Теорія і практика обчислення визначників
Размещено на /
ТЕОРІЯ І ПРАКТИКА ОБЧИСЛЕННЯ ВИЗНАЧНИКІВ
1. Основні поняття і теореми
Def. Нехай задано квадратну матрицю А n-го порядку з елементами aij, де i визначає номер рядка, j – номер стовпця і при цьому через хj позначені стовпці матриці А, тобто
і
.
Визначником(det A)квадратної матриці А зі стовпцями хj називається функціонал j(х1, х2, … , хn) щодо стовпців цієї матриці, який:
а) лінійний за кожним з аргументів (полілінійний):
теорема обчислення визначник сума
j(х1, …, aхi1 + bхi2, … , хn) = aj(х1, … , хi1, … , хn) + bj(х1, … , хi2, … , хn);
б) абсолютно антисиметричний (антисиметричний по будь-якій парі аргументів): j(х1, … , хi, … , хj, … , хn) = –j(х1, … , хj, … , хi, … , хn);
в) підкоряється умові нормування:
.
Тоді, з огляду на загальний вигляд полілінійного антисиметричного функціонала, маємо:
а б
Рис. 1
,
(1)
де N(j1
j2
… jn)
– кількість
безладів у
перестановці
.
Говорять, що в перестановці мається безлад, якщо jk > jm і k < m.
З формули
(1) для визначника
другого порядку
одержуємо
.
Визначниктретього порядку дорівнює сумі шести (3! = 6) доданків. Для побудови цих доданків зручно скористатися правилом трикутників. Добуток елементів, що розташовані на головній діагоналі, а також добутки елементів, що є вершинами двох трикутників на рис. 1а, беруться з множником +1, а добуток елементів, що розташовані на побічній діагоналі, а також добутки елементів, що є вершинами двох трикутників на мал. 1б, беруться з множником –1, тобто
Властивості визначників:
1°. det A = det AT. З цієї властивості випливає, що рядки і стовпці визначника рівноправні. У силу цього всі властивості, сформульовані для стовпців, можуть бути сформульовані і для рядків визначника.
2°. Якщо один зі стовпців визначника складається з нульових елементів, то визначник дорівнює нулю.
3°. Загальний множник у стовпці визначника можна виносити за знак визначника.
4°. Якщо у визначнику поміняти два стовпці місцями, то визначник змінить знак.
5°. Визначник, що має два рівних стовпці, дорівнює нулю.
6°. Якщо стовпці визначника лінійно залежні, то визначник дорівнює нулю.
7°.
.
8°. Визначник не зміниться, якщо до стовпця визначника додати лінійну комбінацію інших стовпців.
9°. Визначник добутку двох квадратних матриць n-го порядку дорівнює добуткові визначників цих матриць.
Def. Якщо в матриці А порядку n викреслити i-й рядок та j-й стовпець, то елементи, що залишилися, утворять матрицю (n – 1)-го порядку. Її визначник називається мінором (n – 1)-го порядку, додатковим до елемента aij матриці А, і позначається Мij, а величина Аij = (–1) i + j Мij називається алгебраїчним доповненням до елемента aij матриці А.
10°.
(Розкриття
визначника
за елементами
j-го стовпця та
за елементами
i-го рядка).
11°.
12°. (Теорема Лапласа).
.
Тут
–
мінор, складений
з елементів
матриці А, що
розташовані
на перетині
рядків i1,
i2,
…, ik
і стовпців j1,
j2,
…, jk,
а
–
алгебраїчне
доповнення
до цього мінора.
13°. (Про зміну елементів визначника).
Якщо
,
а
,
то
.
3. Приклади розв’язування задач
Задача 1.
Обчислити
визначник:
.
Розв’язання. I спосіб. Обчислимо визначник розкладанням за елементами (наприклад) третього рядка (властивість 10є):
.
Визначники третього порядку, що входять до останнього виразу, обчислені за правилом трикутників.
II спосіб. Обчислимо визначник розкладанням за мінорами 2-го порядку (наприклад тими, що розташовані в 1-му і 2-му рядках вихідного визначника, властивість 12є). Усього таких мінорів буде шість (1-й, 2-й стовпці; 1-й, 3-й стовпці; 1-й, 4-й стовпці; 2-й, 3-й стовпці; 2-й, 4-й стовпці; 3-й, 4-й стовпці). Одержимо:
.
III спосіб. Обчислимо визначник методом приведення визначника до трикутного вигляду. Для цього скористаємося властивістю 8°.
а) 1-й рядок додамо до 3-го рядка;
б) 1-й рядок, помножений на (–2), додамо до 4-го рядка.
При цьому визначник не зміниться.
Далі: в) від 1-го рядка віднімемо 2-й рядок;
г) 2-й рядок, помножений на 3, додамо до 4-го рядка, помноженого на 2. При цьому визначник збільшиться вдвічі за рахунок множення 4-го рядка на 2.
;
д) в останньому визначнику 3-ій рядок помножимо на 2 і додамо до 4-го рядка. Визначник не зміниться. Одержимо:
.
Визначник матриці трикутного вигляду обчислюється як добуток діагональних елементів. Доходимо висновку, що вихідний визначник дорівнює –3.
Задача 2.
Обчислити
визначник:
.
Рішення. Для обчислення визначника скористаємося методом виділення лінійних множників. Насамперед відзначимо, що вихідний визначник є багаточленом 4-го степеня відносно х. Крім того, при х = 2 перший і другий рядки співпадають, тобто визначник дорівнює нулеві. Отже, х = 2 є коренем багаточлена. Далі зауважуємо, що при х = 6, х = 12, х = 20 перший рядок співпадає з третім, четвертим і п’ятим рядком відповідно. Виходить, ми встановили всі чотири корені полінома, тобто
det А= C(x – 2)(x – 6)(x – 12)(x – 20).
Для знаходження C відзначимо, що у визначник множник х4 входить з коефіцієнтом, який дорівнює 1/24, а в багаточлен, що стоїть в правій частині, – з коефіцієнтом який дорівнює 1. Тоді C = 1/24. У такий спосіб:
det А =
(x
– 2)(x – 6)(x – 12)(x – 20).
Задача 3.
Обчислити
визначник:
.
Рішення.
Зрозуміло, що
вихідний визначник
можна одержати,
якщо до всіх
елементів
визначника
додати х = 4. Тоді
скористаємося
методом зміни
елементів
визначника
(властивість
13°).
Одержуємо:
.
Визначник діагонального вигляду дорівнює добуткові діагональних елементів (5! = 120). Алгебраїчні доповнення дорівнюють: А11 = 5! = 120;
А22 = 3.4.5 = 60; А33 = 2.4.5 = 40; А44 = 2.3.5 = 30 і А55 = 2.3.4 = 24.
Решта Аij = 0. Одержуємо: det А = 120 + 4(120 + 60 + 40 + 30 + 24) = 120 + 4.274 = 1216.
Задача 4.
Обчислити
визначник n-го
порядку
.
Рішення. Розкриємо визначник за елементами 1-го рядка:
,
а останній визначник розкриємо за елементами 1-го стовпця. Одержуємо:
Dn = 5Dn – 1 – 4Dn – 2. (*)
Записане співвідношення називається рекурентним співвідношенням і дозволяє виразити Dn через такі ж визначники більш низького порядку.
З (*) одержуємо:
Dn – Dn – 1 = 4(Dn – 1 – Dn – 2) = 42(Dn – 2 – Dn – 3) = … = 4n – 2 (D2 – D1) =
= 4n – 2 (21 – 5) = 4n .
Dn – 4Dn – 1 = Dn– 1 – 4Dn – 2 = Dn– 2 – 4Dn – 3 = … = D2 – 4D1 = 21 – 4.5 = 1.
Маємо
систему рівнянь:
.
Віднімаючи
з 1-го рівняння
2-е, одержуємо:
3Dn
– 1 = 4n
– 1. У такий спосіб:
.
4. Задачі і вправи для самостійного розв’язування
Визначити число безладів у перестановках (за вихідне розташування завжди, якщо немає особливих вказівок, приймається розташування 1, 2, 3, ... у зростаючому порядку):
а) 2, 1, 5, 4, 3; б) 6, 3, 2, 5, 1, 4; в) 7, 5, 6, 4, 1, 3, 2;
г) 2, 1, 7, 9, 8, 6, 3, 5, 4; д) 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.
D а) 4; б) 10; в) 18; г) 18; д) 36. ▲
З'ясувати, які з наведених нижче добутків входять у визначники відповідних порядків і, якщо входять, то з яким знаком:
а) а43а21а35а12а54; б) а13а24а23а41а55;
в) а61а23а45а36а12а54; г) а32а43а14а51а66а25;
д) а27а36а51а74а25а43а62; е) а33а16а72а27а55а61а44;
ж) а12а23а34 …аn–1 n а25аkk (1 Ј k Ј n); з) а12а23а34 …аn-1nаn1n.
D а) –; б) не входить у визначник; в) +; г) +; д) не входить у визначник; е) +; ж) не входить у визначник; з) (–1)n. ▲
Вибрати значення i і k так, щоб наступні добутки входили у визначники відповідного порядку із зазначеним знаком:
а) а1iа32а4kа25а53 з « + »; б) а62аi5а33аk4а46а21 з « – »;
в) а47а63а1iа55а7kа24а31 з « + ».
D а) i = 1, k = 4; б) i = 5, k = 1; в) i = 6, k = 2. ▲
Користуючись тільки визначенням, знайти члени визначників, які мають у собі множники х4 і х3:
а)
;
б)
.
D а) 2х4, –х3; б) 10х4, –5х3. ▲
Знайти члени визначника 4-го порядку а) що містять елемент а32 і входять у визначник зі знаком « + »; б) що містять елемент а23 і входять у визначник зі знаком « – ».
D а) а11а24а32а43, а13а21а32а44, а14а23а32а41; б) а11а23а32а44, а12а23а34а41, а14а23а31а42. ▲
Виписати
всі члени визначника
5-го порядку,
що мають вигляд
.
Що вийде, якщо
з їхньої суми
винести а14а23
за дужки?
D
.
▲
Як зміниться визначник n-го порядку, якщо всі його стовпці записати в зворотному порядку? D Визначник помножиться на (–1)(n(n–1))/2. ▲
Не розкриваючи визначників, довести, що:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
D а) властивості 7, 3; б) властивості 7, 3, 5; в) властивості 7, 3, 5; г) властивість 5;
д) властивість 5. ▲
Знайти мінори
елементів а13,
а24, а43 визначника
.
D М13 = 24; М24 = – 126; М43 = 52. ▲
Знайти алгебраїчне доповнення елементів а14, а23, а42 визначника
.
D А14 = 8; А23 = 0; А42 = – 12. ▲
Обчислити
визначник,
розкриваючи
його по 3-му рядку
.
D 8a + 15b + 12c – 19d. ▲
Обчислити
визначник,
розкриваючи
його по 2-му
стовпцю:
.
D 5a – 5b – 5c + 5d. ▲
Обчислити наступні визначники, знижуючи їхній порядок за допомогою розкладання за елементами деякого рядка або стовпця:
а)
;
б)
;
в)
.
D а) abcd; б) abcd; в) xyzuv. ▲
Обчислити наступні визначники 3-го порядку:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
.
D а) 0; б) 6; в) 0; г) –2; д) –27; е) –27. ▲
Обчислити наступні визначники 3-го порядку:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
.
D а) –7; б) 0; в) –1; г) 4; д) 40; е) –3. ▲
Обчислити наступні визначники 3-го порядку:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
.
D а) 100; б) –5; в) 1; г) 2; д) 4; е) –8. ▲
Обчислити наступні визначники 3-го порядку:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
.
D а) (1 – e3)2; б) abc + x(ab + bc + ac); в) 0; г) –2(x3 + y3); д) 0; е) 0. ▲
Обчислити наступні визначники 4-го порядку:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
D а) –7; б) 0; в) –1; г) –18. ▲
Обчислити наступні визначники 4-го порядку:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
D а) 1; б) –5; в) 0; г) –3. ▲
Обчислити наступні визначники 4-го порядку:
а)
;
б)
;
в)