Bilet

Билет №2

1.Точка Х0 наз-ся точкой максимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности точки х0 выполнено неравенство f(x)f(x0)

Окрестностью точки х0 наз-ся любой интервал, сод-щий

эту точку. Например, функция y=-x*x-3 имеет точку максимума х0=0.

Точка х0 наз-ся точкой минимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности х0 выполнено неравенство f(x0) f(x)

Например, функция y=x+2 имеет точку минимума х0=0.

2. 1)Если a1 то уравнение sinx=a корней не имеет, так как sinx1 для любого х.

2)Пусть a1 а) На промежутке –пи/2;пи/2 функция y=sinx возрастает, следовательно по теореме о корне, уравнение sinx =a имеет один корень x=arcsin a.

Б) На промежутке пи/2;3пи/2 функция y=sin x убывает, значит по теореме о корне ур-ие sin x=a имеет одно решение x=пи-arcsin a.

В) учитывая периодичность функции y= sin x (период функции равен 2пи n) решение ур-ия можно записать так: х=arcsin a +2пи n

x=пи- arcsin a +2пи n

решение данного ур-ия можно записать в виде следующей формулы

x=(-1)^n arcsin a + пи n

при четных n(n=2k) мы получим все решения, записанные первой формулой , а при нечетных n(n=2k+1)- все решения записанные второй формулой.

Билет №3

1. арксинусом числа а называется число, для которого выполнены следующие два условия: 1)-p/2 <= arcsin a <= p/2; 2) sin(arcsin a)=a. Из втоого условия следует, что |a|<=1 Пример1. (рис 26) arcsinSQR3 / 2 = p/3, так как: 1) –p/2 <= p/3 <=p/2; 2)sin p/3= SQR3 / 2 Пример2. Arcsin SQR5/2 не имеет смысла, так как SQR5 / 2 >1, a arcsin a определён при –1 Определение Арксинусом числа а называется такое число из отрезка [-Пи/2;Пи/2], синус которого равен а.

2. Если функция F-первообразная функции f на промежутке I, то функция y=F(x)+C (c-const) также является первообразной функции f на промежутке I. Любая первообразная функции f на промежудке I может быть записана в виде F(x)+C. Доказательство. 1) Воспользуемся определением первообразной: (F(x)+C)’=F’(x)+C’=f(x), следовательно, y=F(x)+C – первообразная функции f на промежутке I. 2) Пусть Ф и F- первообразные функции f на промежутке I. Покажем, что разность Ф-F равна постоянной. Имеем (Ф(x) – F(x))’ = Ф’(x) – F'(x)=f(x)-f(x)=0, следовательно, по признаку постоянства функции на интервале Ф(x)-F(x)=C. Значит любую первообразную можно записать в виде F(x)+C. Графики любых двух первообразных для функции y=f(x) получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Ox (рис. 18)

Билет №4

1. Арккосинусом числа а называется такое число, для которого выполнены следующие два условия: 1) 0<=arccosa<=p; 2)cos(arccos a)=a. Из условия 2 следует, что |a|<=1 Пример 1 (рис 28) arccos1/2=p/3, так как: 1)0<= p/3 <= p; 2) cos p/3 = Ѕ. Пример 2. Arccos p не имеет смысла , так как p ~=3,14 > 1; arccos a определён при |a|Б=1

2. Показательной функцией называется функция вида y=a^x, где а- заданное число, а >0, a не равно 1. Свойства показательной функции1) Областью определения показательной функции являются все действительные числа. Это следует из того, что для любого x принадлежащего R определено значение степени a^x (при a>0). 2) Множеством значений показательной функции являются все положительные действительные числа: E(y)=(0;+бескон.) 3) а) Показательная функция y+a^x возрастает на всей области определения, если a>1. б) Показательная функция Y=a^x убывает на всей области определения, если 01, то большему значению аргумента (x2>x1) соответствует большее значение функции (a^x2 > a^x1). Из свойств степени известно, если r>s и a>1, то a^r >a^s. Пусть х2 > x1 и a > 1, тогда a^x2 >a^x1 (по свойству степени). А это означает, что функция y=a^x1 при a>1 возрастает на всей области определения. Докажем, что если 0 < a<1 , то большему значению аргумента (x2>x1) соответствует меньшее значение функции (a^x2 < a^x1). Из свойств степени известно, если r>s и 0x1 и 04) Нет таких значений аргумента, при которых значения показательной функции равны нулю, т.е. у показательной функции нет нулей. 5)Показательная функция непрерывна на всей области определения. 6) Показательная функция дифференцируема в каждой точки области определения, производная вычисляется по формуле (a^x)’ = a^x ln a. (график на рисунке 29)

Билет№ 5

1. На интервале (-Пи/2;Пи/2) функция тангенс возрастает и принимает все значения из R. Поэтому для любого числа а на интервале (-Пи/2;Пи/2) существует единственный корень b уравнения tgx=a. Это число b называют арктангенсом числа а и обозначают arctga. Определение Арктангенсом числа а называется такое число из интервала (-Пи/2;Пи/2) тангенс которого равен а. Пример arctg1=Пи/4, так как tgПи/4=1 и Пи/4(-Пи/2;Пи/2); arctg(-SQR3)=-Пи/3, так как tg(-Пи/4)=-SQR3 и –Пи/3(-Пи/2;Пи/2).

2. Логарифмической функцией называется функция вида y = loga x, где а -заданное число, a>0, a не рано 1. Свойства логарифмической функции1) Областью определения логарифмической функции являются все положительные действительные числа. Это следует из определения логарифма числа b по основанию a; loga b имеет смысл, если b>0 2) Множеством значений логарифмической функции являются все действительные числа. Пусть y0 – произвольное действительное число. Покажем, что найдётся такое положительное значение аргумента x0, что выполняется равенство y0 = logax0. По определению логарифма числа имеем: x0 = a^y0, a^y0 > 0. Мы показали, что нашлось значение x0 > 0, при котором значение логарифмической функции равно у0 (у0 – произвольное действительное число). 3) Логарифмическая функция обращается в нуль при х=1. Решим уравнение logax=0. По определению логарифма получаем: a^0 = x, т.е. x = 1. 4) а) логарифмическая функция y=loga x возрастает на всей области определения, если a>1.Докажем, что большему значению аргумента (х2 > х1) соответствует большее значение функции (loga x2 > loga x1), если a>1. Пусть x2 > x1 > 0; тогда используя основное логарифмическое тождество, запишем это неравенство в виде a^logax2 > a^logax1 . (1) В неравенстве (1) сравниваются два значения показательной функции. Поскольку при a>1 показательная функция возрастает, большее значение функции может быть только при большем значении аргумента, т.е. logax2 > logax1. б)Логарифмическая функция y=logax убывает на всей области определения, если 05) Логарифмическая функция y=logax: а) при a>1 принимает положительные значения, если x>1; отрицательные значения, если 0б) при 01. Пусть a>1, тогда функция y=logax возрастает на всей области определения (рис. 31); причём loga1=0. Из этого следует, что: для x>1 logax > loga1, т.е. logax>0; для 01 logax < loga1, т.е. logax < 0; для 0 loga1, т.е. logax > 0. 6) Логарифмическая функция непрерывна на всей области определения.

Билет №6

1. Пусть на некотором промежутке задана функция y=f(x); x0 – точка этого промежутка; x – приращения аргумента x; x0 + X также принадлежит этому промежутку; y – приращение функции. Предел отношения (если он существует) приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю называется производной функции в точке. Пусть материальная точка движется по координатной прямой по закону x=x(t), т.е. координата этой точки x- известная функция времени t. Механический смысл производной состоит в том, что производная от координаты по времени есть скорость: v(t) = x’(t).

2. 1) Если |a|>1, то уравнение cos x = a решений не имеет, так как |cos x|<=1 для любого x. 2) Рассмотрим случай |a|<=1(рис 35) а) На примежудке [0;Пи] функция y=cosx убывает, значит, уравнение cosx=a имеет один корень x=arccos a. Учитывается, что функция y=cos x – периодическая с периодом 2Пиn, запишем все решения уравнения cosx=a на промежутке [2Пиn; Пи+2Пиn], n принадлежит Z, в виде x = arccos a+ 2Пиn, где n принадлежит Z. Б) На промежутке [-Пи; 0] функция y =cosx возрастает, следовательно, уравнение cosx=a имеет один корень, а именно,x=-arccos a. Учитывая периодичность функции y= cos. Делаем вывод, что решением уравнения cos x = a на промежудке [-Пи+2Пи; 2Пиn], где n принадлежит Z, являются числа вида x=-arccos a + 2 Пиn, где n принадлежит Z. Таким образом, все ершения уравнения могут быть записаны так: x=+-arccos a + 2Пиn, где n принадлежит Z.

Билет № 7

1. Пусть на некотором промежутке задана функция y=f(x); x0-точка этого промежутка; x-приращение аргумента х; точка х0+x принадлежит этому промежутку; y-приращение функции. Предел отношения (если он существует) приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю называется производной функции в точке. Пусть задана дифференцируемая функция y=f(x) (рис.36). Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции в точке x0 равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в точке с абсциссой x0: f’(x0)=R, где R-угловой коэффициент касательной.

2. 1) На промежутке (-Пи.2 ; Пи.2) функция y=tgx возрастает, значит, на этом промежутке, по теореме о корне, уравнение tgx=a имеет один корень, а именно, x=arctg a (рис 37). 2) Учитывая, что период тангенса равен Пиn, все решения определяются формулой x=arctg a + Пиn, nпринадлежит Z.

Билет №8

1) Пусть ф-ция f(x) задана на некотором промежутке, а –точка этого промежутка. Если для ф-ции выполняется приближенное равенство f(x)f(a)

с любой , наперед заданной точностью, для всех х , близки х к а , то говорят , что ф-ция непрерывна в точке а. Иными словами ф-ция f непрерывна в точке а , если f(x)f(a) при ха.

Ф-ция непрерывная в каждой точке промежутка наз-ся непрерывной на промежутке.

Гр. непрерывной на промежутке ф-ции представляет собой непрерывную линию. Иными словами гр. можно нарисовать не отрывая карандаша от бумаги.

Например ф-ция f(x)=3^x непрерывна в точке х0=2.Действаительно 3^x 3^2, при хФ-ция f(x)=3^x непрерывна на множестве всех действительных чисел , а ее график можно нарисовать не отрывая карандаша от бумаги.

2) Арифметическим корнем n-ой степени из числа а наз-ся неотрицательное число n-ая степень к-рого равна а.

Св-ва корней: Для любых натуральных n, целого k и любых неотрицательных чисел a и b выполняются следующие св-ва:

1. N sqr ab= n sqr a * n sqr b

2. n sqr (a/b)= (n sqr a)/( n sqr b) b 0

3. n sqr (k sqr a)= kn sqr (a), k> 0

4. n sqr (a) = kn sqr (a^k) ,k>0

5. n sqr (a^k)=( n sqr a)^k (ели kто а

6. Для любых неотрицательных чисел а и b таких, что а < b выполняется неравенство:

n sqr a< n sqr b, если 0a

Док-во св-ва №5: По опр-нию корня n-ой степени (n sqr a^k)^n=a^k; (n sqr a)^k0, так как n sqr a0. Найдем n-ю степень выражения (n sqr a)^k. По св-ву возведения степени в степень ((n sqr a)^k)^n=(n sqr a)^nk=(( n sqr a)^n)^k;по определению корня n-ой степени ((n sqr a)^n)^k=a^k.

Следовательно n sqr a^k=( n sqr a)^k.

Билет №9

1. Все рациональные и дробно-рациональные ф-ции непрерывны на всей области определения. Этот факт следует из того что рациональные и дробно-рациональные ф-ции дефференцируемы во всех точках своих областей опр-ия.

Например: ф-ция f(x)=x^3-7X^2+24x непрерывна на множестве действительных чисел; а ф-ция g(x)=(x^3+8)/(x-2) непрерывна на промежутке (-:2) и на промежутке (2;+ )

2. Логарифмом числа b наз-ся показатель степени в к-рую нужно возвести основание а чтобы получить число b.

Из опр-ия имеем: a^ logab =b (осн-ое лог-ое тождесто)

Св-ва логарифмов: При любом а>0(а1), и любых пол-ных х и у выполняются следующие св-ва:

1. loga1=0

2. logaа=1

3. loga(ху)= logaХ+ logaУ

Док-во: Воспользуемся осн-ным лог-им тождеством

a ^ logab =b и св-ом показат-ной ф-ции

а^ х+у =а^x * а^y имеем

а^ loga(xy)=xy= a^ logax *a^ logay =a ^logax +logay

4. loga(Х/У)= logaХ- logaУ

5. logaХ^Р= рlogaХ

6. Формула перехода:

logaХ= logbX/ logbA

Билет №10.

1. Ф-ция F наз-ся первообразной ф-ции f на промежутке I, если для всех значений аргумента из этого промежутка F(x)=f(x). Например ф-ция F(x)=4x^2+3x-1 явл-ся первообразной ф-ции f(x)=12x^3 на множестве всех действительных чисел. Действительно F(x)=12X^2+3 , т.е. F(x)=f(x).

2. Если каждому действительному числу поставлен в соответствие его тангенс , то говорят , что задана ф-ция тангенс. Обозначается это так: y=tg x.

Св-ва:1) Областью опр-ния ф-ции явл-ся все действительные числа, кроме чисел вида

X=пи/2 +пи k, kZ.

Это следует из опред-ия тангенса (tg x=sin x/cos x). Нужно искл-ть числа, при к-рых знаменатель cos x=0 т.е. х= пи/2+пи k, kZ.

2) Множеством значений ф-ции явл-ся все действительные числа:Е(у)=(-;+).

3) Ф-ция явл-ся нечетной ф-цией, т.е. для любого хD(y) выполняется нер-во tg(-x)=-tg x . покажем это, tg (-x)=sin (-x)/cos (-x)= -sin x/cos x= -tg x

4) Ф-ция явл-ся периодической с периодом пи k ,где k-целое кроме 0.Наименьшим положительным периодом тангенса явл-ся число пи.

5) Ф-ция тангенс принимает значения 0 при х=пи k, kZ. Решением ур-ия tg x=0 явл-ся числа х=пи k, kZ

6) Ф-ция tg принимает положительные значения при пи kZ.

Ф-ция tg принимает отрицательные значения при

-пи/2+пи kZ . Промежутки знакопостоянства следуют из опр-ия tg x=sin x/cos x.

7) Ф-ция tg возрастает на всей области опр-ия т.е. на промежутках (-пи/2+пи k; пи/2 +пи k) kZ

Билет №11

1. Пусть на отрезке [a;b] задана непрерывная и неотрицательная функция y=f(x); S-площадь соответствующей криволинейной трапеции (рис42). Для вычисления площади S разобьём отрезок [a;b] на n равных отрезков, длинна каждого отрезка [Xj;Xj+1] равна b-a / n; на каждом из отрезков построим прямоугольник, высота которого равна значению функции f(Xj); площадь такого прямоугольника равна f(Xj)*X=f(Xj) * b-a / n. При увеличении числа промежутков, на которые разбивается отрезок [a;b], ступенчатая фигура, состоящяя из прямоугольников, будет «мало отличатся» от криволинейной трапеции, и если Sn-сумма площадей всех прямоугольников, то Sn~=S. В курсе математического анализа показывается, что для любой непрерывной на отрезке [a;b] функции y=f(x) существует число, к которому стремится сумма площадей прямоугольников при неограниченном увеличении n(n ). Это число называют интегралом, т.е. Sn  integral (a;b) f(x) dx при n

2. Если каждому действительному числу поставлен в соответствие его синус, то говорят, что задана функция синус (обозначение y=sin x). Свойства функции синус 1) Область определения функции синус является множество всех действительных чисел, т.е. D(y)=R. Каждому действительному числу х соответствует единственная точка единичной окружности Px, получаемая поворотом точки P0(1;0) на угол, равный х радиан. Точка Рх имеет ординату, равную sinx. Следовательно, для любого х определено значение функции синус. 2) Множеством значений функции синус является промежуток [-1;1], т.е. E(y)=[-1;1]. Это следует из определения синуса: ордината любой точки единичной окружности удовлетворяет условию –1 <= Ypx<=1, т.е. –1<=sin x<=1 3)Функция синус является нечётной, т.е. для любого х принадлежащего R выполняется равенство sin(-x)=-sinx. Пусть точка Рх получена при повороте точки Р0 на х радиан, а точка Р-х получена при повороте точки Р0 на –х радиан (рис 43). Треугольник ОрхР-х является равнобедренным; ON-биссектриса угла РхОР-х, значит, ON является медианой и высотой, проведённой к стороне РхР-х. Следовательно, PxN = P-xN, т.е. ординаты точек Рх и Р-х одинаковы по модулю и противоположны по знаку. Это означает, что sin(-x)=-sinx. 4) Функция синус является периодической с периодом 2ПиR, где R- целое. Кроме 0. Наименьшим положительным периодом синуса является число 2Пи. Каждому действительному числу вида x+2ПиR, где R принадлежит Z, соответствует единственная точка единичной окружности Рх + 2ПиR, получаемая поворотом точки Р0(1;0) на угол x+2ПиR имеет ординату, равную sinx или sin(x+2ПиR). Таким образом, sin(x+2ПиR)=sinx. Этим показано, что числа вида 2ПиR, где R- целое, кроме 0, являются периодом функции. При R=1 имеем sin(x+2Пи)=sinx, следовательно, число 2Пи также является периодом функции синус. Покажем, что 2Пи-наименьшее положительное число, являющееся периодом функции синус. Пусть Т – положительный период функции синус; тогда sin(x+T)=sinx при любом х. Это равенство верно и при x= Пи.2, т.е. sin(пи/2 + T)=sin Пи/2 = 1. Но sinx=1,если x= Пи/2 + 2Пиn, где n принадлежит Z. Наименьшее положительное число вида 2Пиn есть 2Пи. 5) Функция синус принимает значение нуль при x=ПиR, где R принадлежит Z. Решением уравнения sinx=0 являются числа x=ПиR, где R принадлежит Z. 6) Функция синус принимает положительные значения при 2ПиR7) Функция синус возрастает на промежутках [-Пи/2 + 2ПиR; Пи/2 + 2ПиR], где R принадлежит Z, и убывает на промежутках [Пи/2 + 2ПиR; 3Пи/2 + ПиR], где R принадлежит Z Докажем, что функция синус возрастает на промежутке [-Пи/2; Пи/2]. Пусть х1принадлежит [-Пи /2; Пи /2] и х2>x1. Сравним два значения функции: sinx2 – sinx1 = 2cos x1+x2/2 * sin x2-x1/2; 0< x2-x1/2 <= Пи/2, -Пи/2 < x1+x2/2< Пи/2, поэтому, учитывая промежутки знакопостоянства синуса и косинуса, имеем sin x2-x1/2 > 0, cos x1+x2/2>0. Таким образом, sinx2-sinx1>0, значит, большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. функция синус возрастает на промежутке [-Пи/2; Пи/2]. В силу периодичности синуса можно утверждать, что синус возрастает на промежутках [-Пи/2 + 2ПиR; Пи/2 + 2ПиR], где R принадлежит Z. 8) Функция синус имеет максимумы , равные 1, в точках Пи/2 + 2ПиR, где где R принадлежит Z. Функция Синус имеет минимумы, равные –1, в точках 3Пи/2 + 2ПиR, где R принадлежит Z. Покажем, что точка х0=Пи/2 является точкой максимума. Функция синус возрастает на промежутке [-Пи/2; Пи/2], т.е. sinx9) Функции арксинус дифференцируема в каждой точке области определения; производная вычисляется по формуле (sin x)’=cosx. (рис 45)

Билет №12

1. Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b]; F-первообразная функции. В этом случае интеграл (a;b) f(x)dx = F(b) – F(a). Пример Вычислить : Интеграл (0;Пи)cos(2x – Пи/4) dx = Ѕsin(2x – Пи/4)|(0;Пи)= Ѕsin(2Пи - Пи/4) – Ѕsin(-Пи/4)=Ѕsin(-Пи/4) + Ѕsin(Пи/4)=-SQR2/4 + SQR2/4 = 0.

2. Если каждому действительному числу поставить в соответствие его косинус, то говорят, что задана функция косинус. Свойства функции косинус 1)D(y)=R Каждому действительному числу х соответствует единственная точка единичной окружности Рх, получаемая поворотом точки Р0 (1;0) на угол х радиан. Точка Рх имеет абсциссу, равную cos x. Следовательно, для любого х определено значение функции y=cosx. 2)Множеством значений функции косинус является промежуток [-1;1], т.е. E(y)=[-1;1]. Это следует из определения косинуса: абцисса любой точки единичной окружности удовлетворяет условию –1<=Xpx <=1, т.е. –1<= cosx<=1. 3)Функция косинус является чётной, т.е. для любого x R выполняется равенство cos(-x)=cosx. Пусть точка Рх получина при повороте точки Ро на х радиан, а точка Р-хполучина при повороте точки Р0 на –х радиан(рис46). Треугольник ОрхР-х является равнобедренным; ON – биссектриса угла РхР-х, значит, является и высокой, проведённой к стороне РхР-х. Из этого следует, что точки Рх и Р-х имеют одну и ту же абсциссу ON, т.е. cos(-x)=cosx. 4)Функция косинус является периодической с периодом 2ПиR, где R-целое, кроме 0. Наименьшим положительным периодом косинуса являеися число 2Пи. Каждому действительному числу вида x+2ПиR, где RZ,соответствует единственная точка единичной окружности Рх+2ПиR, получаемая поворотом точки Р0 (1;0) на угол (x+2ПиR) радиан. Точка Рх+2ПиR имеет абсциссу, равную cosx или cos(x+2ПиR), где RZ. Таким образом, cosx=cos(x+2ПиR). При R=1 имеем cosx=cos(x+2Пи), следовательно, число 2Пи является периодом функции косинус. Покажем, что 2Пи – наименьший положительный период. Пусть Т-положительный период косинуса; тогда cos(x+T) = cosx при

   Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.

   Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

   Подробнее

   Поможем написать работу на аналогичную тему

   Реферат

   Любая тема

   От 850 руб.

   Контольная работа

   Любая тема

   От 850 руб.

   Курсовая

   Любая тема

   От 1500 руб.

   Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

   Узнать стоимость
   Нужна помощь в написании работы?

   Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

   Узнать цену
   Страницы: 1 2