Xreferat.com » Рефераты по математике » Длина дуги кривой в прямоугольных координатах

Сколько стоит написать твою работу?

Работа уже оценивается. Ответ придет письмом на почту и смс на телефон.

?Для уточнения нюансов.
Мы не рассылаем рекламу и спам.
Нажимая на кнопку, вы даёте согласие на обработку персональных данных и соглашаетесь с политикой конфиденциальности

Спасибо, вам отправлено письмо. Проверьте почту .

Если в течение 5 минут не придет письмо, возможно, допущена ошибка в адресе.
В таком случае, пожалуйста, повторите заявку.

Спасибо, вам отправлено письмо. Проверьте почту .

Если в течение 5 минут не придет письмо, пожалуйста, повторите заявку.
Хотите промокод на скидку 15%?
Успешно!
Отправить на другой номер
?Сообщите промокод во время разговора с менеджером.
Промокод можно применить один раз при первом заказе.
Тип работы промокода - "дипломная работа".

Длина дуги кривой в прямоугольных координатах

кривой в прямоугольных координатах" width="14" height="21" align="BOTTOM" border="0" /> приводит к изменению Длина дуги кривой в прямоугольных координатах от Длина дуги кривой в прямоугольных координатах до Длина дуги кривой в прямоугольных координатах. Пусть функции Длина дуги кривой в прямоугольных координатах и Длина дуги кривой в прямоугольных координатах непрерывны вместе со своими производными на отрезке Длина дуги кривой в прямоугольных координатах и при этом Длина дуги кривой в прямоугольных координатах. Тогда Длина дуги кривой в прямоугольных координатах, а Длина дуги кривой в прямоугольных координатах. Подставим значение данной производной и дифференциала в формулу для длины дуги в прямоугольной системе координат (п. 5):


Длина дуги кривой в прямоугольных координатах.


В случае пространственной кривой ее параметрическое задание будет выглядеть следующим образом:


Длина дуги кривой в прямоугольных координатах


Если указанные функции непрерывны вместе со своими производными на отрезке Длина дуги кривой в прямоугольных координатах, то можно доказать, что длина данной кривой вычисляется по формуле


Длина дуги кривой в прямоугольных координатах.


7. Длина дуги в полярной системе координат


Если кривая задана в полярной системе координат, то она описывается функцией Длина дуги кривой в прямоугольных координатах, где Длина дуги кривой в прямоугольных координатах. Пусть Длина дуги кривой в прямоугольных координатах непрерывна вместе со своей производной на отрезке Длина дуги кривой в прямоугольных координатах.

Перейдем от полярной к прямоугольной системе координат: Длина дуги кривой в прямоугольных координатах. Но так как Длина дуги кривой в прямоугольных координатах, то получаем, что Длина дуги кривой в прямоугольных координатах. Иначе говоря, Длина дуги кривой в прямоугольных координатах и Длина дуги кривой в прямоугольных координатах выражены через параметр Длина дуги кривой в прямоугольных координатах, поэтому можно воспользоваться формулой для длины дуги при ее параметрическом задании (п. 6.):


Длина дуги кривой в прямоугольных координатах


Возведя в квадрат выражения в скобках и выполнив элементарные преобразования, получаем:


Длина дуги кривой в прямоугольных координатах.


Обычно данную формулу записывают следующим образом:


Длина дуги кривой в прямоугольных координатах.


8. Вычисление объемов тел по известным площадям поперечных сечений


Определенный интеграл в некоторых случаях может быть использован и для вычисления объемов тел. Это можно сделать, когда известны площади всех их поперечных сечений.

Длина дуги кривой в прямоугольных координатах


Пусть некоторое тело, объем которого необходимо определить, расположено вдоль оси Длина дуги кривой в прямоугольных координатах между точками Длина дуги кривой в прямоугольных координатах и Длина дуги кривой в прямоугольных координатах. Пусть это тело обладает тем свойством, что известна площадь Длина дуги кривой в прямоугольных координатах его любого поперечного сечения плоскостью Длина дуги кривой в прямоугольных координатах, то есть плоскостью, перпендикулярной оси Длина дуги кривой в прямоугольных координатах. Так как в общем случае величина этого сечения будет меняться, то Длина дуги кривой в прямоугольных координатах. В случае, если поверхность тела является гладкой, а тело сплошным, то Длина дуги кривой в прямоугольных координатах будет непрерывной функцией.

Разобьем отрезок Длина дуги кривой в прямоугольных координатах точками Длина дуги кривой в прямоугольных координатах на частичные отрезки и в каждой полученной точке проведем плоскость, перпендикулярную оси Длина дуги кривой в прямоугольных координатах. Все тело при этом разобьется на слои, а его объем будет равен сумме объемов всех полученных слоев: Длина дуги кривой в прямоугольных координатах.

Найдем приближенно величину объема Длина дуги кривой в прямоугольных координатах-ого слоя Длина дуги кривой в прямоугольных координатах. Для этого рассмотрим отрезок Длина дуги кривой в прямоугольных координатах, длина которого равна Длина дуги кривой в прямоугольных координатах. Возьмем некоторую точку Длина дуги кривой в прямоугольных координатах и проведем в ней секущую плоскость, перпендикулярную оси Длина дуги кривой в прямоугольных координатах. Если Длина дуги кривой в прямоугольных координатах достаточно мало, то слой, соответствующий объему Длина дуги кривой в прямоугольных координатах, можно практически считать прямым цилиндром с поперечным сечением равным Длина дуги кривой в прямоугольных координатах. Но в этом случае, как и у кругового цилиндра, Длина дуги кривой в прямоугольных координатах. Отсюда следует, что


Длина дуги кривой в прямоугольных координатах.


Полученное выражение является интегральной суммой. Так как функция Длина дуги кривой в прямоугольных координатах по условию непрерывна, то предел этой суммы при Длина дуги кривой в прямоугольных координатах и Длина дуги кривой в прямоугольных координатах существует и равен определенному интегралу:


Длина дуги кривой в прямоугольных координатах.


Итак, объем тела с известными поперечными сечениями равен:


Длина дуги кривой в прямоугольных координатах.


9. Объем тела вращения


Рассмотрим теперь тело, полученное в результате вращения криволинейной трапеции вокруг оси Длина дуги кривой в прямоугольных координатах. Пусть основанием этой трапеции является отрезок Длина дуги кривой в прямоугольных координатах, расположенный на оси Длина дуги кривой в прямоугольных координатах, и она ограничена непрерывной кривой Длина дуги кривой в прямоугольных координатах. В этом случае в любом сечении полученного тела плоскостью, перпендикулярной оси Длина дуги кривой в прямоугольных координатах, будет круг, радиус которого совпадает со значением функции Длина дуги кривой в прямоугольных координатах в данной конкретной точке. Поэтому площадь сечения будет равна Длина дуги кривой в прямоугольных координатах.

Подставив данное выражение в формулу для объема тела с известными площадями поперечных сечений, приведенную в предыдущем параграфе, получим:


Длина дуги кривой в прямоугольных координатах.


Если трапеция вращается вокруг оси Длина дуги кривой в прямоугольных координатах, то должна быть задана функция Длина дуги кривой в прямоугольных координатах на отрезке Длина дуги кривой в прямоугольных координатах. В этом случае объем тела вращения равен:


Длина дуги кривой в прямоугольных координатах.


Литература


Крищенко Александр, Канатников Анатолий Аналитическая геометрия: Учебное пособие для студентов высших учебных заведений. Изд-во «Академия», 2009. – 208c.

Макарычев Юрий Тригонометрия. Издательство: ПРОСВЕЩЕНИЕ, 2004. – 360 с.

Потапов Михаил Задачи по алгебре, тригонометрии и элементарными функциями. Издательство: ЭКЗАМЕН XXI, 2008. – 160 с.

Тоом А., Гельфанд И., Львовский С. Тригонометрия. МЦМНО, 2003. – 200 с.