Математика (билеты)
2)Функция заданная формулой f(x)=x^a, называется степенной. Свойства степенной функции при а>1 1)D(f)=[0;+¥], если а не является натуральным числом. Это следует из определения степени с рациональным показателем. Если а натуральное число, то D(f)=(-¥;+¥) по определению степени с натуральным показателем. 2)E(f)=[0;+¥) для всех а>1, кроме а= 2R+1. Где RÎN. Это следует из определения степени с рациональным показателем. E(f)=(-¥;+¥) для нечётных а,т.е. а=2R+1, где RÎN. 3)Если а-чётное натуральное число, то данная функция является чётной. Т.к. f(-x)=(-x)^2R = ((-x)^2)^R= (x^2)^R = x^2R = f(x). Если а-нечётное натуральное число. то данная функция является нечётной, так как f(-x)=(-x)^2R+1 + (-x)^2R (-x)= x^2R * (-x)=-x^2R * x+ -x^2R+1 + -f(x). 4)При х=0 функция f(x)=0, так как 0^a = 0 при а>0. 5)При x>0 функция f(x)>0. Это следует из определения степени с рациональным показателем. При нечётных а(а=2R+1, RÎN), если х<0, функция принимает отрицательные значения. Так как x^2R+1+x^2R, x^2R>0, но x<0, следовательно, произведение x^2R x<0, т.е. f(x)<0 при x<0. 6) Функция является возрастающей на промежутке [0;+¥) для любого a>1. Из свойства степени с рациональным показателем (r-рациональное число и 0<a<b, тогда a^r<b^r при r>0) следует, что x1^a<x2^a. Таким образом, меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е. функция y=f(x) возрастает на промежутке [0;¥). Докажем, что если ф- нечётное число, то функция возрастает и на промежутке (-¥;0] (рис56б). Пусть x1<x2<0, тогда x1^a< x2^a по определению степени с целым отрицательным показателем. Т.е. данная функция возрастает по определению возрастающей на промежутке функции. Аналогично можно доказать, что функция y=f(x) на промежутке (-¥;0] убывает, если а – чётное целое (рис56а).
Билет №17
Пусть задана сложная ф-ция g(x)=f(kx+b).
Если ф-ция f имеет производную в точке kx0+b, то производную ф-ции g можно найти по формуле g¢(x0)=kf¢(kx0+b).
Например найдем производную ф-ции g(x)=(7x-9)^19
g¢(x)=7*19(7x-9)^18=133(7x-9)^18
2. Правило 1. Если F- первообразная ф-ции f, а G- первообразная ф-ции g, то F+G является первообразная ф-ции f+g.
Док-во: Воспользуемся опр-ием первообразной , т.е. найдем производную ф-ции F+G.
(F+G)¢=F¢+G¢=f+g
Правило 2. Если F- первообразная ф-ции
f, а k –постоянная , то kF- первообразная ф-ции kf.
Док-во: Воспользуемся опр-ием первообразной , т.е. найдем производную ф-ции kF.
(kF)¢=kF¢=kf
Правило 3. Если y=F(x)- первообразная ф-ции
y=f(x),а k и b- постоянные, причем k¹0 то ф-ция y=1/k*f(kx+b) явл-ся первообразной ф-ции y=f(kx+b)
Док-во: Воспользуемся опр-ием первообразной , т.е. найдем производную ф-ции y=1/k*F(kx+b)
(1/k*F(kx+b))¢=1/k*F¢(kx+b)*k=F¢(kx+b)=f(kx+b)
Билет № 18.
1.Пусть материальная точка движения по координатной прямой по закону x=x(t), т.е. координата точки – известная ф-ия времени. За промежуток времени êt перемещение точки равно êx, а средняя скорость vср=êx/êt. Если движение таково, что при êt®0 значение средней скорости стремится к некоторому определённому числу, то это число называют мгновенной скоростью (êx/êy ® vмгн, при êt®0). Но по определению производной êx/êy ® x’ при êt®0. Мгновенная скорость определена для любой дифференцируемой ф-ии, описывающей перемещение точки по прямой. Чтобы найти скорость движения v, нужно определить производную от координаты по времени, т.е. v(t)=x’(t). Пример. Координата точки, движущейся по прямой, задана формулой x(t)=2t^2-3t+1 (x(t) – перемещение в метрах, t- время в секундах). Найти скорость точки в момент времени t=2c. Имеем: v(t)=x’(t)=4t-3; v(2)=4*2-3=5 (м/с).
2. Таблица первообразных элементарных ф-ий.
Билет № 18.
1.Пусть материальная точка движения по координатной прямой по закону x=x(t), т.е. координата точки – известная ф-ия времени. За промежуток времени êt перемещение точки равно êx, а средняя скорость vср=êx/êt. Если движение таково, что при êt®0 значение средней скорости стремится к некоторому определённому числу, то это число называют мгновенной скоростью (êx/êy ® vмгн, при êt®0). Но по определению производной êx/êy ® x’ при êt®0. Мгновенная скорость определена для любой дифференцируемой ф-ии, описывающей перемещение точки по прямой. Чтобы найти скорость движения v, нужно определить производную от координаты по времени, т.е. v(t)=x’(t). Пример. Координата точки, движущейся по прямой, задана формулой x(t)=2t^2-3t+1 (x(t) – перемещение в метрах, t- время в секундах). Найти скорость точки в момент времени t=2c. Имеем: v(t)=x’(t)=4t-3; v(2)=4*2-3=5 (м/с).
2. Таблица первообразных элементарных ф-ий.
Билет №19
1.Функция y=F(x) называется периодической, если существует такое число Т, не равное нулю, что для любых значений аргумента из области определения функции выполняются равенства f(x-T)=f(x)=f(x+T). Число Т называется периодом функции. Например, y=sinx – периодическая функция (синусоиду нарисуешь сам (а)) Периодом функции являются любые числа вида T=2PR, где R –целое, кроме 0. Наименьшим положительным периодом является число T=2P. Для построения графика периодической функции достаточно построить часть графика на одном из промежутков длинной Т, а затем выполнить параллельный перенос этой части графика вдоль оси абсцисс на +-Т, +-2Т, +-3Т,…
2. Если ф-ия u и v дифференцируемы в некоторой точке, то их сумма дифференцируема в этой же точке и производная суммы равна сумме производных: (u+v)’=u’+v’. Доказательство. Найдём производную суммы по определению производной.
Пусть задана точка x0, êx-приращение аргумента.
2) Вычислим приращение ф-ии:
ê(u+v)=u(x0+êx)+(x0+êx)–(u(x0)+v(x0))=u(x0+êx)-u(x0)+v(x0+êx )- v(x0)= ê u+ê v.
3)Найдём отношение приращения ф-ии к приращению аргумента:
ê(u+v)/êx=(êu+êv)//êx =êu //êx +êv/êx.
4) Выясним, к чему стремится разносное отношение при êx®0
êu/êx+êvêx ®u’+v’ при êx®0
Билет №20
1)Изобразим в прямоугольной системе координат графики следующих показательных ф-ий:y=(3/2), y=2, y=(5/2), y=3
Все графики проходят через точку M(0;1).
Проведём касательные к графикам в этой точке. Измерим углы наклона касательных к оси абсцисс. У касательных к графикам ф-ии y=(3/2), y=2, y(5/2) углы с положительным направлением оси Ох меньше 45°. У касательной к графику ф-ии y=3 этот угол больше 45°. Наличие у показательной ф-ии y=e (e=2.71828…) касательной, проведёной в точке M(0;1) и образующей с положительным направлением оси абсцисс угол в 45, означает, что производная в точке х0 =0 равно 1.
Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию е. Натуральный логарифм обозначается знаком ln, т.е. log x=ln x.
2. Если производная ф-ии положительна в каждой точке интервала, то ф-ия возрастает на этом интервале.
Доказательство: Ф-ия y= f(x) называется возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение ф-ии.
Известно, что значения дифференцируемой на интеграле ф-ии, значения производной связываются формулой Лагранжа: если ф-ия y=f(x) дифференцируема на некотором промежутке, точки x1 и x2 принадлежат промежутку (x1< x2), то на интеграле (х1;х2) найдется такая точка с, для которой выполняется равенство f’(c)=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1).
Пусть производная ф-ии принимает положительные значения на интеграле I, т.е. f’(x)>0.Возьмем два знацения аргумента x1 и x2,принадлежащие этому интегралу, причём х1<х2. Сравним значения этой ф-ии в точках х1 и х2. По формуле Лагранжда найдётся такое значения с Î (х1:х2), для которой выполняется равенство
F’(c)=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1).
Из этого условия следует, что f(x2)-f(x1)=f’(c)*(x2-x1).
Заметим, что f(c)>0 (по условию), значит, f’(c)*(x2-x1)>0, т.е. разность значению аргумента соответствует большее значение ф-ии, т.е. ф-ия
y=f(x) является возрастающей. Аналогично показывается достаточное условия ф-ии.
Ф-ия y=x^n, n¹1 y=sin x y=cos x
Общий вид первообразных (x^(n+1))/(n+1)+C -cos x+C Sin x+C
Ф-ия y=e^x y=a^x Y= 1/x
Общий вид первообразных e^x+C (a)/ln a+C ln x +C