Xreferat.com » Рефераты по математике » Основы теории вероятностей

Основы теории вероятностей

1. Пять студентов садятся в поезд, имеющий десять вагонов. Каждый из студентов с одинаковой вероятностью может сесть в любой из вагонов. Какова вероятность того, что двое студентов окажутся в одном вагоне, а остальные – в разных?


Решение

Общее число возможных элементарных исходов для данных испытаний равно числу способов, которыми 5 студентов может сесть в один из 10 вагонов, то есть:


Основы теории вероятностей


Подсчитаем количество благоприятствующих исходов событию А:

Двое студентов из пяти сели в один вагон (из 10):


Основы теории вероятностей- возможных сочетаний 2 студентов из 5

Основы теории вероятностей - возможных исходов


Один из оставшихся студентов садится в один из оставшихся 9 вагонов:

Количество студентов для перебора – 3.

Кол-во вагонов для перебора – 9.


Основы теории вероятностей


Один из оставшихся студентов садится в один из оставшихся 8 вагонов: Количество студентов для перебора – 2.

Кол-во вагонов для перебора – 8.

Основы теории вероятностей


Последний студентов садится в один из оставшихся 7 вагонов:

Количество студентов для перебора – 1.

Кол-во вагонов для перебора – 7.


Основы теории вероятностей


Итого количество благоприятствующих исходов


Основы теории вероятностей


Искомая вероятность:


Основы теории вероятностей


Ответ: 0,15%


2. В одном альбоме из 100 марок 45 марок погашены. В другом альбоме, содержащем такое же число марок, погашенных нет. Из первого альбома во второй переложена марка. Какова вероятность того, что извлеченная наугад марка из второго альбома окажется непогашенной?


Решение

Обозначим через А событие – "извлеченная наугад марка из второго альбома окажется непогашенной".

После того как из первого альбома переложили во второй одну марку, во второй урне оказалось две совокупности марок:

100 не погашенных марок, первоначально содержащихся в альбоме;

Одна марка, переложенная из первого альбома.

Вероятность появления непогашенной марки из первой совокупности равна Основы теории вероятностей, т.к. все марки, первоначально содержащиеся в альбоме, непогашенные, а из второй Основы теории вероятностей.

Вероятность того, что извлеченная наугад марка принадлежит первой совокупности Основы теории вероятностей, где Основы теории вероятностей - кол-во вариантов благоприятствующих событию (100 марок в первой совокупности), и Основы теории вероятностей - общее кол-во вариантов (100 марок плюс одна переложенная из первого альбома). Аналогично вероятность того, что извлеченная наугад марка принадлежит второй совокупности Основы теории вероятностей

Используя формулу полной вероятности, получим:


Основы теории вероятностей


Ответ: Основы теории вероятностей


3. Что вероятнее: при бросании четырех игральных костей хотя бы на одной получить единицу, или при 24-х бросаниях двух игральных костей хотя бы раз получить две единицы?


Решение

Обозначим А событие – при бросании четырех игральных костей хотя бы на одной выпадет единица.

Вероятность выпадения единицы для всех костей одинакова и равна Основы теории вероятностей, соответственно вероятность выпадения другого числа равна Основы теории вероятностей.

Событие А подразумевает выпадение единицы на одной игральной кости или на двух, на трех, на четырех. Обратным для данного события будет событие, при котором ни на одной игральной кости не выпадет единицы. Найдем вероятность данного события. Выпадение числа отличного от единицы на каждом из 4ех кубиков это независимые события, поэтому применить теорему умножения, получим:


Основы теории вероятностей


Вероятность события А равна:


Основы теории вероятностей


Событие В – при 24х бросаниях 2х костей хотя бы раз выпадет две единицы.

Вероятность выпадения двух единиц равна Основы теории вероятностей, вероятность выпадения одной или нуля единиц равна Основы теории вероятностей.

Для вычисления вероятности появления события В так же удобно найти вероятность обратного события, т.е. вероятность события при котором ни в одном испытании не выпаде двух единиц. Для вычисления вероятности воспользуемся формулой Бернулли:


Основы теории вероятностей


Итак,

Основы теории вероятностей


Вероятность события В равна:


Основы теории вероятностей


Ответ: Основы теории вероятностей событие А вероятнее.


4. Каждый из пяти студентов может с одинаковой вероятностью сесть в любой из четырех идущих друг за другом автобусов. Построить ряд распределения, найти функцию распределения, математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение числа студентов, севших в первый автобус. Найти вероятность того, что: а) в первый автобус сел хотя бы один студент, б) в первый автобус село не более трех студентов.


Решение

Вероятность студента сесть в один из 4х автобусов равна Основы теории вероятностей, вероятность для всех студентов одинакова, Основы теории вероятностей.

Построим ряд распределения случайной величины Х - число студентов, севших в первый автобус.


Основы теории вероятностей


Вычислим вероятность для каждого Основы теории вероятностей, используя формулу Бернулли:


Основы теории вероятностей


Построим ряд распределения случайной величины Х:


Основы теории вероятностей

0 1 2 3 4 5

Основы теории вероятностей

0,2373 0,3955 0,2637 0,0879 0,0146 0,001

Найдем математическое ожидание по формуле:


Основы теории вероятностей


Дисперсию найдем по формуле:


Основы теории вероятностей


Среднеквадратическое отклонение: Основы теории вероятностей

а) вероятность того, что в первый автобус сел хотя бы один студент:

сумма вероятностей ряда распределения равна единице, поэтому допустимо вычислить вероятность от обратного(в автобус не село ни одного студента).

Основы теории вероятностей


б) вероятность того, что в первый автобус село не более трех студентов: можно рассмотреть событие: в автобус не село 4 или 5 студентов.


Основы теории вероятностей


5. Распределение случайной величины X определяется плотностью распределения вероятностей (распределение Лапласа): Основы теории вероятностей. Найти функцию распределения вероятностей F(x) и построить графики функций f(x) и F(x). Найти M(X), D(X) и σ. Вычислить вероятность попадания случайной величины X в промежуток Основы теории вероятностей.


Решение

По определению функция распределения — это интеграл от плотности распределения:


Основы теории вероятностей


Для интегрирования необходимо рассмотреть два случая: Основы теории вероятностей и Основы теории вероятностей


Основы теории вероятностей

Основы теории вероятностей

Графики функций для Основы теории вероятностей

Основы теории вероятностей


Математическое ожидание и дисперсия

В показателе экспоненты функции плотности содержится модуль разности, поэтому интервал Основы теории вероятностей необходимо разбить наОсновы теории вероятностей и Основы теории вероятностей. Интегралы берутся по частям, при подстановке бесконечностей Основы теории вероятностей рассматриваются пределы вида Основы теории вероятностей.

Мат. ожидание:


Основы теории вероятностей


Дисперсия:

Основы теории вероятностей

Основы теории вероятностей

Основы теории вероятностей


Вычислим вероятность попадания случайной величины X в промежуток Основы теории вероятностей:


Основы теории вероятностей

Основы теории вероятностей

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: