Xreferat.com » Рефераты по математике » Длина дуги кривой в прямоугольных координатах

Длина дуги кривой в прямоугольных координатах

Контрольная работа

По дисциплине:

«Высшая математика»


Тема:


«Длина дуги кривой в прямоугольных координатах»


1. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу


Сформулируем следующее свойство определенных интегралов:

Пусть функция Длина дуги кривой в прямоугольных координатах непрерывна на Длина дуги кривой в прямоугольных координатах. Составим для нее определенный интеграл Длина дуги кривой в прямоугольных координатах. Пусть для определенности Длина дуги кривой в прямоугольных координатах на всем отрезке. Тогда с геометрической точки зрения составленный интеграл не что иное, как площадь криволинейной трапеции с основанием Длина дуги кривой в прямоугольных координатах, которая ограничена линией Длина дуги кривой в прямоугольных координатах.

Если в рассматриваемом интеграле заменить переменную интегрирования Длина дуги кривой в прямоугольных координатах на Длина дуги кривой в прямоугольных координатах, то величина его, очевидно, не изменится. Поэтому в дальнейшем для удобства будем считать, что площадь трапеции определяется интегралом Длина дуги кривой в прямоугольных координатах.


Длина дуги кривой в прямоугольных координатах


Величина определенного интеграла зависит от значений верхнего и нижнего пределов интегрирования, то есть от длины основания криволинейной трапеции. Рассмотрим поэтому теперь случай, когда нижний предел интеграла фиксирован и равен Длина дуги кривой в прямоугольных координатах, а верхний может меняться, принимая значения Длина дуги кривой в прямоугольных координатах, где Длина дуги кривой в прямоугольных координатах. В этом случае определенный интеграл будет соответствовать площади криволинейной трапеции, величина которой меняется. Зависеть эта площадь будет от значения Длина дуги кривой в прямоугольных координатах, то есть Длина дуги кривой в прямоугольных координатах. Если Длина дуги кривой в прямоугольных координатах будет меняться непрерывно, то и площадь трапеции будет меняться непрерывно, то есть Длина дуги кривой в прямоугольных координатах – непрерывная функция, которую можно дифференцировать.

Теорема. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, у которой переменная интегрирования заменена этим верхним пределом, то есть Длина дуги кривой в прямоугольных координатах или Длина дуги кривой в прямоугольных координатах.

Для вычисления производной проделаем все стандартные операции. Зададим приращение аргументу: Длина дуги кривой в прямоугольных координатах, что, в свою очередь, приведет к приращению функции: Длина дуги кривой в прямоугольных координатах. Так как Длина дуги кривой в прямоугольных координатах, а Длина дуги кривой в прямоугольных координатах, то приращение функции определяется выражением:


Длина дуги кривой в прямоугольных координатах.


Применим к полученному выражению теорему о среднем в определенном интеграле:


Длина дуги кривой в прямоугольных координатах, где Длина дуги кривой в прямоугольных координатах.


Составим отношение Длина дуги кривой в прямоугольных координатах. Чтобы получить производную Длина дуги кривой в прямоугольных координатах, перейдем в составленном отношении к пределу: Длина дуги кривой в прямоугольных координатах. Так как Длина дуги кривой в прямоугольных координатах, то при стремлении Длина дуги кривой в прямоугольных координатах точка Длина дуги кривой в прямоугольных координатах будет стремиться к Длина дуги кривой в прямоугольных координатах. Следовательно, вычисление предела приведет к выражению: Длина дуги кривой в прямоугольных координатах.

Из доказанной теоремы следует, что Длина дуги кривой в прямоугольных координатах – это первообразная от Длина дуги кривой в прямоугольных координатах, следовательно, определенный интеграл Длина дуги кривой в прямоугольных координатах также является первообразной от Длина дуги кривой в прямоугольных координатах, и вычислять его, очевидно, необходимо с помощью тех же приемов, что и неопределенный интеграл.


2. Формула Ньютона–Лейбница


Вычисление определенного интеграла как предела интегральной суммы представляет собой довольно сложную задачу и может быть выполнено лишь в некоторых наиболее простых случаях. Однако полученная в п. 1 связь между определенным интегралом и первообразной позволяет получить простой метод для вычисления этих интегралов.

Теорема. Если Длина дуги кривой в прямоугольных координатах какая-либо первообразная от непрерывной функции Длина дуги кривой в прямоугольных координатах, то справедлива формула: Длина дуги кривой в прямоугольных координатах.

В предыдущем пункте было показано, что Длина дуги кривой в прямоугольных координатах – это первообразная от функции Длина дуги кривой в прямоугольных координатах. Но как было показано при изучении неопределенного интеграла, любая непрерывная функция имеет бесконечное множество первообразных, отличающихся друг от друга на постоянное слагаемое. Поэтому, если Длина дуги кривой в прямоугольных координатах какая-то другая первообразная от той же функции Длина дуги кривой в прямоугольных координатах, то Длина дуги кривой в прямоугольных координатах.

Оказывается, что в случае определенного интеграла постоянную Длина дуги кривой в прямоугольных координатах можно вычислить. Действительно, так как Длина дуги кривой в прямоугольных координатах может принимать любые значения между Длина дуги кривой в прямоугольных координатах и Длина дуги кривой в прямоугольных координатах (п. 1), то пусть Длина дуги кривой в прямоугольных координатах. Тогда: Длина дуги кривой в прямоугольных координатах. Но определенный интеграл с равными пределами равен нулю, следовательно, Длина дуги кривой в прямоугольных координатах. Значит,


Длина дуги кривой в прямоугольных координатах.


Положим теперь, что Длина дуги кривой в прямоугольных координатах, тогда


Длина дуги кривой в прямоугольных координатах.


Полученное выражение называется формулой Ньютона – Лейбница. Другая форма записи этого выражения следующая:


Длина дуги кривой в прямоугольных координатах.


Обычно в полученных выражениях переменная интегрирования обозначается буквой Длина дуги кривой в прямоугольных координатах.

Таким образом, чтобы вычислить определенный интеграл, необходимо найти любую первообразную от Длина дуги кривой в прямоугольных координатах и вычислить разность ее значений в верхнем и нижнем пределах интегрирования. Полученная простая формула позволяет легко находить решения многих математических и прикладных задач, связанных с вычислением определенного интеграла.


3. Замена переменной в определенном интеграле


При изучении неопределенного интеграла было показано (п. 5.4), что одним из наиболее часто встречающихся методов его вычисления является замена переменных. Так как вычисление определенного интеграла, согласно формуле Ньютона – Лейбница, также связано с нахождением первообразной, то метод замены переменной применим и в нем, однако при этом имеются некоторые особенности. В неопределенном интеграле замена переменной приводила в конце вычислений к обратной замене, в определенном же, оказывается, можно обойтись без этого.

Теорема. Если в определенном интеграле Длина дуги кривой в прямоугольных координатах, где Длина дуги кривой в прямоугольных координатах непрерывна на Длина дуги кривой в прямоугольных координатах, сделать замену переменной Длина дуги кривой в прямоугольных координатах и при этом:

1) Длина дуги кривой в прямоугольных координатах, Длина дуги кривой в прямоугольных координатах;

2) Длина дуги кривой в прямоугольных координатах и Длина дуги кривой в прямоугольных координатах непрерывны на Длина дуги кривой в прямоугольных координатах;

3) Длина дуги кривой в прямоугольных координатах непрерывна на Длина дуги кривой в прямоугольных координатах и при изменении Длина дуги кривой в прямоугольных координатах от Длина дуги кривой в прямоугольных координатах до Длина дуги кривой в прямоугольных координатах не выходит за пределы отрезка Длина дуги кривой в прямоугольных координатах,


то Длина дуги кривой в прямоугольных координатах.


Пусть Длина дуги кривой в прямоугольных координатах – какая-то первообразная от Длина дуги кривой в прямоугольных координатах, тогда Длина дуги кривой в прямоугольных координатах. Согласно формуле Ньютона – Лейбница, получим соответствующий определенный интеграл: Длина дуги кривой в прямоугольных координатах. Но, как было показано в п. 5.4, в неопределенном интеграле можно сделать замену переменной Длина дуги кривой в прямоугольных координатах, тогда Длина дуги кривой в прямоугольных координатах. В этом случае соответствующий определенный интеграл будет иметь вид:


Длина дуги кривой в прямоугольных координатах.


У обоих определенных интегралов правые части равны, следовательно, равны и левые части:


Длина дуги кривой в прямоугольных координатах,


что и требовалось доказать.

Из доказанной теоремы следует, что при замене переменной в определенном интеграле должны поменяться пределы интегрирования, и обратная замена здесь уже не нужна, так как и при старой и при новой переменной в ответе получается одно и то же число.


4. Интегрирование по частям в определенном интеграле


Пусть даны функции Длина дуги кривой в прямоугольных координатах и Длина дуги кривой в прямоугольных координатах, которые непрерывны со своими производными на Длина дуги кривой в прямоугольных координатах. Составим их произведение и продифференцируем его:


Длина дуги кривой в прямоугольных координатах.


Возьмем от обеих частей полученного равенства определенные интегралы:


Длина дуги кривой в прямоугольных координатах.


Но Длина дуги кривой в прямоугольных координатах, Длина дуги кривой в прямоугольных координатах, Длина дуги кривой в прямоугольных координатах. Следовательно, Длина дуги кривой в прямоугольных координатах, откуда: Длина дуги кривой в прямоугольных координатах. Так же как и в неопределенном интеграле, данная формула требует правильного выбора множителей Длина дуги кривой в прямоугольных координатах и Длина дуги кривой в прямоугольных координатах.


5. Длина дуги кривой в прямоугольных координатах


При вычислении длины кривой линии может быть использована та же методика, что и при вычислении площадей криволинейных трапеций, то есть кривую разбивают на такие малые участки, длину которых можно посчитать геометрическими методами.

Определение. Длиной дуги кривой линии называют предел, к которому стремится длина вписанной в нее ломаной линии при неограниченном увеличении числа ее звеньев и при стремлении длины наибольшего звена к нулю.


Длина дуги кривой в прямоугольных координатах


Итак, пусть кривая линия Длина дуги кривой в прямоугольных координатах описывается функцией Длина дуги кривой в прямоугольных координатах на отрезке Длина дуги кривой в прямоугольных координатах. При этом пусть Длина дуги кривой в прямоугольных координатах непрерывна на этом отрезке вместе со своей производной Длина дуги кривой в прямоугольных координатах. Разобьем кривую Длина дуги кривой в прямоугольных координатах на Длина дуги кривой в прямоугольных координатах частичных дуг точками Длина дуги кривой в прямоугольных координатах. Соединив начало и конец каждой частичной дуги хордой, получим в результате вписанную ломаную линию, длина которой равна сумме длин ее звеньев:


Длина дуги кривой в прямоугольных координатах.


Обозначим: Длина дуги кривой в прямоугольных координатах, Длина дуги кривой в прямоугольных координатах,…, Длина дуги кривой в прямоугольных координатах,…, Длина дуги кривой в прямоугольных координатах. Кроме того, Длина дуги кривой в прямоугольных координатах, Длина дуги кривой в прямоугольных координатах,…, Длина дуги кривой в прямоугольных координатах,…, Длина дуги кривой в прямоугольных координатах. В таком случае Длина дуги кривой в прямоугольных координатах можно рассматривать как гипотенузу прямоугольного треугольника и поэтому


Длина дуги кривой в прямоугольных координатах.


Согласно теореме Лагранжа о среднем


Длина дуги кривой в прямоугольных координатах, где Длина дуги кривой в прямоугольных координатах,


следовательно,


Длина дуги кривой в прямоугольных координатах.


Отсюда длина ломаной линии равна

Длина дуги кривой в прямоугольных координатах.


Переходя к пределу в данной интегральной сумме, когда число звеньев ломаной стремится к бесконечности, а длина наибольшего звена стремится к нулю, получаем длину кривой линии в прямоугольной системе координат:


Длина дуги кривой в прямоугольных координатах.


Данный интеграл существует, поскольку по условию производная Длина дуги кривой в
										<div class=

Похожие рефераты: