Xreferat.com » Рефераты по математике » Семейства решений с постоянной четной частью

Семейства решений с постоянной четной частью

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины


Курсовая работа


"Семейства решений с постоянной четной частью"


Гомель, 2005

Реферат


В данной курсовой работе 17 листов. Работа состоит из пяти разделов. Ключевые слова: ДУ, решение, система, общее решение, четность, функция.

В работе содержится исследование семейства решений линейной системы. Выясняется связь семейства решений этой системы с её отражающей функцией и её свойствами. Устанавливаются условия, при которых линейная система имеет общее решение, четная часть которого не зависит от времени.

Библиография – 5 названий.


Содержание


Введение

1. Определение и свойства отражающей функции

2. Простейшая система

3. Система чет-нечет

4. Примеры систем, семейства решений которых имеют постоянную четную часть

5. Семейства решений с постоянной четной частью

Заключение

Литература


Введение


Основным инструментом нашего исследования является понятие «отражающей функции».

При изучении вопросов существования периодических решений дифференциальных систем и уравнений используются свойства симметричности (четность, нечетность и т.п.) как функций, задающих изучаемую систему, так и самих решений.

В данной работе мы будем изучать семейства решений с постоянной четной частью, когда четная часть будет представлена в виде константы.

Исследования с помощью отражающей функции позволяет получить новые результаты даже для уже хорошо изученных линейных систем.


1. Определение и свойства отражающей функции


Рассмотрим систему


Семейства решений с постоянной четной частьюСемейства решений с постоянной четной частью, (1.1)


считая, что её правая часть непрерывна и имеет непрерывные частные производные по Семейства решений с постоянной четной частью. Общее решение этой системы в форме Коши обозначим через Семейства решений с постоянной четной частью. Через Семейства решений с постоянной четной частью обозначим интервал существования решения Семейства решений с постоянной четной частью

Пусть


Семейства решений с постоянной четной частью.


Определение: Отражающей функцией системы (1.1) назовем дифференцируемую функцию Семейства решений с постоянной четной частью, определяемую формулой Семейства решений с постоянной четной частью (*) или формулами Семейства решений с постоянной четной частью.

Для отражающей функции справедливы свойства:

1). Для любого решения Семейства решений с постоянной четной частью, системы Семейства решений с постоянной четной частью верно тождество


Семейства решений с постоянной четной частью; (1.2)


2). Для отображающей функции Семейства решений с постоянной четной частью любой системы выполнены тождества:


Семейства решений с постоянной четной частью; (1.3)

3). Дифференцируемая функция Семейства решений с постоянной четной частью будет отражающей функцией системы (1.1) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнениям в частных производных


Семейства решений с постоянной четной частью (1.4)


и начальному условию


Семейства решений с постоянной четной частью. (1.5)


Уравнение (1.4) будем называть основным уравнением (основным соотношением) для отражающей функции.

► Свойство 1) следует непосредственно из определения (*). Для доказательства свойства 2) заметим, что согласно свойству 1) для любого решения Семейства решений с постоянной четной частью системы (1) верны тождества Семейства решений с постоянной четной частью. Из этих тождеств в силу того, что через каждую точку Семейства решений с постоянной четной частью проходит некоторое решение Семейства решений с постоянной четной частью системы (1.1), и следуют тождества (1.3).

Приступим к доказательству свойства 3). Пусть Семейства решений с постоянной четной частью – отражающая функция системы (1.1). Тогда для неё верно тождество (1.2). Продифференцируем это тождество по Семейства решений с постоянной четной частью и воспользуемся тем, что Семейства решений с постоянной четной частью – решение системы (1.1), и самим тождеством (1.2). Получим тождество


Семейства решений с постоянной четной частью


из которого в силу произвольности решения Семейства решений с постоянной четной частью следует, что Семейства решений с постоянной четной частью – решение системы (1.4). Начальное условие согласно свойству 2) так же выполняется.

Пусть некоторая функция Семейства решений с постоянной четной частью удовлетворяет системе (1.4) и условию (1.5). Так как этой системе и этому условию удовлетворяет так же и отражающая функция, то из единственности решения задачи (1.4) – (1.5) функция Семейства решений с постоянной четной частью должна совпадать с отражающей функцией. Свойство 3) доказано.

Основная лемма. Пусть правая часть системы (1.1) Семейства решений с постоянной четной частью – периодична по Семейства решений с постоянной четной частью, непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным Семейства решений с постоянной четной частью. Тогда отображение за период для системы (1.1) можно найти по формуле


Семейства решений с постоянной четной частью,


и поэтому решение Семейства решений с постоянной четной частью системы (1.1) будет Семейства решений с постоянной четной частью – периодическим тогда и только тогда, когда Семейства решений с постоянной четной частью есть решение недифференциальной системы


Семейства решений с постоянной четной частью (1.6)


В качестве следствия этой леммы докажем следующее предположение. Пусть непрерывно дифференцируемая функция Семейства решений с постоянной четной частью Семейства решений с постоянной четной частью – периодична и нечетна по Семейства решений с постоянной четной частью, т. е. Семейства решений с постоянной четной частью и Семейства решений с постоянной четной частью. Тогда всякое продолжение на отрезок Семейства решений с постоянной четной частью решение системы (1.1) будет Семейства решений с постоянной четной частью – периодическим и четным по Семейства решений с постоянной четной частью.

Для доказательства достаточно заметить, что функция Семейства решений с постоянной четной частью удовлетворяет уравнению (1.4) и условию (1.5). Поэтому она согласно свойству 3) является отражающей функцией рассматриваемой системы. Уравнение (1.6) в нашем случае вырождается в тождество, и ему удовлетворяет любое Семейства решений с постоянной четной частью, для которого определено значение Семейства решений с постоянной четной частью. Согласно основной лемме любое продолжимое на Семейства решений с постоянной четной частью решение системы (1.1) будет Семейства решений с постоянной четной частью – периодическим. Четность произвольного решения Семейства решений с постоянной четной частью системы (1.1) следует из тождеств Семейства решений с постоянной четной частью, справедливых в силу свойства 1) отражающей функции.


2. Простейшая система


Простейшей называют систему вида


Семейства решений с постоянной четной частью (2.1),


где Семейства решений с постоянной четной частьюотражающая функция этой системы.

Теорема: Пусть Семейства решений с постоянной четной частью (2.2) простейшая система, тогда Семейства решений с постоянной четной частью, где Семейства решений с постоянной четной частью- отражающая функция системы (2.2).

Если система простейшая,


Семейства решений с постоянной четной частью;


Семейства решений с постоянной четной частью.


Замечание. Доказанная теорема позволяет нам определять, является данная нам система (2.2.) простейшей или нет. Для этого следует по системе (2.2.) записать соотношение (2.3.), из него определить функцию Семейства решений с постоянной четной частью, обладающую свойством Семейства решений с постоянной четной частью и для неё проверить все соотношения. Если соотношения выполнены, то система простейшая.

3. Система чет-нечет

Рассмотрим систему


Семейства решений с постоянной четной частью (3.1)


Будем считать, что всюду в дальнейшем эта система удовлетворяет условиям:

а.) Функция Семейства решений с постоянной четной частью непрерывно дифференцируема, и поэтому, задача Коши для системы (3.1) имеет единственное решение;

б.) Правая часть системы (3.1) Семейства решений с постоянной четной частью – периодична по Семейства решений с постоянной четной частью.

Лемма. Пусть система (3.1) удовлетворяет условиям а). и б). Тогда продолжимое на отрезок Семейства решений с постоянной четной частью решение Семейства решений с постоянной четной частью этой системы будет Семейства решений с постоянной четной частью – периодическим тогда и только тогда, когда


Семейства решений с постоянной четной частью,


где Семейства решений с постоянной четной частью – есть нечетная часть решения Семейства решений с постоянной четной частью.

Пусть Семейства решений с постоянной четной частьюСемейства решений с постоянной четной частью – периодическое решение системы (3.1). Тогда Семейства решений с постоянной четной частью. Необходимость доказана.

Пусть Семейства решений с постоянной четной частью – решение системы (3.1), для которого Семейства решений с постоянной четной частью. Тогда Семейства решений с постоянной четной частью , и поэтому Семейства решений с постоянной четной частью. Таким образом, точка Семейства решений с постоянной четной частью есть неподвижная точка отображения за период, а решение Семейства решений с постоянной четной частьюСемейства решений с постоянной четной частью – периодическое.

Доказанная лемма вопрос о периодичности решения Семейства решений с постоянной четной частью, сводит к вычислению одного из значений нечетной частиСемейства решений с постоянной четной частью. Иногда относительно Семейства решений с постоянной четной частью можно сказать больше, чем о самом решении Семейства решений с постоянной четной частью. Это позволяет в таких случаях делать различные заключения относительно существования периодических решений у систем вида (3.1). Дифференцируемые функции Семейства решений с постоянной четной частью; Семейства решений с постоянной четной частью, удовлетворяют некоторой системе дифференциальных уравнений. Прежде, чем выписать эту систему, заметим:


Семейства решений с постоянной четной частью (3.2)


Так как Семейства решений с постоянной четной частью решение системы (3.1). Заменяя в тождестве (3.2) Семейства решений с постоянной четной частью на Семейства решений с постоянной четной частью и учитывая, что производная четной функции – функция нечетная, а производная нечетной функции – функция четная, получаем тождество


Семейства решений с постоянной четной частью (3.3)


Из тождеств (3.2) и (3.3) найдем производные:


Семейства решений с постоянной четной частью;


Семейства решений с постоянной четной частью.


Таким образом, вектор-функция


Семейства решений с постоянной четной частью (3.4)

Удовлетворяет следующей системе дифференциальных уравнений порядка


Семейства решений с постоянной четной частью: Семейства решений с постоянной четной частью;


Семейства решений с постоянной четной частью


При этом Семейства решений с постоянной четной частью. Систему (3.5) будем называть системой чет-нечет, соответствующей системе (3.1) решение системы чет-нечет, как следует из условия а), однозначно определяется своими начальными условиями.


4. Примеры систем, семейства решений которых имеют постоянную четную часть


1Семейства решений с постоянной четной частью. Семейства решений с постоянной четной частью


Найдем решение:


Семейства решений с постоянной четной частью;


Семейства решений с постоянной четной частью;


Семейства решений с постоянной четной частью

Семейства решений с постоянной четной частью


Семейства решений с постоянной четной частью


Семейства решений с постоянной четной частью


Семейства решений с постоянной четной частью


Семейства решений с постоянной четной частью


Семейства решений с постоянной четной частью


Семейства решений с постоянной четной частью Семейства решений с постоянной четной частью Семейства решений с постоянной четной частью


Таким образом: Семейства решений с постоянной четной частью


Сделаем проверку: Семейства решений с постоянной четной частью


Семейства решений с постоянной четной частью; Семейства решений с постоянной четной частью

Четная часть общего решения: Семейства решений с постоянной четной частью

Похожие рефераты: