Кривые третьего и четвертого порядка

Чувашский государственный университет им. И.Н. Ульянова

Кафедра высшей математики

КУРСОВАЯ РАБОТА

на тему:

«Кривые третьего и четвертого порядка»

Выполнили: студенты

группы С-12-00

Пинаев И.Н.

Искаков Р.Р.

Проверила:

доцент кафедры высшей математики

к.ф.-м.наук Самарина С.М.

Чебоксары, 2002

Декартов лист

1. Особенности формы. Декартовым листом называется кривая 3-го порядка, уравнение которой в прямоугольной системе имеет вид

(1)

Иногда удобно пользоваться параметрическими уравнениями декартова листа, которые можно получить, полагая y=tx, присоединяя к этому равенству равенство (1) и решая полученную систему относи­тельно х и у, в результате будем иметь:

откуда следует, что декартов лист является рациональной кривой.

Заметим еще, что полярное уравнение декартова листа имеет вид

(3)

Координаты х и у входят в уравнение декартова листа симмет­рично, откуда следует, что кривая симметрична относительно биссектрисы у=х. Обычное исследование на особые точки при­водит к заключению, что начало координат является узловой точкой декартова листа. Уравнения касательных к алгебраической кривой в ее особой точке, совпадающей с началом координат, можно получить, как известно, приравнивая нулю группу членов низшей степени из уравнения этой кривой. В нашем случае имеем З аху = 0, откуда получим х = 0 и у = 0 – искомые уравнения касательных в узловой точке. Эти касательные совпадают с координатными осями и, следовательно, в начале координат кривая пересекает сама себя под прямым углом. Легко видеть, что в первом координатном угле кривая делает петлю, которая пересекается с прямой у = х в точке

Точки этой петли, в которых касательные парал­лельны координатным осям, имеют координаты

и (cм. рис. 1)

Для окончательного заключения о форме кривой следует еще найти асимптоту Заменяя в уравнении кривой у на приравняем нулю в полученном уравнении коэффициенты двух членов с высшими степенями х. Получим

и b = - а. Таким образом, де­картов лист имеет асимптоту

у = — х — а; следовательно, во 2-м и 4-м координатных углах ветви декартова листа уходят в бесконечность.

Рис. 1

2. Свойства. Согласно теоре­ме Маклорена, если в трех точках алгебраи­ческой кривой 3-го порядка, ле­жащих на одной прямой, про­вести касательные к этой кривой, то точки их пересечения с кривой будут лежать также на прямой линии. Применительно к декартову листу эта теорема доказывается просто. Выведем с этой целью предварительно условие пребывания трех точек декартова листа, соответствующих значениям t₁ , t₂ и t₃ параметра, на одной прямой. Если уравнение прямой имеет вид y=kx+b, то значения параметра, соответствующие точкам пере­сечения этой прямой с кривой, должны удовлетворять системе

Система эта приводит к уравнению

корни которого и будут искомыми значениями t₁ , t₂ и t₃ параметра, откуда следует, что

(4)

Это равенство и является условием пребывания трех точек M₁(t₁ ), M₂(t₂), М₃ (t₃) декартова листа на одной прямой.

Располагая этим условием, покажем справедливость теоремы Маклорена для декартово листа. Действительно, касательную в точке M₁ (t₁) можно рассматривать как прямую, которая пересекает декар­тов лист в двух совпадающих между собой точках, для которых t₂=t₁, и в третьей точке, для которой соответствующее значение параметра обозначим через T₁. Условие (4) примет вид t₁² T₁= -1. Для касательных в точках М₂ и M₃ получим аналогичные соотношения t₂² T₂ = -1 и t₃² T₃ = -1. Перемножая эти три равен­ства, будем иметь

(t₁t₂t₃)²T₁T₂T₃ = -1. откуда на основании (4) заключаем, что и T₁T₂T₃ = -1, т. е. точки N₁(T₁), N₂(T₂) и N₃(T₃) лежат на одной прямой.

Определяя площадь, ограниченную петлей декартова листа, получим:

3. Способ построения. Заметим предварительно, что если ось симметрии декартова листа принять за ось абсцисс, то уравнение его примет вид

(5)

Пусть теперь имеется окружность с радиусом r и центром в точке

и прямая х= -h. Возьмем произвольную точку Q этой окружности и проведем прямую QA и прямую QN, перпендикуляр­ную к оси абсцисс (рис. 2). Из точки пересечения R прямой QA с прямой х= -h проводим прямую RO до пересечения ее в точке Q₁ с прямой QN. Та­ким образом, точке Q на окруж­ности будет поставлена в соответ­ствие точка Q₁. Геометрическое место точек Q₁ представляет со­бой декартов лист.

Рис 2.

Для доказательства заметим, что координаты точки Q можно записать в виде

угол, состав­ляемый радиусом круга, проведенным в точку Q, с положительным направлением оси абсцисс. В соответствии с этим уравнение прямой QA может быть записано в виде

Полагая в этом уравнении х= -h, находим ординату

точки R. Отсюда следует, что уравнение прямой RQ₁ запишется в виде

(6)

В то же время уравнение прямой Q₁N имеет вид

(7)

Исключая из уравнений (6) и (7) параметр w, находим уравнение гео­метрического места точек Q₁ в виде

Сопоставляя его с уравнением (5), заключаем, что найденное геомет­рическое место точек является декартовым листом.

Преобразование точек окружности в точки декартова листа, осу­ществляемое при таком его построении, называется преобразованием Маклорена.

4. Историческая справка. Впервые в истории математики кривая, названная впоследствии декартовым листом, определяется в письме Декарта к Ферма в 1638 г. как кривая, для которой сумма объемов кубов, построенных на абсциссе и ординате каждой точки, равняется объему параллелепипеда, построенного на абсциссе, ординате и неко­торой константе. Форма кривой устанавливается впервые Робервалем, который находит узловую точку кривой, однако в его представлении кривая состоит лишь из петли. Повторяя эту петлю в четырех квад­рантах, он получает фигуру, напоминающую ему цветок с четырьмя лепестками. Поэтическое название кривой «лепесток жасмина», однако, не привилось. Полная форма кривой с наличием асимптоты была определена позднее (1692) Гюйгенсом и И. Бернулли. Название «декартов лист» прочно установилось только с начала 18 века.

Циссоида Диоклеса

1. Особенности формы. Среди многих способов образования циссоиды—кривой, открытой древними в поисках решения знамени­той задачи об удвоении куба, мы остановимся сначала на простейшем. Возьмем окружность (называемую производящей) с диаметром ОА=2а и касательную АВ к ней. Через точку О проведем луч ОВ и на нем отложим отрезок ОМ=ВС. Построенная таким обра­зом точка М принадлежит циссоиде. Повернув луч 0В на некоторый угол и проделав указанное построение, мы найдем вторую точку циссоиды, и т. д. (Рис. 3).

Если точку О принять за полюс, то но откуда получаем полярное уравнение циссоиды

(1)

Пользуясь формулами перехода от полярных координат к декартовым, найдем уравнение циссоиды в пря­моугольной системе:

(2)

Параметрические уравнения циссоиды можно получить, пола­гая x=ty, тогда, на основании уравнения (2), придем к системе

Рис. 3

Уравнение (2) показывает, что циссоида является алгебраической кривой 3-го порядка, а из уравне­ний (3) следует, что она является рациональной кривой.

Циссоида симметрична относи­тельно оси абсцисс, имеет бесконеч­ные ветви; касательная к производящей окружности, т. е. прямая х = 2а, служит для нее асимптотой; начало координат является точ­кой возврата 1-го рода.

2. Свойства. Кинематически циссоида может быть получена как траектория середины М катета ВС треугольника АВС, передвигаю­щегося в плоскости чертежа так, что его вершина В скользит по оси ординат, а другой катет АС всегда проходит через неподвижную точку Е на оси абсцисс. (Рис. 4)

Действительно, обозначив середину отрезка ОЕ через D, замечаем, что поскольку ВС=ЕО,  ВСЕ= ВЕО, откуда /_ ВЕО = /_ СВЕ, и, следовательно,  NBE— равнобедренный, а так как ЕD=ЕО/2=ВС/2=ВМ, то отрезок DM параллелен отрезку BE. Пусть, далее, точка К есть точка пересечения с продолжением отрезка DM пря­мой, проходящей через точку В параллельно оси абсцисс. Опишем окружность с центром в начале координат и радиусом, равным OD, и проведем к ней касательную во второй точке пересечения с прямой ЕО. Она пройдет, очевидно, через точку К. Обозначив точку пересечения прямой DMK с окружностью через F, заметим, что тре­угольники DOF и МВК равны между собой. Из равенства их сле­дует, что DF=MK, а значит, и DM=FK. Последнее равенство и показывает, что геометрическое место точек М будет циссоидой.

Другие способы образования циссоиды основаны на ее соотноше­ниях с параболой. Покажем в первую очередь, что циссоида яв­ляется подэрой параболы относительно ее вершины.

– уравнение данной параболы. Уравнение каса­тельной в произвольной точке М (, ) этой параболы можно записать в виде уравнение перпендикуляра, опущенного из

Рис. 4.

начала координат на эту касательную, будет координаты точки N пересечения его с касательной определятся по формулам

(4)

Исключая из этих равенств параметр , мы получим уравнение

выражающее циссоиду.

Заметим далее, что координаты точки, симметричной началу коор­динат относительно касательной к параболе у² = 2рх, получатся, если правые части формул (4) удвоить, и, следовательно, определятся формулами

Исключая из этих равенств параметр , мы снова получим циссоиду с уравнением Отсюда следует, что циссоида является геометрическим местом точек, симметричных вершине параболы относительно ее каса­тельных.

Следует заметить, что геометрическое место точек, симметричных началу координат относительно касательной к параболе, можно рас­сматривать как траекторию вершины другой параболы, одинаковой с данной, которая катится по данной параболе. Таким образом, возни­кает новый способ кинематического образования циссоиды как тра­ектории вершины параболы, которая без скольжения катится по другой такой же параболе.

Остановимся на метрических свойствах циссоиды; при этом нам будет удобно пользоваться параметрическими уравнениями циссоиды в виде

Площадь, ограниченная циссоидой и ее асимптотой, равняется утроенной площади производящего круга; действительно,

Это соотношение получено было Гюйгенсом и независимо от него Ферма.

Рис. 5.

Определяя площадь криволинейного треугольника ОАМС (рис.5), найдем, интегрируя в границах до что она равна Если теперь провести касательные в точках А и С к производящему кругу, то площадь криволинейного треугольника CMANC будет равна

Выражение, стоя­щее в правой части, определяет утроенную площадь криволинейного треугольника CLANC. Итак, пл. CMANC =3 пл. CLANC. Это соотношение было открыто также Гюйгенсом.

Объем тела, образованного вращением части плоскости, ограни­ченной циссоидой и ее асимптотой, вокруг оси ординат определится по формуле

Если учесть, что объем тора, получаемого от вращения производя­щего круга вокруг оси ординат, равняется то из полученного результата следует, что объем тела, получаемого вращением части плоскости, ограниченной циссоидой и ее асимптотой, вокруг оси ординат, в пять раз больше объема тора, полученного от вра­щения производящего круга вокруг той же оси. Это соотношение было получено также Гюйгенсом.

Пусть теперь х_с — абсцисса центра тяжести части плоскости, ограниченной циссоидой и ее асимптотой; тогда по теореме Гюльдена будем иметь V == U • 2х_с, где V и U—соответственно объем и площадь, которые были определены выше. Подставляя их значения

в соотношение Гюльдена, получим

Таким образом, центр тяжести части плоскости, ограни­чиваемой циссоидой и ее асимптотой, делит отрезок между вершиной и асимптотой на две части, отношение которых равно 5.

Это соотношение позволяет в свою очередь определить объем тела, полученного вращением циссоиды вокруг ее асимптоты. По тео­реме Гюльдена будем иметь

Этот результат можно истолковать также как объем тора, полученного от вращения производящего круга вокруг асимптоты. Таким образом, объем тела, полученного вращением циссоиды во­круг ее асимптоты, равен объему тора, полученного от вращения производящего круга. Это соотношение установлено впервые Слюзом.

Длина дуги циссоиды от ее вершины до точки с абсциссой х определится по формуле

3.Применение циссоиды к решению делосской задачи. Как уже говорилось, циссоида была открыта древними в поисках решения делосской задачи об удвоении куба. История возникновения этой задачи, согласно легенде, передаваемой Эратосфеном, такова: на острове Делосе жители страдали от мора, посланного им богами; по предсказанию оракула богов можно было умиротворить, удвоив объем жертвенника, имевшего форму куба. Суть задачи сводилась к определению ребра куба, объем которого был бы в два раза больше объема данного куба. Что касается самого повода постановки задачи, то справедливо полагать, что «пифия находилась скорее под внуше­нием математиков, нежели вдохновлялась самим богом» (Цейтен), так как задача об удвоении куба являлась естественным перенесением в пространство планиметрической задачи о построении квадрата с пло­щадью, в два раза большей площади данного квадрата, и, следовательно, могла скорее возникнуть в сознании математика, нежели в сознании оракула.

Открытие циссоиды для целей решения делосской задачи при­писывается Диоклесу, жившему в 3 веке до нашей эры. Воз­можность найти графическим путем ребро куба с объемом, в два раза большим объема данного куба, усматривается из следую­щих соображений. Пусть b – ребро данного куба, а В – ребро искомого; тогда и, следовательно, Отсюда ясно, что графическое решение задачи должно свестись к построению

Пе­репишем для этой цели уравнение циссоиды в виде Заметим далее, что прямая отсекает от касательной отрезок (рис. 6)

(5)

и пересекает циссоиду в точке М, координаты которой удо­влетворяют уравнению

Это уравнение можно рассматривать как уравнение прямой, проходящей через точку А (2а, 0) и отсекающей на оси ординат отрезок

(6)

Если теперь принять и на оси ординат отложить отрезок ОС == 2, соединить затем точку С с точкой А(1, 0), а точку пересечения прямой СА с циссоидой соединить с точкой О и продолжить полученный отрезок до пересечения с касательной, то, как это следует из фор­мул (5) и (6), отрезок AD и будет равен

Древние рассматривали только ту часть циссоиды, которая нахо­дится внутри производящего круга. Вместе с дугой окружности производящего круга эта часть образует фигуру, напоминающую лист плюща, откуда проистекает название кривой. Наличие бесконечных ветвей у циссоиды было установлено в 17 веке Робервалем и неза­висимо от него Слюзом. Кинематический способ образования циссоиды с помощью треугольника приписывается Ньютону, который выполнил также спрямление циссоиды не только аналитическим путем, но и графическим.

Рис. 6

Кардиоида

1.Уравнение. Кардиоиду можно определить как траекторию точ­ки, лежащей на окружности круга радиуса r, который катится по ок­ружности неподвижного круга с таким же радиусом. Она будет представ­лять собой, таким образом, эпициклоиду с модулем m, равным 1.

Это обстоятельство позволяет сразу же записать параметрические уравнения кардиоиды, заменяя в ранее приведенных параметрических уравнениях эпициклоид модуль m единицей. Будем иметь:

(1)

Чтобы получить полярное уравнение кардиоиды, удобно принять за полюс точку А (рис.7), а полярную ось направить по оси абсцисс. Так как че­тырехугольник AOO₁M бу­дет равнобедренной трапе­цией, то полярный угол  точки М окажется равным углу поворота производя­щего круга, т. е. парамет­ру t. Учитывая это обстоя­тельство, заменим во вто­ром уравнении системы (1) у через  sin t. Сокращая по­лученное таким образом ра­венство на sin t, получим полярное уравнение кардио­иды

Рис. 7

По виду этого уравнения

можно заключить, что кардиоида является одной из улиток Па­скаля. Она может быть определена, следовательно, как конхоида круга.

Переводя уравнение (2) в прямоугольную систему координат, получим:

(3)

Из этого уравнения следует, что кардиоида является алгебраической кривой 4-го порядка.

2. Свойства. Прежде всего, поскольку кардиоида является эпи­циклоидой с m=1, на нее можно перенести все свойства рассмот­ренных нами в предыдущем параграфе эпициклоид.

Вот эти свойства и характеристики.

1. Касательная в произвольной точке кардиоиды проходит через точку окружности производящего круга, диаметрально противопо­ложную точке касания кругов, а нормаль — через точку их касания.

2. Угол , составляемый касательной к кардиоиде с радиусом-вектором точки касания, равен половине угла, образуемого этим радиусом-вектором с полярной осью. Действительно

Из этого соотношения непо­средственно вытекает, что угол, составляемый касательной к кардио­иде с осью абсцисс, равняется (как внешний угол треугольника AMN Рис.8). Располагая формулой можно доказать, что касательные к кардиоиде, проведенные в концах хорды, проходящей через полюс, взаимно перпендику­лярны.

Действительно, так как

Рис. 8

Заметим еще, что геомет­рическое место точек пересе­чения этих касательных есть окружность Дей­ствительно, уравнение первой касательной на основании урав­нений (1) кардиоиды, будет иметь вид

а второй касательной Ис­ключая из этих уравнений параметр, получим уравнение указанной ок­ружности.

3. Радиус кривизны в произвольной точке кардиоиды опре­делится по формуле

(4)

Можно показать также, что радиус кривизны равняется 2/3 по­лярной нормали N в заданной точке.

Действительно, откуда на основании (4) получаем Соотношение это может быть использовано для построения центра кривизны кардиоиды.

4. Эволюта кардиоиды, согласно общему свойству эволют эпи­циклоид, будет также кардиоидой, подобной данной, с коэффициен­том подобия, равным 1/3, и повернутой относительно данной на угол 180°.

5. Длина дуги кардиоиды от точки А до произвольной точки М определится по формуле

(5)

Если длину дуги отсчитывать от точки А₁, диаметрально противопо­ложной точке А, то формула для определения длины дуги может быть записана в виде

(6)

6. Натуральное уравнение кардиоиды получится, если из равенств (4) и (6) исключить параметр. Оно будет иметь вид

(7)

7. Площадь, ограниченная кардиоидой, определится по фор­муле

и, как видно, равна ушестеренной площади производящего круга.

Длина всей кардиоиды определится по формуле

и, как видно, равна восьми диаметрам производящего круга. Объ­ем тела, полученного от вращения кардиоиды вокруг ее оси, равен

Поверхность тела, полученного от вращения кардиоиды вокруг ее оси, равняется

Мы видели, что кардиоида органически связана с окружностью. Она является конхоидой круга и эпициклоидой. Она имеет с окруж­ностью и иной характер родства — кардиоида является подэрой окружности относительно точ­ки, принадлежащей этой окруж­ности.

Рис.9

Действительно, пусть ОМ есть перпендикуляр, опущенный на ка­сательную к окружности с ради­усом, равным 2r, проведенную в точке N.

Так как ОМ = OB + ВМ, или  == 2r cos