Xreferat.com » Рефераты по математике » Линейные функции

Линейные функции

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2


ВАРИАНТ 2.3


№ 1. Записать общее уравнение прямой, переходящей через точку М (-2, 4) перпендикулярно прямой x+2y+5=0. Найти площадь треугольника, образованного данной прямой с осями координат.


Запишем уравнение прямой в виде:


Линейные функции.


Коэффициент К найдем из условия перпендикулярности прямых:


Линейные функции

Получим уравнение прямой:


Линейные функции


Сделаем чертеж


Линейные функции

Линейные функции


Ответ: Линейные функции


№ 2. Записать общее уравнение прямой, проходящей точку М (-2, 2) и отсекающей от первого координатного угла треугольник площадью S= 4,5 кв.ед.

Сделаем схематический чертеж

Площадь треугольника будет равна Линейные функции.

Координаты точек А и В найдем из уравнения прямой, которое запишем в виде


Линейные функции


Из уравнения


Линейные функции

Получим прямую с угловым коэффициентом Линейные функции


Линейные функции


Значение Линейные функции соответствует прямой, которая отсекает треугольник площадью S=4,5 от третьего координатного угла..

Линейные функции

№ 3. Даны вершины треугольника А (2,1,0), В (3,-1,1) и С (1,2,-4). Записать общее уравнение плоскости, проходящей через сторону АВ перпендикулярно плоскости треугольника АВС.

Общее уравнение имеет вид:


Линейные функции


Для нахождения A,B,C и D необходимо составить три уравнения.

Два уравнения получим из условия, что искомая плоскость проходит через точки А и В. Третье — из условия, что искомая плоскость перпендикулярна плоскости, проходящей через три точки А, В и С. условие перпендикулярности плоскостей:


Линейные функции


Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки А, В, С по формуле:


Линейные функции


Разложим определитель по первой строке, подготовив числовые значения:


Линейные функции


Получим уравнение плоскости:

Линейные функции


Запишем условие перпендикулярности плоскостей:


Линейные функции


Условие, что искомая плоскость:

через точку А: Линейные функции;

через точку В: Линейные функции.

Получим систему уравнений:


Линейные функции


Складываем 2-е и 3-е уравнения: Линейные функции, 1-е уравнение умножаем на 2 и вычитаем из полученного:


Линейные функции


Из 1-го уравнения: Линейные функции.

Из 3-го уравнения: Линейные функции. Принимаем Линейные функции, получаем

Линейные функции.

Уравнение плоскости имеет вид:


Линейные функции

№ 4. Найти расстояние от точки Линейные функции до прямой Линейные функции.

Расстояние r найдем по формуле расстояния от точки Линейные функции до прямой, заданной уравнением в канонической форме:


Линейные функции


№ 5. Найти длину отрезка, отсекаемого от оси ординат плоскостью, которая проходит через точку Линейные функции перпендикулярно вектору Линейные функции, где В — точка пересечения медиан треугольника, вершины которого совпадают с точками пересечения осей координат с плоскостью


Линейные функции


Для нахождения решения найдем уравнение плоскости, которая проходит через точку А в заданном направлении и подставим в это уравнение значение Линейные функции.

Для этого вначале найдем координаты точки В.

Точку пересечения заданной плоскости с осью ОХ найдем из уравнения:


Линейные функции


с осью OY:


Линейные функции

с осью OZ:


Линейные функции


Получим треугольник с вершинами: Линейные функции.

Найдем координаты середины стороны Линейные функции по формуле:


Линейные функции.


Линейные функции — середина стороны Линейные функции.

Теперь найдем точку В, используя свойство: медианы треугольника делятся в точке пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Используем формулу:


Линейные функции


Точка пересечения медиан имеет координаты Линейные функции.

Найдем координаты вектора Линейные функции.

Линейные функции

Уравнение искомой плоскости, проходящей через точку Линейные функции перпендикулярно вектору Линейные функции имеет вид:

Линейные функции


№ 6. Две прямые параллельны плоскости Линейные функции. Первая прямая проходит через точку Линейные функции и пересекает ось абсцисс, вторая — через точку Линейные функции и пересекает ось ординат. Найти косинус острого угла между направляющими векторами этих прямых.

Для нахождения направляющих векторов прямых используем условие параллельности прямой и плоскости

Линейные функции

и условие, что прямая проходит через ось абсцисс, т.е. выполняется соотношение Линейные функции в точке (x,0,0).


Линейные функции


подставляем из 1-го уравнения во второе, получим


Линейные функции


Полагаем Линейные функции тогда Линейные функции.

Получили направляющий вектор первой прямой (6,-2,-3).

Аналогично для второй прямой (она проходит через точку (0,y,0)

Линейные функции


Из второго уравнения


Линейные функции


Косинус найдем по формуле:


Линейные функции


№ 7. Найти координаты центра Линейные функции окружности радиусом 5, касающейся прямой Линейные функции в точке М (2,0), если известно, что точка С расположена в первой четверти.

Переформулируем задачу:

Найти точку, лежащую на прямой, перпендикулярной прямой Линейные функции, проходящей через точку М (2,0) и отстоящую от нее на 5 ед.

Запишем уравнение прямой в виде Линейные функции, коэффициент k найдем из условия перпендикулярности прямых


Линейные функции


Получаем уравнение прямой

Линейные функции


Используем формулу расстояния между двумя точками:


Линейные функции


По условию второе решение не походит, т.к. x<0.

Линейные функции


№ 8. Дана кривая Линейные функции

8.1. Доказать, что эта кривая — гипербола.


Линейные функции— это каноническое уравнение гиперболы. Приведем исходное уравнение к этому виду


Линейные функции


Это каноническое уравнение гиперболы.


8.2 Найти координаты ее центра симметрии.

Сделаем схематический чертеж:

Центр симметрии гиперболы в точке Линейные функции.

Линейные функции.

8.3. Найти действительную и мнимую полуоси.


Линейные функции


8.4. Записать уравнение фокальной оси.

Фокальная ось проходит через фокус Линейные функции, р-фокальный параметр (половина хорды, проведенной через фокус перпендикулярно действительной оси).

Уравнение Линейные функции, где


Линейные функции


8.5. Построить данную гиперболу построение проведено в п.8.2.

№ 9. Дана кривая Линейные функции.

9.1. Доказать, что данная кривая — парабола.

Каноническое уравнение параболы Линейные функции, заданное уравнение приведем к этому виду


Линейные функции


следовательно, имеем параболу.

9.2. Найти координаты ее вершины.

Если уравнение параболы записано в виде Линейные функции, координаты вершины Линейные функции.

Линейные функции

9.3. Найти значение ее параметра р.

Из уравнения—— видно, что Линейные функции.

Линейные функции

9.4. Записать уравнение ее оси симметрии.

Данная ось проходит через вершину параболы перпендикулярно оси ОХ, ее уравнение Линейные функции.

Линейные функции

9.5. Построить данную параболу.

Все параметры известны. Найдем пересечение с осью OY.

Линейные функции

№ 10. Дана кривая Линейные функции.

10.1. Доказать, что эта кривая — эллипс.

Каноническое уравнение эллипса


Линейные функции


Общее уравнение кривой второго порядка:


Линейные функции.


Перепишем заданное уравнение:


Линейные функции

Введем обозначения:


Линейные функции


Если Линейные функции имеем эллипс. Проводим вычисления при a=8, b=6, c=17,d=-14, l=-23, f=-43.


Линейные функции


следовательно, исходная кривая — эллипс.

10.2. Найти координаты центра его симметрии.

Применим формулу:


Линейные функции


10.3. Найти его большую и малую полуоси.

Для этого приведем уравнение к каноническому виду, вычислим:

Линейные функции


Уравнение запишем в виде:


Линейные функции где

Линейные функции


Получим уравнение эллипса в новых координатах, где осями координат являются оси, полученные переносом начала координат в центр эллипса Линейные функции и поворотом осей на угол α, определяемый уравнением Линейные функции, при этом угловой коэффициент новой оси Линейные функции


Линейные функции


10.4. Записать общее уравнение фокальной оси.

Фокальная ось проходит через фокус перпендикулярно оси Линейные функции. В новых координатах Линейные функции.

Воспользуемся формулой преобразования координат:

Линейные функции


Осталось составить уравнение прямой, проходящей через точку с коэффициентом наклона 2. Общий вид такой прямой Линейные функции, получим:


Линейные функции


10.5. Построить данную кривую.

Для этого в старой системе координат строим новую систему. Новые оси направлены по прямым — y=2x-1 и Линейные функции. Далее, определим вершины эллипса.

В новых координатах они равны Линейные функции.

В старых:

Линейные функции

Похожие рефераты: