Xreferat.com » Рефераты по математике » Подвійний інтеграл

Подвійний інтеграл

Содержание


1. Задачі, що приводять до поняття подвійного інтеграла

Задача про об'єм циліндричного тіла

Задача про масу пластини

2. Поняття подвійного інтеграла. Умови його існування та властивості

3. Обчислення подвійного інтеграла


1. Задачі, що приводять до поняття подвійного інтеграла


Задача про об'єм циліндричного тіла


Нехай маємо тіло, обмежене зверху поверхнею Подвійний інтеграл, знизу - замкненою обмеженою областю Подвійний інтеграл площини Подвійний інтеграл, з боків - циліндричною поверхнею, напрямна якої збігається з межею області Подвійний інтеграл, а твірні паралельні осі Подвійний інтеграл (рис.1). Таке тіло називають циліндричним.

Обчислимо його об'єм Подвійний інтеграл. Для цього довільним способом розіб'ємо область Подвійний інтеграл на Подвійний інтеграл частин Подвійний інтеграл, які не мають спільних внутрішніх точок, і площі яких дорівнюють Подвійний інтеграл, Подвійний інтеграл. У кожній області Подвійний інтеграл виберемо довільну точку Подвійний інтеграл, знайдемо значення функції в цій точці Подвійний інтеграл і обчислимо добуток Подвійний інтегралПодвійний інтеграл. Цей добуток дорівнює об'єму циліндричного стовпчика з твірними, паралельними осі Подвійний інтеграл, основою Подвійний інтеграл і висотою Подвійний інтеграл. Усього таких стовпчиків є Подвійний інтеграл, і сума їхніх об'ємів


Подвійний інтеграл (1)


наближено дорівнює об'єму циліндричного тіла Подвійний інтеграл. Це наближення тим точніше, чим більше число Подвійний інтеграл і чим менші розміри областей Подвійний інтеграл. Назвемо діаметром Подвійний інтеграл замкненої обмеженої області Подвійний інтеграл найбільшу відстань між двома точками межі цієї області. Позначимо через Подвійний інтеграл найбільший з діаметрів областей Подвійний інтеграл. Тоді природно об'єм даного тіла визначити як границю суми (1) при Подвійний інтеграл:


Подвійний інтеграл. (2)


Задача про масу пластини


Нехай маємо плоску неоднорідну матеріальну пластину, формою якої є область Подвійний інтеграл (рис.2). В області Подвійний інтеграл задана неперервна функція Подвійний інтеграл, яка визначає густину пластини в точці Подвійний інтеграл. Знайдемо масу Подвійний інтеграл пластини. Для цього довільним способом розіб'ємо область Подвійний інтеграл на частини Подвійний інтеграл, які не мають спільних внутрішніх точок, і площі яких дорівнюють Подвійний інтеграл, Подвійний інтеграл.

У кожній області Подвійний інтеграл візьмемо будь-яку точку Подвійний інтеграл і знайдемо густину в цій точці:


Подвійний інтеграл.


Подвійний інтеграл Подвійний інтеграл

Рисунок 1 - Циліндричне тіло Рисунок 2 - Матеріальна пластина


Якщо розміри області Подвійний інтеграл достатньо малі, то густина в кожній точці Подвійний інтеграл мало відрізнятиметься від значення Подвійний інтеграл. Тоді добуток Подвійний інтегралПодвійний інтеграл наближено визначає масу тієї частини пластини, яка займає область Подвійний інтеграл, а сума


Подвійний інтеграл (3)


є наближеним значенням маси Подвійний інтеграл всієї пластини. Точне значення маси отримаємо як границю суми (3) при Подвійний інтеграл:


Подвійний інтеграл. (4)


Таким чином, різні за змістом задачі ми звели до знаходження границь (2) і (4) одного й того самого виду. Можна навести ще ряд задач з фізики і техніки, розв'язання яких призводить до обчислення подібних границь. У зв'язку з цим виникає потреба у вивченні властивостей цих границь, незалежно від змісту тієї чи іншої задачі. Кожна така границя називається подвійним інтегралом. Дамо точні означення.

2. Поняття подвійного інтеграла. Умови його існування та властивості


Нехай функція Подвійний інтеграл визначена в замкненій обмеженій області Подвійний інтеграл. Вважатимемо, що межа області Подвійний інтеграл складається із скінченного числа неперервних кривих, кожна з яких визначається функцією виду Подвійний інтеграл або Подвійний інтеграл. Розіб'ємо область Подвійний інтеграл на Подвійний інтеграл частини Подвійний інтеграл, які не мають спільних внутрішніх точок і площі яких дорівнюють Подвійний інтеграл, Подвійний інтеграл. У кожній області Подвійний інтеграл візьмемо довільну точку Подвійний інтегралі утворимо суму


Подвійний інтеграл, (5)


яку назвемо інтегральною сумою для функціїПодвійний інтеграл за областю Подвійний інтеграл. Нехай Подвійний інтеграл - найбільший з діаметрів областей Подвійний інтеграл. Якщо інтегральна сума (5) при Подвійний інтеграл має скінченну границю, яка не залежить ні від способу розбиття області Подвійний інтеграл на частинні області Подвійний інтеграл, ні від вибору точок Подвійний інтеграл в них, то ця границя називається подвійним інтегралом і позначається одним із таких символів:


Подвійний інтеграл або Подвійний інтеграл.


Таким чином, за означенням


Подвійний інтеграл. (6)


У цьому випадку функція Подвійний інтеграл називається інтегровною в областіПодвійний інтеграл;

Подвійний інтеграл - областю інтегрування; Подвійний інтеграл - змінними інтегрування; Подвійний інтеграл (або Подвійний інтеграл) - елементом площі.

Звернемося до задач п. Якщо границі в рівностях (2) і (4) існують, то з цих рівностей і формули (6) отримуємо формули для обчислення об'єму циліндричного тіла


Подвійний інтеграл (7)


та маси пластинки


Подвійний інтеграл. (8)


Якщо у формулі (7) покласти Подвійний інтеграл, Подвійний інтеграл, то отримаємо формулу для обчислення площі Подвійний інтеграл області Подвійний інтеграл:


Подвійний інтеграл. (9)


Рівності (7) і (8) розглядають відповідно як геометричний та механічний зміст подвійного інтеграла, якщо підінтегральна функція невід'ємна в областіПодвійний інтеграл.

Теорема (достатня умова інтегровності функції). Якщо функція Подвійний інтеграл неперервна в замкненій обмеженій областіПодвійний інтеграл, то вона інтегровна в цій області.

Є ще й інші умови існування подвійного інтеграла, але надалі ми вважатимемо, що підінтегральна функція Подвійний інтеграл в області інтегрування Подвійний інтеграл є неперервною.

Порівнюючи означення подвійного інтеграла (6) та означення визначеного інтеграла


Подвійний інтеграл,


бачимо, що конструктивно ці означення цілком аналогічні: в обох випадках розглядається деяка функція Подвійний інтеграл, але в першому випадку це функція однієї змінної, визначена на одновимірній області - відрізку Подвійний інтеграл, а в другому - це функція двох змінних, визначена у двовимірній областіПодвійний інтеграл. В обох випадках область визначення розбивається на частини, в кожній з яких береться довільна точка і в ній знаходиться значення функції. Після цього знайдене значення функції множиться на міру відповідної частини області визначення. У випадку однієї змінної такою мірою була довжина Подвійний інтеграл відрізка Подвійний інтеграл, а у випадку двох змінних - площа Подвійний інтеграл області Подвійний інтеграл. Наступні кроки знову однакові: утворюються інтегральні суми і знаходяться їхні границі, коли міра частин області визначення прямує до нуля. Пізніше ми побачимо, що за цією самою схемою будується і потрійний інтеграл, тільки мірою області там є об'єм.

У зв'язку з цим, властивості подвійного інтеграла аналогічні відповідним властивостям визначеного інтеграла. Сформулюємо ці властивості.

Сталий множник можна винести за знак подвійного інтеграла:


Подвійний інтеграл, Подвійний інтеграл.


Подвійний інтеграл від суми двох функцій дорівнює сумі подвійних інтегралів від цих функцій:


Подвійний інтеграл.


Ця властивість має місце для суми довільного скінченного числа функцій.

Якщо в області Подвійний інтеграл функціяПодвійний інтеграл, то


Подвійний інтеграл.


Якщо функції Подвійний інтеграл і Подвійний інтеграл визначені в одній і тій самій області Подвійний інтеграл і Подвійний інтеграл, то


Подвійний інтеграл.


(Адитивність подвійного інтеграла). Якщо область інтегрування функції Подвійний інтеграл розбити на області Подвійний інтеграл і Подвійний інтеграл, які не мають спільних внутрішніх точок, то


Подвійний інтеграл.


Ця властивість називається адитивністю подвійного інтеграла і справедлива для довільного скінченого числа областей, які складають область Подвійний інтеграл і не мають спільних внутрішніх точок.

(Оцінка подвійного інтеграла). Якщо функція неперервна в обмеженій замкненій області Подвійний інтеграл, яка має площу Подвійний інтеграл, то


Подвійний інтеграл,


де Подвійний інтеграл і Подвійний інтеграл - відповідно найменше і найбільше значення підінтегральної функції в області Подвійний інтеграл.

(Середнє значення функції.) Якщо функція Подвійний інтеграл неперервна в замкненій обмеженій області Подвійний інтеграл, яка має площу Подвійний інтеграл, то в цій області існує така точка Подвійний інтеграл що


Подвійний інтеграл.


Величину


Подвійний інтеграл


називають середнім значенням функції Подвійний інтеграл в області Подвійний інтеграл.

подвійний інтеграл адитивність

3. Обчислення подвійного інтеграла


Обчислення подвійного інтеграла за формулою (6) як границі інтегральної суми, так само як і у випадку визначеного інтеграла, пов'язане із значними труднощами. Щоб уникнути їх, обчислення подвійного інтеграла зводять до обчислення так званого повторного інтеграла - двох звичайних визначених інтегралів.

Покажемо, як це робиться. Припустимо, що при Подвійний інтеграл функція Подвійний інтеграл. Тоді, згідно з формулою (7), подвійний інтеграл виражає об'єм циліндричного тіла (рис.3) з основою Подвійний інтеграл, обмеженого зверху поверхнею Подвійний інтеграл. Обчислимо цей об'єм за допомогою методу паралельних перерізів [6]:


Подвійний інтеграл,


де Подвійний інтеграл - площа перерізу тіла площиною, перпендикулярною до осі Подвійний інтеграл, а Подвійний інтеграл та Подвійний інтеграл - рівняння площин, які обмежують дане тіло. Перед тим, як обчислювати площу зробимо певні припущення відносно області Подвійний інтеграл.

Припустимо спочатку, що область інтегрування Подвійний інтеграл обмежена двома неперервними кривими Подвійний інтеграл та Подвійний інтеграл і двома прямими Подвійний інтеграл та Подвійний інтеграл, причому Подвійний інтеграл для всіх Подвійний інтеграл (рис.4). Проведемо через точку Подвійний інтеграл, де Подвійний інтеграл, пряму, паралельну осі Подвійний інтеграл. Ця пряма перетинає криві Подвійний інтегралта Подвійний інтеграл в точках Подвійний інтеграл і Подвійний інтеграл, які називатимемо відповідно точкою входу в область Подвійний інтеграл і точкою виходу з області Подвійний інтеграл. Ординати цих точок позначимо відповідно Подвійний інтеграл та Подвійний інтеграл, тоді Подвійний інтеграл, Подвійний інтеграл

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: