Xreferat.com » Рефераты по математике » Измеримые функции

Измеримые функции

Определение и простейшие свойства измеримой функции


Если каждому x из множества E поставлено в соответствие некоторое число f(x), то мы будем говорить, что на множестве E задана функция f(x). При этом мы допускаем и бесконечные значения функции, лишь бы они имели определенный знак, т.е. вводим «несобственные» числа - и +. Эти числа связаны между собой и с любым конечным числом a неравенствами

-<a<+,

и мы устанавливаем для них следующие законы действий:

+a=+, ++(+)=+, +-(-)=+,

-a=-, -+(-)=-, --(+)=-,

a=a

a=aесли a>0,

+a=a

a=aесли a<0

00=0,

(+)





Здесь a обозначает вещественное конечное число. Символы

+



мы считаем лишенными смысла.

Имея дело с функцией f (x), заданной на множестве E, мы будем символом

E(f>a)

обозначать множество тех x из множества Е, для которых выполнено неравенство f(x)>а.

Аналогичным образом вводятся символы

Е(fа), Е(fа), Е(fа), Е(а<fb)

и т.п. Если множество, на котором задана функция f(x), обозначено какой-либо другой буквой, например А или В, то мы соответственно будем писать

А(f>а), В(f>а)

и т.п.

Определение 1. Функция f(x), заданная на множество Е, называется измеримой, если измеримо это множество Е и если при любом конечном а измеримо множество

Е(f>а).

В связи с тем, что здесь речь идет о множествах, измеримых в смысле Лебега, часто (желая подчеркнуть именно это обстоятельство) говорят об измеримой (L) функции. Если же Е и все множества Е(f>а) измеримы (В), то и f(x) называется измеримой (В) функцией.

Теорема 1. Всякая функция, заданная на множестве меры нуль, измерима.

Это утверждение очевидно.

Теорема 2. Пусть f(x) есть измеримая функция, заданная на множестве Е. Если А есть измеримое подмножество Е, то f(x), рассматриваемая только для xА, измерима.

Действительно, А(f>а)АЕ (f>а).

Теорема 3. Пусть f(x) задана на измеримом множестве Е, представимом в форме суммы конечного числа или счетного множества измеримых множеств Еk

E=

Если f(x) измерима на каждом из множеств ER., то она измерима и на Е.

В самом деле, E(f>a)= .

Определение 2. Две функции f(x) и g(x), заданные на одном и том же множестве Е, называются эквивалентными, если

mE (fg)=0

Обозначать эквивалентность функций f(x) и g(x) принято так

f (x)g(x).

Определение 3. Пусть некоторое обстоятельство S имеет место для всех точек какого-нибудь множества Е, кроме точек, входящих в подмножество Е0 множества Е. Если mЕ0 = 0, то говорят, что S имеет место почти везде на множестве Е, или почти для всех точек Е.

В частности, множество исключительных точек Е0 может быть и пустым.

Теперь можно сказать, что две функции, заданные на множестве Е, эквиваленты, если они ровны почти везде на Е.

Теорема 4. Если f(х) есть измеримая функция, заданная на множестве Е, а g(x) ~ f(x), то g(x) также измерима.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть А = Е (f g), B = E – A. Тогда mA = 0, так что В измеримо. Значит функция f(x) измерима на множестве В. Но на множестве В функции f(x) и g(x) неотличимы, так что g(x) измерима на В. Поскольку g(x) измерима и на А (ибо mA = 0), она измерима на Е = А + В.

Теорема 5. Если для всех точек измеримого множества Е будет f(x) = c, то функция f(x) измерима.

Действительно,

E (f > a) =


Заметим, что в этой теореме с может быть и бесконечным.

Функция f(x), заданная на сегменте а, b, называется ступенчатой, если а,bразложить точками.

с0 = а< с12<…<сn = b

на конечное число частей, в н у т р и которых (т.е. в интервалах (сk, ck + 1) при k = 0, 1, …., n –1) функция f(x) постоянна. Легко понять, что из теоремы 5 вытекает

Следствие. Ступенчатая функция измерима.

Теорема 6. Если f(x) есть измеримая функция, заданная на множестве Е, то при любом а измеримы множества

E (f  a), E (f = a), E (f a), E (f < a),

Д о к а з а т е л ь с т в о. Легко проверить, что

E (f  a) =

откуда следует измеримость множества E (f a). Измеримость прочих множеств вытекает из соотношений:

E (f = a) = E(f  a) – E(f > a), E(f a) = E – E(f > a),

E (f < a) = E – E (f  a).

Замечание. Легко показать, что если хоть одно из множеств

E (f  a), E (f a), E (f < a)

оказывается измеримым при всяком а, то функция f(x) измерима на множестве Е (которое также предполагается измеримым).

Действительно, тождество ) показывает, например, что f(x) измерима, если измеримы все множества Е (fа). Сходным образом устанавливаются и остальные утверждения. Таким образом, в определении измеримой функции можно заменить множество Е (f>a) любым из множеств (1).

Теорема 7. Если функция f(x), заданная на множестве Е, измерима, а kконечное число, то измеримы и функции 1) f(x)k, 2) kf(x), 3) f (x), 4) f2 (x), и если f(x) 0, то измерима и функция 5) .

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Измеримость функции f(x)  k вытекает из соотношения Е (f k a) = E (f>a- k).

2) Измеримость функции kfx) при kследует из теоремы 5. Для прочих kизмеримость следует из очевидных соотношений

3) Функция f(x) измерима потому, что

4) Аналогично, из того , что

E (f2 > a) =

вытекает измеримость функции f 2 (x).

5) Наконец, при f(x)  0 имеем

> a) =

откуда и следует измеримость .

Теорема 8. Функция f(x), заданная и непрерывная на сегменте Е=измерима.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего установим, что множество

F = E (f a)

замкнуто. Действительно, если x0 есть предельная точка этого множества и xnx0 (x n F ), то f(xn) a и, в силу непрерывности f(x), будет f(x0 ) a, т.е. x0 F, что и устанавливает замкнутость множества F.

Но тогда множество Е (f>а) = Е – Е(fа) измеримо, и теорема доказана.

Из самого определения измеримой функции следует, что функция, заданная на неизмеримом множестве, неизмерима.

Однако легко обнаружить существование неизмеримой функции, заданной на измеримом множестве.

Определение 4. Пусть М есть подмножество сегмента Е = [А, В]. Функция м (х), равная единице на множестве М и нулю на множестве Е–М, называется характеристической функцией множества М.

Теорема 9. Множество М и его характеристическая функция м одновременно измеримы или нет.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если функция M (х) измерима, то измеримость множества М вытекает из соотношения

М = Е (м > 0).

Обратно, если М есть измеримое множество, то соотношения

устанавливают измеримость функции М (х).

Отсюда, между прочим, весьма просто получаются примеры разрывных измеримых функций.


Дальнейшие свойства измеримых функций


Лемма. Если на множестве Е заданы две измеримые функции f(х) и g(х), то множество Е (f >g) измеримо.

Действительно, если мы перенумеруем все рациональные числа r1, r2, r3, …, то легко проверим справедливость соотношения

Е (f > g) = Е (f > rk) Е (g < rk),

откуда и следует лемма.

Теорема 1. Пусть f(х) и g(х) суть конечные измеримые функции, заданные на множестве Е. Тогда измерима каждая из функций 1) f(х) – g(х), 2) f(х) + g (х), 3) f(х) . g(х), и если g(х) то измерима также функция 4).

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Функция а + g(х) измерима при любом а. Значит (на основании леммы), множество Е (f > а+g ), а так как E(f-g>a)=E(f>a+g), то измерима функция f (х) – g(х).

2) Измеримость суммы f(х) + g(х) следует из того, что

f(х) + g(х) = f(х) – [ - g (х)].

3) Измеримость произведения f(x) .g(x) вытекает из тождества

f(x) .g(x)={[f(x)+g(x)]-[f(x)-g(x)]}

и теоремы 7

4) Наконец, измеримость частного есть следствие тождества

=f(x) ·.

Эта теорема показывает, что действия арифметики, будучи применены к измеримым функциям, не выводят нас за пределы этого класса функций. Следующая теорема устанавливает сходный результат относительно уже не арифметической операции – предельного перехода.

Теорема 2. Пусть на множестве Е задана последовательность измеримых функций f1(x), f2(x), … Если в каждой точке хЕ существует (конечный или бесконечный) предел

F(x)=fn(x),

то функция F(х) измерима.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Фиксируем произвольные а и введем в рассмотрение множества

А=Е(f> a + ), В=.

Эти множества, очевидно, измеримы, и для доказательства теоремы достаточно проверить, что

E(F>a) = .

Займемся же проверкой этого тождества.

Пусть хЕ (F>a), тогда F (x0) > a, и найдется такое натуральное m, что F(x0) > a + 1/m. Поскольку же fk (x) F (x0), то найдется такое n, что при kn будет

fk(x0) > a + .

Иначе говоря, х0 А при всех kn, а тогда х0 В и тем более х0. Отсюда следует, что Е (F > a) .

Теперь остается установить обратное включение

E (F > a),

и теорема будет доказана.

Пусть х0. Тогда х0 Впри некоторых фиксированных n и m. Это значит, что х0 А для kn. Иначе говоря для kn будет fk(x0) > a+1/m.

Устремляя k к бесконечности и переходя в последнем неравенстве к пределу, получим, что F(x0)>a, т.е. x0E (F>a). Этим и доказано включение (*). Доказанная теорема допускает следующее обобщение.

Теорема 3. Пусть на множестве E заданы измеримые функции f1(x), f2(x), … и некоторая функция F(x). Если соотношение

(

выполняется почти везде на Е, то F(x) измерима.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через А множество всех точек XЕ, в которых соотношение (не имеет места (в этих точках предела может вовсе не существовать). По условию, mA=0 и F(x) измерима на множестве А. По теореме 2 она измерима и на множестве Е – А, а тогда она измерима и на всем множестве Е.


Последовательности измеримых функций. Сходимость по мере.


В этом месте нам придется рассматривать множества вида Е (|f – g|  ), Е (|f – g| ), где f(x) и g(x) суть функции заданные не множестве Е, а некоторое положительное число.

Похожие рефераты: