Xreferat.com » Рефераты по математике » Измеримые функции

Измеримые функции

При этом точки, в которых обе функции f(x) и g(x) принимают бесконечные значения одного знака, строго говоря, не входят ни в одно из этих множеств, поскольку в этих точках разность f(x) – g(x) лишена смысла. Так как указанное обстоятельство представляет известные неудобства, то мы раз и навсегда условимся эти точки относить к множеству Е (|f – g| ). При таком соглашении очевидно

Е = Е (|f – g|  ) + Е (|f – g| )

и слагаемые правой части не пересекаются.

Теорема 1 (А. Лебег). Пусть на измеримом множестве Е задана последовательность измеримых и почти везде конечных функций f1(x), f2(x), f3(x), …, которая почти во всех точках Е сходится к почти везде конечной функции f(x). Тогда, каково бы ни было будет

Д о к а з а т е л ь с т в о. Отметим прежде всего, что в силу теоремы 3, предельная функция f(x) также измерима и, стало быть, измеримы те множества, о которых идет речь.

Положим

А = Е(|f| = + ), An = E(|fn| = + fn не f)

.

Очевидно,

MQ = 0 (1)

Пусть, далее,

, , .

Все эти множества измеримы.

Так как R1(R2(R3(…, то, в силу теоремы 12, при n  будет

mRn(mM. (2)

Убедимся в том, что

MQ. (3)

В самом деле, если , то , причем все числа f1(x0), f2(x0), … и их предел f (x0) – конечны. Значит найдется такое n, что для k n будет |fk(x0) – f(x0) < .

Иначе говоря (k n), а потому и тем более , откуда и следует (3).

Но тогда, в силу (1), nM=0, и (2) принимает вид

(4)

Этим и доказана теорема, ибо Еn() Rn().

Замечание. Отметим, что нами установлен результат (4), более сильный, чем то, что мы хотели доказать. Ниже при доказательстве теоремы Д.Ф. Егорова, нам придется воспользоваться именно этим более сильным результатом.

Доказанная теорема дает повод установить следующее

Определение. Пусть на измеримом множестве Е задана последовательность измеримых и почти везде конечных функций

f1(x), f2(x), f3(x), …

и измеримая и почти везде конечная функция f(x). Если, каково бы ни было положительное число , оказывается, что

,

то говорят, что последовательность (*) сходится к функции f (x) по мере.

Мы будем, следуя Г.М.Фихтенгольцу, обозначать сходимость по мере символом

fn(x)  f(x).

С помощью понятия сходимости по мере можно формулировать теорему Леберга так.

Теорема 1*. Если последовательность функций сходится почти везде, то она сходится и по мере к той же предельной функции.

Следующий пример показывает, что эта теорема необратима.

П р и м е р . Определим на полусегменте [0, 1) для каждого натурального k группу из k функций: f1(k) (x), f2(k) (x), …, fk(k) (x), полагая

В частности, f1(1) (x)  1 на [0, 1). Нумеруя все построенные функции подряд одним значком, мы получим последовательность

1 (x) = f1(1) (x), 2 (x) = f1(2) (x), 3 (x) = f2(2) (x), 4 (x) = f1(3) (x), …

Легко видеть, что последовательность функций n (x) сходится по мере к нулю. В самом деле, если n (x) = fi(k) (x), то при любом >0 будет

и мера этого множества, равная 1/k, стремится к нулю с возрастанием n.

Вместе с тем, соотношение n (x)0 не выполняется ни в одной точке промежутка [0, 1). Действительно, если так что fi(k) (x0) = 1. Иначе говоря, как далеко мы не продвинемся вдоль ряда чисел 1 (x0), 2 (x0), 3 (x0), …, мы всегда будем встречать в этом ряду числа, равные 1, что и доказывает наше утверждение.

Таким образом, понятие сходимости по мере есть понятие, существенно более общее, чем понятие сходимости почти везде и тем более, чем понятие сходимости везде.

Естественно спросить, в какой степени соотношение

fn(x)f(x)

определяет функцию f(x), т.е. единственна ли предельная функция при сходимости по мере.

Теоремы 2 и 3 позволяют ответь на этот вопрос.

Теорема 2. Если последовательность функций fn(x) сходится по мере к функции f(x), то эта же последовательность сходится по мере ко всякой функции g(x), эквивалентной функции f(x).

Д о к а з а т е л ь с т в о. При любом будет

E( fn – g ) E( f g) + E( fn - f ),

откуда (поскольку mE (f  g) = 0)

mE (fn – g  ) mE(fn – f  ),

что и доказывает теорему.

Теорема 3. Если последовательность функций fn(x) сходится по мере к двум функциям f(x) и g(x), то эти предельные функции эквивалентны.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Легко проверить, что при будет

(*)

ибо точка, не входящая в правую часть этого соотношения, и подавно не может входить и в левую часть. Но соотношения

fnf, fn g

показывают, что мера правой части (*) стремится к нулю с возрастанием n, откуда ясно, что mE (fn – g  ) = 0.

Но так как

то fg, что и требовалось доказать.

Теоремы 2 и 3 показывают, что, желая восстановить свойство единственной предельной функции для сходимости по мере, мы должны были бы условиться считать эквивалентные функции за тождественные. Это обычно и делается в метрических вопросах теории функций, т.е. в тех вопросах, где все свойства функций изучаются с помощью меры множеств, на которых функция обладает или не обладает тем или другим свойством. В интегральном исчислении мы надем много примеров подобного подхода к вещам.

Хотя сходимость по мере общее сходимости почти везде, имеет место все же следующая теорема.

Теорема 4 (Ф.Рисс). Пусть {fn(x)} последовательность функций, которая сходится по мере к функции f(x). В таком случае существует подпоследовательность

fn1(x), fn2(x), fn3(x), ... (n1<n2<n3<...),

сходящаяся к функции f(x) почти везде.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем последовательность положительных чисел для которой lim k=0.

Пусть, далее, k>0) есть сходящийся положительный ряд.

Теперь мы можем построить требуемую последовательность индексов

n1 < n2 < n3 < ... 

следующим образом: обозначим через n1 натуральное число, для которого

mE(fn1-f.

Такое число обязательно существует, ибо

mE(fn-f при n

Затем через n2 обозначим то натуральное число, для которого

mE(fn2-f n2>n1.

Вообще через nk мы обозначаем такое число, что

mE(fnk-fk)<k, nk>nk-1.

Последовательность (*), таким образом, построена.

Теперь установим, что почти везде на множестве E будет

(**)

Действительно, пусть

, .

Так как R1R2R3..., то (теорема 12)

mRimQ

C другой стороны, очевидно, что так что mRi0 и, стало быть, mQ=0.

Остается проверить, что соотношение (**) имеет место для всех x из множества E - Q.

Пусть x0  E - Q. Тогда x0 Rio. Иначе говоря, при k i0

x0E(fnk-fk),

и, следовательно,

fnk(x0) – f(x0)k, (k i0)

и, поскольку kясно, что fnk(x0)f(x0).

Теорема доказана.

Теорема Лебега дала повод к установлению понятия сходимости по мере. С другой стороны, с помощью этой же теоремы можно установить весьма важную теорему Д.Ф.Егорова.

Теорема 5 (Д.Ф.Егоров). Пусть на измеримом множестве Е задана последовательность измеримых и почти везде конечных функций f1(x), f2(x), f3(x), …, почти везде сходящаяся к измеримой и почти везде конечной функции f (x):

В таком случае, для любого >0 существует такое измеримое множество ЕЕ, что:

  1. mEmE - ;

2) на множестве E стремление(*) происходит равномерно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. При доказательстве теоремы Лебега было установлено, что при любом будет

(1)

где .

Заметив это, возьмем сходящийся положительный ряд

i>0)

и стремящуюся к нулю последовательность положительных чисел

>2>3>…, limi=0.

В силу (1), можно каждому натуральному i соотнести такое натуральное ni, что mRni(i)<i.

Сделав это, найдем такое i0, что (где число, фигурирующее в формулировке теоремы), и положим .

Очевидно,

me<.

Пусть Е = Е – е. Установим, что множество Етребуемое. Неравенство mE > mE - ясно, так что остается убедиться в равномерности стремления

fn(x)f(x)

на множестве Е

Пусть  > 0. Найдем i такое, что i i0, i < , и покажем, что при k ni и при всех x Ебудет

|fk(x) – f(x)| < ,

откуда и будет следовать теорема.

Если x  Е, то хe. Значит в частности, xRni(i).

Иначе говоря, при k ni

x E(|fk – f|i),

так что

|fk(x) – f(x)| <i (k ni)

и тем более

|fk(x) – f(x)| <  (k ni).

Теорема доказана, ибо ni зависит только от но не от x.

Структура измеримых функций


При изучении какой-нибудь функции сам собою встает вопрос о точном или приближенном представлении ее с помощью функций более простой природы.

Таковы, например, алгебраические вопросы о разложении многочлена на множители или рациональные дроби на простейшие. Таков же вопрос о разложении непрерывной функции в степенной или тригонометрический ряд и т.п.

В этой части мы устанавливаем различные теоремы о приближении измеримых функций функциями непрерывными, т.е. решаем сходный вопрос для измеримых функций. Эти теоремы позволяют нам найти основное структурное свойство измеримой функции выражаемой теоремой 4.

Теорема 1. Пусть на множестве Е задана измеримая, почти везде конечная функция f(x). Каково бы ни было > 0, существует измеримая ограниченная функция g(x), такая, что mE(fg)<.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим

Аk = E(|f|>k), Q = E(|f| = + ).

По условию, mQ = 0. Ввиду очевидных соотношений

А1  А2 А3 …,

будет (теорема 12) при k

mAkmQ = 0.

Значит, найдется такое k0, что mAk0

Определим на множестве E функцию g(x), полагая


Эта функция измерима и, кроме того, ограничена, поскольку g (x) k0. Наконец, E(f g) = Ako, что и доказывает теорему.

Доказанная теорема означает, что всякая измеримая и почти везде конечная функция становится ограниченной, если пренебречь множеством сколь угодно малой меры.

Определение. Пусть функция F(x) задана на множестве E и x0E, причем F(x0) . Говорят, что функция F(x) непрерывна в точке х0 в двух случаях: 1) если х0 есть изолированная точка E; 2) если х0E и соотношения xnx0, xnE влекут соотношение

f(xn)f(x0).

Если f(x) непрерывна в каждой точке множества E, то говорят, что она непрерывна на этом множестве.

Лемма 1. Пусть множества F1, F2, …, Fn замкнуты и попарно не пересекаются. Если функция х), заданная на множестве

постоянна на каждом из множеств Fk, то она непрерывна на множестве F.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x0F’ и xix0, xiF.

В силу замкнутости множества F точка x0 принадлежит этому множеству и, стало быть, найдется такое m, что x0Fm.

Но множества Fk попарно не пересекаются. Значит, если km, то х0Fk и, в силу замкнутости множества Fk, точка x0 не является и предельной точкой этого множества.

Отсюда следует, что в последовательности {xi} может быть только конечное число точек, принадлежащих множеству Fk при km. Отметим все члены последовательности, которые входят в одно из множеств F1, …, Fm-1, Fm+1, …, Fn, и пусть xi0, последний из них. Тогда при i > i0 необходимо будет x1Fm, т.е. при i > i0 оказывается xi) =x0), а это доказывает лемму.

Лемма 2. Пусть F есть замкнутое множество, содержащееся в сегменте [a, b]. Если функция x) задана и непрерывна на множестве F, то можно определить на [a, b] функцию x) со следующими свойствами

  1. x) непрерывна;

  2. если xF, то x)=x);

  3. max |x)| = max |x)|.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через наименьший сегмент, содержащий множество F. Если бы требуемая функция x) была уже построена на сегменте [], то достаточно было бы дополнить ее определение, полагая

чтобы получить требуемую функцию уже на всем сегменте [a, b].

Поэтому, не ограничивая общности, можно считать что [a, b] и есть наименьший сегмент, содержащий множество F.

Если F = [a, b], то теорема тривиальна. Будем считать, что F [a, b]. Тогда множество [a, b] – F состоит из конечного или счетного множества взаимно не налегающих интервалов, концы которых принадлежат F (дополнительных интервалов множества F).

Зададим функцию x), полагая ее равной x) в точках множества F и линейной на всех дополнительных интервалах.

Убедимся в непрерывности этой функции. Непрерывность ее в каждой точке множества [a, b] – F очевидна.

Пусть х0 есть точка множества F . Мы покажем, что функция x) непрерывна в этой точке слева (непрерывность справа устанавливается совершенно аналогично).

Если точка х0 служит правым концом какого-нибудь дополнительного интервала, то непрерывность функции x) в этой точке слева очевидна.

Пусть же x0 не является правым концом никакого дополнительного интервала и пусть x1< x2< x3<… последовательность точек, стремящихся к x0.

Если xnF (n = 1, 2, 3, …) то, используя непрерывность на множестве F функции x), имеем xn) = xn)x0) =x0). Поэтому можно считать, что хnF (n = 1, 2, 3, …).

В таком случае точка x1 попадает в какой-то дополнительный интервал (причем 0. Продолжая это рассуждение, мы приходим к последовательности (((… дополнительных интервалов, расположенных в порядке номеров слева направо и таких, что

Xk( (k = ni-1+1, …, ni).

Соотношение xni<i<x0 показывает, что i, а из того, что i-1i< x0, ясно, что и ix0.

Но iи i входят в F, так что

lim (i) = lim (i = ( x0).

Ввиду того, что значения линейной функции в каком-нибудь интервале лежат между ее значениями на концах этого интервала, ясно, что и lim(xn)=(x0).

Итак, непрерывность функции (x) доказана.

Из самого ее построения видно, что она совпадает с x) на множестве F.

Наконец по известной теореме Вейерштрасса, среди значений непрерывной на сегменте функции |(x)| есть наибольшее – max |(x)|. Легко видеть, что этот максимум достигается именно в точке, принадлежащей множеству F, ибо на дополнительных интервалах функция (x) линейна. Поэтому max |(x)| = max |x)|.

Лемма доказана полностью.

Теорема 2 (Э. Борель). Пусть на сегменте [a, b] задана измеримая и почти везде конечная функция f(x). Каковы бы ни были числа >0 и >0 существует непрерывная на [a, b] функция (x), для которой

mE(|f-| ) <

Если при этом |f(x)| K, то можно и (x) выбрать так, что |(x)| K.

Д о к а з а т е л

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: