Xreferat.com » Рефераты по математике » Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии

Контрольная работа

«Элементы алгебры и геометрии»

Вариант 9


Задание № 19


Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными при помощи определителей.


Элементы алгебры и геометрии


Найдем определитель матрицы А:


Δ(А) = Элементы алгебры и геометрии =

= 2 ∙ 1 ∙6 + (-3) (-2) ∙3 + 1 ∙ 1 ∙ (-2) – 1 ∙ 1 ∙ 3 – (-3) ∙ 1 ∙ 6 – 2 (-2) ∙ (-2) =

= 12 + 18 – 2 – 3 + 18 – 8 = 48 – 13 = 35

Δ(А) = 35


Найдём Δ1, Δ2, Δ3


Δ1 =Элементы алгебры и геометрии =

= 3 ∙ 1 ∙ 6 + (-3) (-2) ∙ 0 + 1 ∙ 4 ∙(-2) – 0 ∙1 ∙ 1 – 4 ∙ (-3) ∙ 6 – 3 (-2) (-2) =

= 18 + 0 – 8 – 0 + 72 – 12 = 90 – 20 = 70

Δ2 (А) = Элементы алгебры и геометрии =

= 2 ∙ 4 ∙ 6 + 3 ∙ (-2) ∙ 3 + 1 ∙ 1 ∙ 0 – 3 ∙ 4 ∙ 1 – 1 ∙ 3 ∙ 6 – 2 ∙ 0 ∙ (-2) =

= 48 – 18 + 0 – 12 -18 – 0 = 0

Δ3 =Элементы алгебры и геометрии =

= 2 ∙ 1 ∙ 0 + (-3) 4 ∙ 3 + 3 ∙ 1 ∙(-2) – 3 ∙1 ∙ 3 – 1 ∙ (-3) ∙ 0 – 2 ∙ (-2) 4 =

= 0 – 36 – 6 – 9 + 0 + 16 = – 20 – 15 = – 35


Найдем корни:


Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии

Ответ: 2; 0; –1


Задание № 40


Исследовать данную систему уравнений на совместность и решить её, если она совместна.


Элементы алгебры и геометрии


Запишем матрицу А и найдем ранг матрицы А:


Элементы алгебры и геометрии


Поменяем местами первую и вторую строки:


Элементы алгебры и геометрии


Первую строку умножим на 3 и вычтем из неё вторую, первую умножим на 5 и вычтем из неё третью:


Элементы алгебры и геометрии


Вычтем из второй строки – третью:


Элементы алгебры и геометрии


Ранг матрицы Элементы алгебры и геометрии

Запишем расширенную матрицу Элементы алгебры и геометрии

Найдем определитель расширенной матрицы. Поменяем местами первую и вторую строки:


Элементы алгебры и геометрии


Умножим первую строку на 3 и вычтем из неё вторую, умножим первую строку на 5 и вычтем из неё третью:


Элементы алгебры и геометрии


Вычтем из второй строки третью:


Элементы алгебры и геометрии


Ранг расширенной матрицы Элементы алгебры и геометрии

Ранг расширенной матрицы системы не равен рангу матрицы системы, значит система несовместна (не имеет решений).


Задание № 54


Даны координаты точек А (х1;у1) и В (х2;у2) и радиус окружности R, центр которой находится в начале координат.

Требуется:

1) составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через данные точки А и В;

2) найти полуоси, фокусы и эксцентриситет этого эллипса;

3) найти все точки пересечения эллипса с данной окружностью;

4) построить эллипс и окружность.

Решение:

Общий вид канонического уравнения эллипса:


Элементы алгебры и геометрии


Подставим координаты точек А и В в общее уравнение:


Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии


Подставляем найденные переменные в общее уравнение эллипса:

Элементы алгебры и геометрии

Полуоси: Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии


Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии


Элементы алгебры и геометрии


Элементы алгебры и геометрии


Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии


Элементы алгебры и геометрии


Точки пересечения данного эллипса с окружностью R=8, найдем решив систему уравнений:


Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии


Получили четыре точки пересечения эллипса с окружностью:


Элементы алгебры и геометрии

4.

Элементы алгебры и геометрии


Задание № 69


Дано: вершины пирамиды АВСD

Записать векторы Элементы алгебры и геометрии Элементы алгебры и геометрии Элементы алгебры и геометрии в системе орт и найти их модули:


А (3; 3; –3); В (7; 7; –5); С (5; 14; –13); D (3; 5; –2).

Элементы алгебры и геометрии = (7 – 3; 7 – 3; –5 + 3) = (4; 4; –2)$

Элементы алгебры и геометрии;

Элементы алгебры и геометрии = Элементы алгебры и геометрии = 6;

Элементы алгебры и геометрии = (5 – 3; 14 – 3; –13 + 3) = (2; 11; –10);

Элементы алгебры и геометрии = 2i + 11j – 10k;

Элементы алгебры и геометрии = 15;

Элементы алгебры и геометрии = (3 – 3; 5 – 3; –2 + 3) = (0; 2; 1);

Элементы алгебры и геометрии = Элементы алгебры и геометрии = Элементы алгебры и геометрии


Найти угол между векторами Элементы алгебры и геометрии и Элементы алгебры и геометрии :


Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии


Найти проекцию вектора Элементы алгебры и геометрии на вектор Элементы алгебры и геометрии:


Элементы алгебры и геометрии


Найти площадь грани АВС:


Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии = Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии;

Элементы алгебры и геометрии


Найти объем пирамиды ABCD:


Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии= Элементы алгебры и геометрии =

Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии


Задание № 93


Даны координаты точек А, В, С, М:


А (5; 4; 1); В (–1; –2; –2); С (3; –2; 2); М (–5; 5; 4).


1.Найти уравнение плоскости Q, проходящей через точки А, В, С:


Элементы алгебры и геометрии = 0;

Элементы алгебры и геометрии = 0;

(x – 5)( – 6 – 18) – (y – 4)( – 6 – 6) + (z – 1)(36 – 12) = 0;

– 24(x – 5) + 12(y – 4) + 24(z – 1) = 0;

– 2(x – 5) + (y – 4) + 2(z – 1) = 0;

–2x + 10 + y – 4 + 2z – 2 = 0;

–2x + y + 2z + 4 = 0 – уравнение плоскости Q.


2.Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М перпендикулярно плоскости Q:

Подставим координаты точки М (–5; 5; 4) и коэффициенты общего уравнения плоскости Q (–2; 1; 2) в каноническое уравнение прямой:


Элементы алгебры и геометрии


3.Найти точки пересечения полученной прямой с плоскостью Q и с координатными плоскостями хОу, уОz, xOz: пусть


Элементы алгебры и геометрии


Где t – некоторый параметр, тогда уравнения прямой можно записать так:


Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии


Подставим данные выражения в уравнение плоскости Q и найдем параметр t:


Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии


Подставим значение параметра t в уравнения и найдем координаты точки пересечения:


Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии


Итак, координаты точки P, точки пересечения полученной во втором пункте прямой и плоскости Q: РЭлементы алгебры и геометрии.

Р1 – точка пересечения прямой с с хОу: z = 0;


Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии

P1 (2,6; 1,2; 0).


P2 – точка пересечения прямой с уОz: x = 0;


Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии

P2 (0; 1,6; Элементы алгебры и геометрии2,8).


Р3 - точка пересечения прямой с xOz: y = 0;


Элементы алгебры и геометрии;

Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии

P3 (0,5; 0; Элементы алгебры и геометрии1,5).


Найти расстояние от точки М до плоскости Q:

т.к. прямая МР перпендикулярна плоскости Q, точка Р принадлежит плоскости Q, то расстояние между точками М и Р и будет расстоянием от точки М до плоскости Q.


Элементы алгебры и геометрии


Производная и дифференциал


Задание № 114


Найти пределы:


Элементы алгебры и геометрии


Разложим на множители и числитель и знаменатель:


Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии

Элементы алгебры и геометрии

Похожие рефераты: