположим, что


Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений ,

тогда, умножив справа равенство на матрицу A , получим


Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений .


Отсюда можно сделать вывод, что матрицы Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений должны последовательно сводить матрицу A к единичной. Если преобразующую матрицу выбрать так, чтобы только один ее столбец отличался от единичных векторов-столбцов, т.е. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений , то вектор-столбец Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений можно сформировать таким, чтобы при умножении на текущую преобразуемую матрицу Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений в последней i-тый столбец превратился в единичный Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Для этого берут


Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений и тогда Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений.


Фактически это матричное произведение преобразует все компоненты промежуточной матрицы по формулам, применяемым в методе исключения Гаусса. Особенность этого процесса заключается в том, что диагональные элементы исходной и всех промежуточных матриц не должны быть нулевыми.

Кроме обратной матрицы, равной произведению всех T-матриц, теперь можно получать и решения уравнений для любого вектора в правой части.


4.Триангуляция матрицы


Разложение исходной матрицы на произведение двух треугольных матриц (триангуляция матрицы) не является однозначной. В соответствии с этим имеется несколько различных методов, привлекательных с той или иной стороны.

Сам способ формирования уравнений или формул для вычисления элементов треугольных матриц в различных методах практически одинаков: это метод неопределенных коэффициентов.

Различия возникают на стадии выбора условий разрешения полученных уравнений. Пусть


Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений ,


где Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений

нижняя треугольная матрица,

Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений

верхняя треугольная матрица.

Выполняя перемножения треугольных матриц и приравнивая получающиеся элементы соответствующим элементам исходной матрицы несложно для k-той строки и m-того столбца записать


Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений .


Полученная система состоит из Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений уравнений и содержит Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений неизвестных коэффициентов. За счет лишних n неизвестных существует свобода выбора, благодаря которой и имеется разнообразие методов разложения.


5.Метод Халецкого


Если положить Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений, то разложение и последующее решение системы из двух векторно-матричных уравнений с треугольными матрицами называется методом Халецкого.

Элементы треугольных матриц L и U последовательно будут вычисляться по следующим формулам:


Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений


Если исходная матрица симметричная, то от треугольных матриц можно потребовать, чтобы они были друг к другу транспонированными, т.е., например, Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений и Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений так, что Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений. В этом случае элементы треугольных матриц находятся в соотношении Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений и, следовательно, число неизвестных уменьшается вдвое. В результате элементы треугольной матрицы могут вычисляться по следующим формулам:


Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений

6.Метод квадратного корня


Использование разложения на взаимно транспонированные треугольные матрицы при решении систем алгебраических уравнений называется метод квадратного корня.

Метод разложения на транспонированные треугольные матрицы имеет модификацию, заключающуюся в выделении в произведении диагональной матрицы D с элементами на диагонали Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Таким образом, для исходной матрицы, которая может быть и эрмитовой (симметричной и комплексно сопряженной), разыскивается произведение трех матриц: Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

Каждое km-тое уравнение, определяется произведением k-того вектора-строки левой треугольной матрицы на диагональную матрицу, умноженную на m-тый столбец правой треугольной матрицы, и имеет вид:


Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений .


Для однозначного разложения, учитывая комплексную сопряженность симметричных элементов треугольных матриц, в первом уравнении (i=1), имеющем вид Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений, полагают Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений. В этом случае


Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений .


Аналогично, отделяя знак диагонального элемента диагональной матрицы от его модуля, можно получить формулы для вычисления Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений:

Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений


Литература


Хеннер Е. К., Лапчик М. П., Рагулина М. И. Численные методы. Изд-во: "Академия/Academia", 2004. – 384c.

Бахвалов И. В. Численные методы. БИНОМ, 2008. – 636c.

Формалев В. Д., Ревизников Д. Л. Численные методы. Изд-во: ФИЗМАТЛИТ®, 2004. – 400c.

12


Похожие рефераты: