Xreferat.com » Рефераты по математике » Определитель матрицы

Определитель матрицы

Дисциплина: Высшая математика

Тема: Определитель матрицы

1. Понятие определителя


Матрица - это прямоугольная таблица, составленная из чисел. Особое место среди матриц занимают квадратные матрицы. Рассмотрим произвольную квадратную матрицу порядка Определитель матрицы или просто Определитель матрицы:


Определитель матрицы.


Оказывается, что с такой матрицей всегда можно связать вполне определенную числовую характеристику.

Определение 1. Численная характеристика квадратной матрицы называется ее определителем.

Рассмотрим матрицу первого порядка Определитель матрицы.

Определение 2. Численной характеристикой матрицы первого порядка, то есть определителем первого порядка, называется величина ее элемента Определитель матрицы.

Обозначается определитель одним из символов Определитель матрицы.

Определение 3. Определителем второго порядка, соответствующим матрице второго порядка, называется число, равное Определитель матрицы.

Обозначается определитель одним из символов


Определитель матрицы.


Очевидно, что для составления определителя второго порядка, необходимо найти разность произведения элементов, стоящих на главной диагонали матрицы, и произведения элементов, стоящих на побочной диагонали этой матрицы.

Поскольку одна из форм обозначения определителя и обозначения матрицы имеют много общего (записывается таблица из чисел), то так же, как и у матрицы, говорят о столбцах, строках и элементах определителя.

После того как рассмотрены определители 1-го и 2-го порядков, можно перейти к понятию определителя любого порядка. Но перед этим введем понятие минора.

Определение 4. Минором любого элемента Определитель матрицы квадратной матрицы порядка Определитель матрицы называется определитель порядка Определитель матрицы, соответствующий той матрице, которая получается из первоначальной матрицы в результате вычеркивания Определитель матрицы-ой строки и Определитель матрицы-го столбца, на пересечении которых стоит элемент Определитель матрицы.

Обычно минор элемента Определитель матрицы обозначается Определитель матрицы.

Определение 5. Определителем порядка Определитель матрицы, соответствующим матрице порядка Определитель матрицы, называется число, равное


Определитель матрицы.


Обозначается определитель одним из символов


Определитель матрицы.


Приведенное выражение представляет собой правило вычисления определителя Определитель матрицы-го порядка по элементам первой строки соответствующей ему матрицы и по минорам элементов этой строки, которые являются определителями порядка Определитель матрицы. Для Определитель матрицы это правило дает:


Определитель матрицы.


В приведенном правиле вычисления определителя фигурирует лишь первая строка. Возникает вопрос, а нельзя ли вычислить определитель, используя элементы других строк?

Теорема 1. Каков бы ни был номер строки Определитель матрицы (Определитель матрицы), для определителя Определитель матрицы-го порядка справедлива формула


Определитель матрицы,


называемая разложением этого определителя по Определитель матрицы-ой строке.

Нетрудно заметить, что в этой формулировке степень при (-1) равна сумме номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент Определитель матрицы.

Докажем сначала эту теорему для Определитель матрицы. В этом случае Определитель матрицы может быть равно только 2, так как Определитель матрицы входит в основное определение величины определителя. Итак:


Определитель матрицы.


Полученное выражение совпадает с тем, которое было дано в определении, следовательно, для определителя 2-го порядка теорема доказана.

Для произвольного Определитель матрицы данная теорема доказывается методом математической индукции.

Итак, показано, что определитель может быть разложен по любой строке. Возникает вопрос, а нельзя ли сделать то же самое, использовав произвольный столбец.

Теорема 2. Каков бы ни был номер столбца Определитель матрицы (Определитель матрицы), для определителя Определитель матрицы-го порядка справедлива формула


Определитель матрицы,


называемая разложением этого определителя по Определитель матрицы-му столбцу.

Докажем теорему для Определитель матрицы:


Определитель матрицы.


Данное выражение равно величине определителя, введенной по определению.

Итак, на основании теорем можно сказать, что для вычисления определителя Определитель матрицы-го порядка необходимо его разложить по произвольной строке или столбцу.


2. Свойства определителей


Рассмотрим ряд свойств, которыми обладают определители.

1. Равноправность строк и столбцов.

Определение 1. Транспонированием определителя называется операция, в результате которой меняются местами строки и столбцы с сохранением порядка их следования.

Определитель, полученный в результате транспонирования, называется транспонированным по отношению к исходному и обозначается Определитель матрицы.

Свойство 1. При транспонировании величина определителя сохраняется, то есть Определитель матрицы.

Доказательство этого свойства вытекает из того, что разложение определителя по первой строке тождественно совпадает с разложением по первому столбцу. Данное свойство указывает на равноправность строк и столбцов, поэтому все дальнейшие свойства можно рассматривать лишь для строк.

2. Антисимметрия при перестановке двух строк.

Свойство При перестановке местами двух строк определитель сохраняет свою абсолютную величину, но меняет знак на противоположный.

Докажем для определителя второго порядка. Действительно,


Определитель матрицы; Определитель матрицы.


Для определителя Определитель матрицы-го порядка докажем это свойство по индукции. Пусть свойство справедливо для определителя Определитель матрицы-го порядка. Разложим определитель Определитель матрицы-го порядка по любой строке, отличной от переставленных. Тогда переставленные строки входят во все миноры, на которые умножаются элементы Определитель матрицы, но эти миноры являются определителями Определитель матрицы-го порядка и меняют свой знак при перестановке строк. Следовательно, и определитель Определитель матрицы-го порядка также меняет свой знак.


3. Линейное свойство определителя.


Определение Некоторая строка (Определитель матрицы) является линейной комбинацией строк (Определитель матрицы) и (Определитель матрицы) с коэффициентами Определитель матрицы и Определитель матрицы, если Определитель матрицы.

Пользуясь этим определением, перейдем к самому свойству.

Свойство 3. Если в определителе Определитель матрицы-го порядка Определитель матрицы некоторая строка Определитель матрицы (Определитель матрицы) является линейной комбинацией двух строк (Определитель матрицы) и (Определитель матрицы) с коэффициентами Определитель матрицы и Определитель матрицы, то Определитель матрицы, где Определитель матрицы - определитель, у которого Определитель матрицы-ая строка равна (Определитель матрицы), а все остальные - те же, что и у Определитель матрицы, а Определитель матрицы - определитель, у которого Определитель матрицы-ая строка равна (Определитель матрицы), а все остальные - те же, что и у Определитель матрицы.

Для доказательства разложим каждый из определителей по Определитель матрицы-ой строке. Очевидно, что у всех разложений миноры Определитель матрицы соответствующих элементов будут одинаковы. Вычислим Определитель матрицы:


Определитель матрицы


Итак, свойство доказано. Очевидно, оно справедливо и для столбцов.

Приведенные три свойства называются основными. Остальные являются их следствиями.

Свойство 4. Умножение всех элементов некоторой строки или столбца определителя на число Определитель матрицы равносильно умножению определителя на число Определитель матрицы.

Для доказательства положим в свойстве 3 Определитель матрицы, тогда получим Определитель матрицы. Значит, общий множитель всех элементов некоторого ряда можно выносить за определитель.

Свойство 5. Если все элементы некоторой строки или столбца определителя равны 0, то и сам определитель равен 0.

Для доказательства разложим определитель по нулевому ряду.

Свойство 6. Определитель с двумя равными строками или столбцами равен 0.

Действительно, переставив местами равные строки или столбцы, получим тот же определитель, но по свойству 2 его знак изменится на противоположный. Итак, с одной стороны Определитель матрицы, а с другой Определитель матрицы. Следовательно, Определитель матрицы.

Свойство 7. Если соответствующие элементы двух строк или столбцов определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

Действительно, согласно свойству 4 общий множитель можно выносить за определитель, и мы получим определитель с двумя равными строками, который по свойству 6 равен нулю.

Свойство 8. Если к элементам некоторой строки или столбца определителя прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на произвольный множитель Определитель матрицы, то величина определителя не изменится.

Доказательство. Рассмотрим определитель Определитель матрицы. Прибавим к элементам второй строки элементы первой с коэффициентом Определитель матрицы:


Определитель матрицы.


Тогда, по свойству 3 получим:


Определитель матрицы.


После перечисления всех свойств определителей введем еще одно определение.

Определение 3. Алгебраическим дополнением данного элемента Определитель матрицы определителя Определитель матрицы-го порядка называется число, равное Определитель матрицы, которое обозначается Определитель матрицы.

Значит, алгебраическое дополнение отличается от соответствующего минора только лишь знаком. Теперь величину определителя можно вычислить с помощью формул:


Определитель матрицы.


Пользуясь свойствами, любой определитель можно вычислить не на основании основного правила, а предварительно упростив его (приводя, например, к треугольному виду).

Литература


Артамонов Вячеслав Введение в высшую алгебру и аналитическую геометрию. Изд-во: Факториал, Факториал Пресс, 2007. - 128с.

Бугров Я.С., Никольский С.М. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В 3-х томах Том 1 Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии 8-е издание. Издательство: ДРОФА, 2006. - 284с.

Рябушко А.П., Бархатов В.В., Державец В.В., Юруть И.Е. Индивидуальные задания по высшей математике. В 4 частях. Часть 1. Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Минск: Высшая школа, 2007.

Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. В трех томах. ПОЛИТЕХНИКА, 2003.

Шипачев В.С. Высшая математика изд.7 Изд-во: ВЫСШАЯ ШКОЛА, 2005. - 479с.

Похожие рефераты: