Измеримые функции
Фиксируя произвольные >0 и >0, найдем столь большое натуральное m, что K/m<, и построим множества
(i = 1 – m, 2 – m, …, m – 1)
Эти множества измеримы, попарно не пересекаются и
Построим
для каждого
i замкнутое
множество Fi
Ei
с мерой
и
положим
.
Ясно,
что
,
откуда m[a,
b] – mF<.
Зададим теперь на множестве F функцию x), полагая
при xFi
(i = 1 – m, …, m).
В силу леммы 1 эта функция непрерывна на множестве F, |x)| K и, наконец, при xF будет |f(x) - x)| < .
Остается применить лемму 2. Это приводит к непрерывной функции (x), совпадающей на множестве F с функцией x), причем |(x)|. Поскольку ( | f - | [a , b] – F , ясно, что функция (x) требуемая.
Итак, для ограниченной функции теорема доказана.
Допустим теперь, что f (x) не ограничена. Тогда, пользуясь теоремой 1, можно построить такую ограниченную функцию g(x), что mE (f g) /2.
Применяя уже доказанную часть теоремы к функции g(x), мы найдем такую непрерывную функцию (x), что
Но легко видеть, что
E (|f-| ) f g) + E (|g-| ),
Так что функция (x) решает задачу.
Следствие. Для всякой измеримой и почти везде конечной функции f(x), заданной на сегменте [a, b], существует последовательность непрерывных функций n(x), сходящаяся по мере к функции f(x).
В самом деле, взяв две стремящиеся к нулю последовательности
>>>…, n0,
>>>…, n0,
построим для каждого n такую непрерывную функцию n(x), что
mE(|f-n|n)<n
Легко видеть, что n(x) f(x).
Действительно, какое бы > 0 ни взять, для n n0 будет n<а для таких n
откуда и следует наше утверждение.
Применив к последовательности {n(x)} теорему Ф. Рисса мы приходим к последовательности непрерывных функций {nk(x)}, которая сходится к функции f(x) почти везде.
Иначе говоря установлена
Теорема 3 (М.Фреше). Для всякой измеримой и почти везде конечной функции f(x), заданной на сегменте [a, b], существует последовательность непрерывных функций, сходящаяся к f(x) почти везде.
С помощью этой теоремы легко устанавливается весьма замечательная и важная
Теорема 4 (Н. Н. Лузин). Пусть f(x) измеримая и почти везде конечная функция, заданная на [a, b]. Каково бы ни было > 0, существует такая непрерывна функция x), что
mE(f ) <
Если, в частности, |f(x)| K, то и |x)| K.