Xreferat.com » Рефераты по математике » Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения

Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения

Бабаев Х.


Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского

для смешанно-составного уравнения.


РЕФЕРАТ


В данной работе для смешанно-составного уравнения ставится и исследуется одна нелокальная краевая задача, которая является некоторым аналогом задачи Бицадзе-Самарского. Единственность решения изучаемой задачи доказывается принципом максимума, а существование решения доказывается сведением изучаемой задачи к эквивалентному ей интегральному уравнению.

Библиография 4 названия


Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского

для смешанно-составного уравнения


В первые в работе [1] была поставлена и иcследована нелокальная краевая задача для элиптического уравнения, которая является обобщением задачи Дириxле. В данной работе иcследуется один из аналогов этой задачи для уравнения.

Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения

Пусть: Д область ограниченная отрезками OB, BE, AE, OC, AC, прямыx x=0, y=1, x=1, x+y=0, x-y=1, где А, B, O, C, E точки с координатами (1;0), (0;1), (0;0), (Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения;Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения), (1;1) соответственно.

Задача. Найти регулярное в области Д/OА решение уравнения (1) довлетворяющее краевым


Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения (2)

(3)

(4)

(5)


условиям и условиям склеивания

Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения (6)

Где Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения-задание функции, причем Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения-известные постоянные; постоянная β удовлетворяет неравенству Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения-внутренняя нормаль.

Любое регулярное решение уравнения (1) в области

Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения представлено в виде

Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения (7)

где z(X,У)-регулярное решение уравнения

Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения (8)

W (y)-дважды непрерывно дифференцируемая функция.

Без ограничения общности можно предположить, что W (0)=0б W (1)=0, сперва приводим доказательство единственности решения изучаемой задачи.


Теорема. Если Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения то функция U (Х,У)=0 в области Д.

Доказательство. На основании (2), (7) задача редуцируется к определению регулярного решения уравнения (8) при У>0 удовлетворяющего краевым условиям

Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравненияφ(У)-W(У), Z(Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения)=φ(У)-W(У)

где U(1,У)= φ(У), U(Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения)=φ(У) (9)

Из (6) следует

Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения

Учитывая (3) и условие (9) получим:

Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравненияLОб одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения φ(x)

общее решение уравнения (1) в области ДОб одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения={(x,y)Є D, y<0}даётся известной формулой Даламбера

Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения

реализуя условие (10) из (11) имеем

Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения φ(x)

или Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения φ(x)-Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения

отсюда Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения φ(x+y)-Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения

тогда из (11) получим U(X,Y)=Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения φ(X+Y)-Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения (12)

Используя (4) (ψОб одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения(X)≡0) из (12) найдем

Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравненияφОб одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравненияdОб одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения+Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравненияφОб одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения (13)

дифференцируя выражение (13) имеем

Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравненияφОб одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения+Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравненияφОб одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения=0

разделяя на Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения(x)≠0 получим

φ(x)+Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения φОб одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения=0 (14)

предпологая

Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения

имеем:φ(x)-L(x) φ(βx)=0 (15)

функциональное уравнение (15) не имеет нетривиальных решений.

Действительно применяя метод итерации находим

φ(х)=L(х)φ(βx)

φ(βx)=L(βx)·φ(Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения)

φ(βОб одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравненияx)=L(βОб одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравненияx) φ(βОб одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравненияx)

из этих равенств имеем


φ(х)=L(x)L(βx)…L(βОб одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравненияx)φ(βОб одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравненияx) (16)

(0≤x≤1)

из (16) следует, что при n→∞ функция φ(х)≡0

Следовательно из (12) получим

U(X,Y)= -Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения(1)+ Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения(X-Y)

Отсюда Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения

Или Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения

Обозначим U(X,1)=ψ(X). тогда условие (5) примет вид

U(x,yОб одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения)=Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения

Следовательно из (7)

Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения

теперь нетрудно убедиться, что функция Z(X,Y) не достигает максимума на линии У=1. Из условий

Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения

следует, что Z(X,Y) не достигает максимума (минимума) и на отрезках OB и OA.

Функция Z(Х,Y) не достигает максимума (минимум) и на отрезке АЕ. Действительно, если Z(X,Y) достигает максимума (минимума) на АЕ, то из условия Z(XОб одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения,Y)=φ(Y)-W(Y)

Следует, что этот максимум (минимум) должен реализоваться и внутри области, что противоречит известным свойствам решений элиптических уравнений.

Итак Z(X,Y) ≡ 0 в области ДОб одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения, W(Y) ≡ 0 при 0≤Y≤1. U ≡ 0 и в области ДОб одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения (Задача Коши).

Таким образом U(X,Y)≡0 в области Д.

Теперь переходим к доказательству существования решения изучаемой задачи.

Реализуя условие (3) имеем:

Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения φ(x)+ψОб одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения(x)-Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения

тогда из (11) получим

Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравненияφ(Х+У)+ψОб одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения(Х+Y)-Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения(1)+ Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения(X-Y) (18)

используя условие (4) после простых преобразований приходим к функциональному уравнению.

Φ(х)-L(x)φ(βx)=δx (19)

Где δ(x)=Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения

Единственное решение функционального уравнения (19) можно найти применением метода итерации.

Таким образом неизвестная функция φ(х) определена единственным образом. Из (18) найдём

UОб одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения(X,0)+UОб одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения(X,0)=Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения(X) (20)

Где известная функция

Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения

регулярное в области ДОб одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения решение уравнения (8) удовлетворяющее краевым

Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения условиям


задается формулой [2]:

Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения

Отсюда находим Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения(X,0):

Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения


Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения22)


исключая Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения(х,о) из формул (20), (22) для определения V(х) получаем интегральное уравнение Фредгольма второго рода, разрешимость которого следует из единственности решения изучаемой задачи.

Заметим что V(x) содержит неизвестные функции ψ(Х), W(У). Подставляя значение V(Х) в формулу (21) и реализуя краевые условия

Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения

.Для определения неизвестных функций ψ(Х), W(У) имеем систему интегральных уравнений Фредгольма второго рода, которая однозначно разрешима.

Литература.


Бицадзе А. И., Самарский А. А. о некоторых простейших обобщениях простейших линейных элиптических краевых задач. –Докл. АН СССР, 1969 Т 189, N4, -c.739-740.

Базаров Д. О некоторых нелокальных краевых задачах для модельных уравнений уравнений второго порядка. –изв. вузов. Математика, 1990, N3.

Джураев Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: ФАН, 1979-238с

Салахидинов М. С., Толипов А. Некоторые краевые задачи для уравнений смешанного типа с одной и двумя линиями вырождения. //Дифференциальные уравнения, 1972 г. Т. 8, №1 c 134-142

Похожие рефераты: