Теория устойчивости

4. Критерий устойчивости Михайлова.

Частотные критерии устойчивости получили наиболее широкое практическое применение, так как, во-первых, они позволяют судить об устойчивости замкнутой системы по более простой передаточной функции системы W ( s ) ; во-вторых, анализ устойчивости можно выполнять и по экспериментально определенным частотным характеристикам; в-третьих, с помощью частотных характеристик можно судить и о качестве переходных процессов в системе.

А.В. Михайлов первым предложил использовать развитые в радиотехнике Найквистом частотные методы для анализа устойчивости линейных систем регулирования. Сформулированным им в 1938 г. критерий устойчивости назвали его именем. Рассмотрим существо этого критерия.

Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид

D ( l ) = l ⁿ + a₁ l ^n-1 + a₂ l ^n-2 + ... + a_n = 0. (13)

Зная его корни l ₁ , l ₂ , ... , l _n , характеристический многочлен для уравнения (13) запишем в виде

D ( l ) = ( l - l ₁ ) ( l - l ₂ ) ... ( l - l _n ). (14)

Im Im

0 Re 0 Re

а) б)

Рис.12. Векторное изображение сомно-жителей характерис-тического уравнения замкнутой системы на плоскости :

а - для двух корней l и l _i ;

б - для четырех корней l ₁ , l ‘₁ , l ₂ , l ‘₂

Графически каждый комплексный корень l можно представить точкой на плоскости. Поэтому, в свою очередь, каждый из сомножителей уравнения (14) можно представить в виде разности двух векторов ( l - l _i ), как это показано на рис.12,а. Положим теперь, что l = j w ; тогда определяющей является точка w на мнимой оси (рис.12,б). При изменении w от - Ґ до + Ґ векторы j w - l ₁ и j w - l ‘₁ комплексных корней l и l ‘₁ повернуться против часовой стрелки, и приращение их аргумента равно + p , а векторы j w - l ₂ и j w - l ‘₂ повернутся по часовой стрелке, и приращение их аргумента равно - p . Таким образом, приращение аргумента arg( j w - l _i ) для корня характеристического уравнения l _i , находящегося в левой полуплоскости, составит + p , а для корня, находящегося в правой полуплоскости, - p . Приращение результирующего аргумента D arg D( j w ) равно сумме приращений аргументов его отдельных сомножителей. Если сре1ди n корней характеристического уравнения m лежит в правой полуплоскости, то приращение аргумента составит

D arg D( j w ) = ( n - m ) p - m p = ( n - 2m ) p . (15)

^{- Ґ < w < Ґ для левой для правой}

^{полуплоскости полуплоскости}

Отметим теперь, что действительная часть многочлена

D ( j w ) = ( j w )ⁿ + a₁ ( j w )^n-1 + a₂ ( j w )^n-2 + ... + a_n (16)

содержит лишь четные степени w , а мнимая его часть - только нечетные, поэтому

arg D ( j w ) = - arg D ( -j w ), (17)

и можно рассматривать изменение частоты только на интервале w от 0 до Ґ . В этом случае приращение аргумента годографа характеристического многочлена

D arg D( j w ) = ( n - 2m ) p / 2 . (18)

^{0 Ј w < Ґ}

Если система устойчива, то параметр m = 0, и из условия (18) следует, что приращение аргумента

D arg D( j w ) = n p / 2 . (19)

^{0 Ј w < Ґ}

На основании полученного выражения сформулируем частотный критерий устойчивости Михайлова: для того чтобы замкнутая система автоматического регулирования была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф характеристического многочлена в замкнутой системе (годограф Михайлова) начинался на положительной части действительной оси и проходил последовательно в положительном направлении, не попадая в начало координат, n квадрантов комплексной плоскости ( здесь n - порядок характеристического уравнения системы).

j V’ j V’

0 U’ 0 U’

а) б)

а - устойчивые системы при n = 1 - 6 ; б - неустойчивые системы при n = 4 и различных параметрах

Соответствующие устойчивым системам годографы Михайлова для уравнений различных порядков построены на рис. 13,а. На рис. 13,б построены годографы Михайлова для неустойчивых систем при n = 4.

Введение

Одной из основных задач теории автоматического регулирования является изучение динамических процессов, происходящих в автоматических системах. Автоматические системы при нормальной эксплуатации должны поддерживать определенный режим работы объекта регулирования при действии на него многих возмущающих факторов. Такое поведение может быть достигнуто лишь в системах автоматического регулирования, обладающих устойчивостью по отношению к этим воздействиям. Устойчивость системы означает, что малое изменение входного сигнала или какого-нибудь возмущения, начальных условий или параметров не приведут к значительным отконениям выходного сигнала. Это определение раскрывает физический смысл понятия устойчивости.

Теория устойчивости, основоположниками которой являются великий русский ученый А.М. Ляпунов и великий французский ученый А.Пуанкаре, представляет собой важный раздел прикладной математики. Создателями современной теории устойчивости являются русские ученые Н.Г. Четаев, Е.А. Барбашин, Н.П. Еругин, Н.Н. Красовский.

1. Понятие устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости по Ляпунову.

Рассмотрим задачу Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений

x’ = f ( t , x )

(1)

с начальными условиями x ( t₀ ) = x₀ (2)

где x = ( x₁, x₂, ... , x_n ) - n - мерный вектор; t О I = [t₀, + Ґ [ - независимая переменная, по которой производится дифференцирование;

f ( t, x ) = ( f₁ ( t , x ) , f₂ ( t , x ) , ... , f_n ( t , x ) ) - n - мерная вектор - функция.

Комментарии к задаче Коши (1), (2). Для простоты восприятия эту задачу можно сначала трактовать как задачу Коши для скалярного дифференциального уравнения первого порядка вида x’= f ( t , x ) с начальным условием x ( t₀ ) = x₀. С целью упрощения все рисунки п. 1⁰ ,если нет специальных оговорок, приводится для случая n = 1.